ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. I O'J

Il n’est pas sans intérêt de faire ressortir la marche suivie par Cauchy pour l’intégration des équations différentielles. On avait coutume, avant lui, de scinder la question en deux problèmes distincts : l’un, ayant pour but de déterminer d’abord les intégrales générales avec un certain nombre de constantes ou de fonctions arbitraires; l’autre, de calculer les valeurs de ces constantes ou de ces fonctions d’après les valeurs initiales attribuées aux variables principales et à leurs dérivées. L’ordre qu’il suit est inverse, et, en conséquence, il place en premier lieu la recherche, non pas des intégrales générales, mais des intégrales particulières, de sorte que la détermination des constantes ou des fonctions arbitraires ne soit plus séparée de celle des intégrales elles-mêmes. Alors chaque problème devient complètement déterminé, et c’est surtout cette circonstance qui a permis à Cauchy de simplifier à la fois la solution des problèmes déjà traités, et de résoudre des questions qui avaient résisté, jusqu’alors, aux efforts des géomètres.

C’est encore par suite de considérations du même genre que, dans ses recherches sur les intégrales générales des fonctions différentielles qui dépendent d’une seule variable, Caucbv s’était d’abord occupé d’analyser la nature et les propriétés des intégrales définies prises entre des limites données. Cette étude l’avait conduit à la théorie des intégrales définies singulières, simples ou doubles, et à celle des intégrales définies prises entre des limites imaginaires. D’ailleurs l’existence et la nature des intégrales définies étant bien connues, il était facile de passer ensuite aux intégrales générales, c’est-àdire aux intégrales renfermant une constante arbitraire.

La méthode de Cauchy pour l’intégration des expressions différentielles qui dépendent de plusieurs variables

Io8 TRAVAUX d’aUGÜSTIN CAUCflt.

indépendantes donne lieu à des remarques analogues. La solution très-simple et élégante qü’il a trouvée de ce problème repose en effet sur la substitution, aux intégrales définies, d’intégrales définies prises à partir d’une origine fixe. - >

Équations linéaires. — La plupart des questions de Physique mathématique conduisent à des équations différentielles linéaires dont, le plus souvent, les coefficients sont constants, au moins si l’on se borne à une première approximation. Dans ces questions, on a ordinairement à considérer quatre variables indépendantes : les trois coordonnées et le temps; mais le nombre des inconnues ou variables principales peut être quelconque, et il faut déterminer les valeurs générales des variables principales quand ou connaît, à un certain moment pris pour origine, leurs valeurs initiales et celles de leurs dérivées. Lagrange a donné une méthode pour effectuer l’intégration dans le cas où il n’y a qu'une seule variable indépendante. Au moyen d’une élimination convenable, on commence. par ramener le système à une équation différentielle unique qui n’a pas cessé d’être linéaire; puis on exprime la variable principale en fonction de la variable indépendante et d’un certain nombre de constantes arbitraires; enfin on détermine les constantes en fonction des valeurs initiales de la variable principale et de ses dérivées, au moyen d’un système d’équations algébriques du premier degré. Les calculs conduisent, comme on sait, à la résolution d’une certaine équation algébrique, dont le degré est précisément égal à l’ordre de l’équation différentielle proposée. Mais celte méthode, suivant la remarque de Cauchy, présente plusieurs inconvénients-sérieux : « i° Lagrange est forcé lui-mèmede modifier sa méthode dans le cas où

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. »Of)

l’équation auxiliaire offre des racines égales; i° il est bien dur, pour un géomètre qui veut suivre cette méthode, de se croire obligé à introduire dans le calcul des constantes arbitraires qui doivent être éliminées plus tard et remplacées par les valeurs initiales de la variable principale et de ses dérivées; 3° il y a même quelque inconvénient, sous le rapport de la Complication des calculs, à commencer par réduire un système d’équations différentielles données à une seule qui renferme une seule variable principale, sauf à revenir, par un calcul inverse, de la valeur générale de celte variable principale aux valeurs de toutes les autres. » La méthode de Caucbv donne, au contraire, le moyen d’exprimer immédiatement les valeurs générales des variables principales qui doivent vérifier un système d’équations différentielles linéaires, à coefficients constants, en fonction de la variable indépendante et des valeurs initiales des variables principales et de leurs dérivées, sans avoir à établir aucune distinction et à s’occuper séparément du cas où l’équation auxiliaire offre des racines égales.

Dans les Anciens Exercices, Cauchy avait déjà montré comment les formules du calcul des résidus conduisent facilement à l’intégration des équations linéaires renfermant une seule variable indépendante èt une seule variable principale; par la suite il étendit sa méthode à un système quelconque d’équations différentielles simultanées, linéaires et à coefficients constants; enfin il fit voir que la même méthode s’applique également à un système d’équations aux dérivées partielles, linéaires cl à coefficients constants. Ses formules permettent d’exprimer immédiatement, au bout d’un temps quelconque, les Variables principales en fonction des variables indépendantes et des racines d’une certaine équation auxiliaire.

IIO TRAVAUX d' AUGUSTIN CAUCHY.

Dès lors, dans les problèmes de Physique mathématique, on n’a plus à rechercher séparément les intégrales qui représentent les mouvements du son, de la chaleur et de la lumière, les vibrations des corps élastiques, etc; la question devra être censée résolue dans tous les cas, dès qu’on sera parvenu aux équations différentielles. Dans le cas le plus général, la valeur complète d’une variable principale est représentée par une intégrale sextuple, mais elle se réduira à une intégrale quadruple si l’équation devient homogène, et même à une intégrale double si le premier membre de l’équation caractéristique est décomposable en deux facteurs du second degré. L’un des principaux résultats auxquels on arrive peut s’énoncer ainsi : « Étant donné un système d’équations linéaires aux dérivées partielles et à coefficients constants, entre les coordonnées, le temps et plusieurs variables principales, avec les valeurs initiales de ces variables et de leurs dérivées; on réduit la recherche des valeurs générales des variables principales à l’évaluation d’une intégrale définie sextuple relative à six variables auxiliaires;

• la fonction sous le signe J étant proportionnelle à une

exponentielle dont l’exposant est une fonction linéaire des variables indépendantes et réciproquement proportionnelle au premier membre de l’équation caractéristique. » -

On remarquera encore, avec Cauchy, que la recherche des intégrales générales d’un système d’équations linéaires aux dérivées partielles peut se réduire à l’évaluation d’une seule fonction des variables indépendantes, qu’il appelle fonction principale. Celte fonction n’est autre chose qu’une intégrale particulière de l’équation unique aux dérivées partielles, à laquelle doit satisfaire