ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Sommaire. — Usage des séries dans la théorie des équations différentielles. — Théorèmes fondamentaux sur l’existence des intégrales pour tout système d’équations différentielles. — Résumé des recherches de Cauchy sur celle théorie.

Mémoires. — Théorie generale des équations différentielles. — Sur les diverses méthodes dont on peut faire usage pour l’intégration des équations différentielles. — Fonctions génératrices de Laplaee. — Formules de Fourier. — Application du calcul des résidus à l’intégration des équations différentielles. — Convergence des séries qui représentent les intégrales. — liquations différentielles linéaires. — Équations linéaires à coefficients constants ou variables, avec ou sans second membre. — Équations aux dérivées partielles. — Équations différentielles simultanées. — Fonction principale. — Équation caractéristique. — Propriétés et transformations diverses de la fonction principale qui vérifie une équation caractéristique homogène.

SOMMAIRE

-L’intégration des équations différentielles présente des difficultés analogues à celles que l’on rencontre dans la résolution des équations algébriques ou transcendantes. Le nombre des équations qu’on sait résoudre est très-restreint, et, le "plus souvent, on doit se borner à exprimer les racines par des valeurs approchées ou par des développements en séries; de même, il n’y a qu’un très-petit nombre d’équations différentielles qu’on sache intégrer, et, dans les autres cas, ; on est réduit à chercher quels sont les développements les plus convenables pour représenter approximativement les intégrales.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. Iü5

Une première question à résoudre est celle-ci : à toute équation ou h tout système d’équations différentielles, correspond-il nécessairement une intégrale ou un système d’intégrales? Avant les recherches de Cauchy, cette question était très-obscure; on avait, il est vrai, appliqué la série de Maclaurin aux équations différentielles du premier ordre, renfermant une seule fonction d’une variable indépendante, et l’on en avait déduit l’existence de l’intégrale ainsi que la forme de son développement en série; mais, dans ce cas même, la méthode était insullisante et sujette à de graves objections. On ignorait si les séries employées étaient convergentes, et d’un autre côté on sait qu’une série, même convergente, ne représente pas toujours la fonction qui lui a donné naissance.

Dans ses leçons à l’École Polytechnique, Cauchy avait déjà donné une méthode rigoureuse pour les équations différentielles du premier ordre, ainsi que pour un système d’équations simultanées du même ordre, quel que fût le nombre des variables; plus tard il revint sur cette question et compléta ses premières recherches dans divers Mémoires, particulièrement dans un Mémoire lithographié à Prague en 1 835, et imprimé dans les Nouveaux Exercices pour l’année iS/jo.

Le point de départ de la nouvelle méthode consiste dans la réduction de l’intégration d’un système d’équations différentielles à l’intégration d’une seule équation aux dérivées par tielles du premier ordre. L’idée de cette réduction fut suggérée à Cauchy par les recherches de M. Uamilton sur les équations différentielles de la Mécanique, dont l'intégration se ramène, en dernier lieu, à la détermination d’une fonction représentée par une intégrale définie qui satisfait à deux équations du second ordre aux dérivées partielles.

IOÔ TRAVAUX d’aUGUSTIN CAUCHY.

• Cauchy appelle équation caractéristique l’équation aux dérivées partielles qui peut ainsi remplacer un système d’équations différentielles, et il nomme intégrales principales les intégrales générales de ce système représehtéespardes intégrales particulières de l’équatioh caractéristique. En faisant ensuite usage des règles relatives au calcul des limites, il parvient, non-seulement à démontrer dans tous les cas l’existence des intégrales, mais encore à donner, sous une forme précise, leurs développements en séries, et à fixer les limites des erreurs commises quand on s’arrête après un certain nombre de termes. « On peut voir, ajoute-t-il, dans le troisième Chapitre du second Livre de la Mécanique céleste, avec quelle facilité l’intégration d’une seule équation aux dérivées partielles fournit cinq intégrales générales du mouvement elliptique. On a ainsi, dans l’Astronomie, un premier exemple des avantages que présente la considération de l’équation linéaire, que j’appelle caractéristique. La lecture de mon Mémoire suffira, je l’espère, pour montrer tout le fruit qu’on peut retirer de cette considération. Si, d’ailleurs, on songe à la rigueur et à la simplicité des méthodes ci-dessus appliquées à l’intégration par séries des équations linéaires, on se trouvera naturellement amené à cette conclusion, que, dans l’exposition des principes du calcul intégral, l’intégration d’une équation différentielle, ou d’une équation aux dérivées partielles, qui renferme une seule fonction inconnue d’une ou de plusieurs variables, doit précéder l’intégration des équations simultanées qui renferment plusieurs fonctions inconnues, même d’une seule variable, et qu’en outre l’intégration des équations linéaires doit toujours précéder celle des équations non linéaires. * • •