PROPORTIONS

rapport des deux dernières, on dit que ces quatre quantités forment une proportion, et cette proportion est arithmétique ou géométrique, selon que le rapport qu’on y considère est arithmétique ou géométrique. (Un point entre chaque terme et deux-points entre les deux rapports indiquent une proportion arithmétique ; deux points entre chaque terme et quatre points entre les deux rapports indiquent une proportion géométrique.)

Les quatre quantités 7.9:12.14 forment une propor- • tion arithmétique, parce que la différence des deux premières est la même que celle des deux dernières. Pour énoncer la proportion ainsi écrite, on dit : 7 est à 9, arithmétiquement, comme 12 est à 1,4.

Les quatre quantités 3 : 15 : : 4 : 20 forment une proportion géométrique, parce que 3 est contenu dans 15 autant de fois que 4 l’est dans 20, et pour énoncer laproportion ainsi écrite, on dit : 3 est à 15 comme 4 est à 20.

Le premier et le dernier terme de la proportion se nomment les extrêmes ; le deuxième et le troisième se nomment les moyens.

La propriété fondamentale des proportions arithmétiques est que la somme des extrêmes est égale à la somme des moyens. Par exemple, dans cette proportion :

3 .7:8.12, lÿ somme 5 et 1 2 des extrêmes, et celle 7 et 8 des moyens, sont également 15.

La propriété fondamentale de la proportion géométrique est que le produit des extrêmes est égal an produit des moyens ; par exemple, dans cette proportion

5 : 1 5 : : 7 : 35, le produit de 55 par 5, et celui de 1 5 par7, sont également 105. C’est sur cette propriété qu’est fondée la règle de trois , si employée et si utile.

Progressions. — La progression arithmétique ou par différence est une suite de termes dont chacun surpasse celui qui le précède, ou en est surpassé de la même quantité. Par exemple, cette suite :

.4 .7 .40 .13.16 .19 .22.25. etc., est une progression arithmétique, parce que chaque ferme y surpasse .celui qui le précède d une même quantité qui est ici 3, et qui s’appelle rapport , raison ou différence. Celte progression s'énonce ainsi : 1 est à 4 comme 4 est à 7, comme 7 est à 10, «le.

La progression est dite croissante ou décroissante , selon que les termes vont en augmentant ou en diminuant.

D’après la définition de la progression arithmétique, on voit qu’avec le premier terme et la différence commune ou le rapport de la progression, on peut former tous les autres termes, en ajoutant consécutivement ce rapport, et que, par conséquent :

Le second terme est composé du premier, plus le rapport ou différent e ;

Le troisième est composé du second, plus la différence, et, par conséquent, du premier, plus deux fois la différence :

Le quatrième est composé du troisième, plus la différence, et, par conséquent, du premier, plus trois fois la différence ; de sorte que, en général, un terme quelconque