etc

{43.5.7.9.11.13. 15. 17, etc., chaque terme de la suite inférieure est dit Je logarithme du terme qui est à pareille place dans la suile supérieure.

Un même nombre peut donc avoir une infinité de logarithmes différents, puisque à la même progression géométrique on peut faire correspondre une infinité de progressions arithmétiques différentes.

Comparons maintenant, terme à terme, une progression géométrique quelconque, mais dont le premier terme soit l’unité, avec une progression arithmétique aussi quelconque, mais dont le premier terme soit 0 ; par exemple, les deux suivantes :

44 1 :3: 9: 27: 81: 243: 729: 2187:6561, etc. ; 440 . 4 . 8 . 12 . 16. 20 . 24 . 28 . 32 , etc.

Il suit de la nature et de la correspondance parfaite de ces deux progressions, qu’autant de fois la raison de la première est facteur dans l’un quelconque des termes de cette progression, autant de fois la raison de la seconde est contenue dans le terme correspondant de cette seconde ; par exemple, dans le terme 2187, la raisoii 5 est sept fois facteur (c’est-à-dire que ce terme 2187 est le produit du premier terme I multiplié 7 fois par 3), et dans le terme 28,1a raison 4 est contenue sept fois (c’est-

DE LA f ER1E.

à-dire que ce terme 28 résulte de la raison 4 additionnée

7 fois) .

Un terme quelconque de la progression géométrique ayant toujours pour correspondant, dans la progression arithmétique, un terme qui contiendra la raison de celleci autant de fois que la raison de la première est facteur dans le terme quelconque dont il s’agit, si, d'une part , on multiplie l'un par l'autre deux termes de la progression géométrique, et si, d'autre part, on additionne les deux termes correspondants de la progression arithmétique, le produit et la somme seront deux termes qui se correspondront dans ces progressions.

Donc on peut, par l’addition seule de deux termes de la progression arithmétique, connaître le produit des deux termes correspondants de la progression géométrique, en supposant ces deux progressions prolongées suffisamment.

Par exemple, en ajoutant ci-dessus les deux termes

8 et 24, qui correspondent à 0 et 720, j’ai 52 qui correspond à 6561, et j’en conclus que 6561 est le produit dé 729 multiplié par 7, ce qui est vrai.

Et généralement, dans tout système de ce genre, c’està-dire où la progression géométrique commence par l’unité et la progression arithmétique par 0 , en ajoutant le logarithme de deux nombres, on a le logarithme de leur produit.

C’est sur ce principe qu’est fondé l'usage des tables de logarithmes dans les calculs. Cet admirable mécanisme

CARACTERE DIFFERENTIEL 139

permet d’effectuer presque sans peine des opérations arithmétiques énormes.

[165c] (A) 1 .2.5.4.5.6.7.8.9.10... etc.

(B) 1.4.7.10.15.16.19 22.25. etc.

sont des séries, et chacun de ces chiffres séparé, tels que 1... ,27. ..,216 .., est un terme de la série à laquelle il appartient.

Un nombre quelconque dé carrés d’un même côté ou de cercles d’un même rayon [24«] placés sur une même ligne ne forment aucunement une série, pas plus qu’une suite de 1 .1 .1 ...«ou de 5.5.5...; mais

(F) Un nombre quelconque de carrés ou (F') de cercl s dont les côtés ou les rayons croissent régulièrement de l’un à l aulre, forment une série:

Un nombre quelconque de solides [24f], par exemple, des cubes d’un même côté ou des sphères d’un même rayon, ne forment pas une série ; mais

(G) Un nombre quelconque de cubes ou (G') de sphères dont les côtés ou les rayons croissent régulièrement de l’un à l’autre, forment une série.

Il est facile de reconnaître que dans chacune de ces séries il y a distinction, individualité de chacun des termes, c’est-à-dire que chaque terme d'une série diffère de tous les autres termes de cette même série.

On reconnaît encore que cette différence comporte une

no

DE LA SÉRIE

définition, spéciale à chaque série, qui exprime la valeur, l’étendue de la différence entre les termes successifs.

Enfin il est facile de voir que dans chacune de ces séries il y a une succession progressive qui constitue un ordre régulier, ordre régulier qui s’observe aussi bien en considérant ces séries de gauche à droite que de droite à gauche.

Ainsi :

1° Individualité de chaque tenue, différant de tous les autres;

2° Rapport ou caractère différentiel assujetti à une loi entre tous les termes de la série;

5° Ordre régulier qui consiste en un accroissement ou un décroissement.

Voilà les caractères communs à ces séries et, hâtons nous de le dire, communs à toutes les séries possibles.

[ifiôd] La seule inspection des séries (A) (B) (C) révèle entre tous les termes de chacune un rapport différentiel uniforme. Dans les deux premières, chaque terme surpasse celui qui le précède, et est surpassé par celui qui le suit d’une même quantité : \ pour les termes de (A) ;• 5 pour les termes de (B). Ces séries sont de véritables progressions arithmétiques. Dans la série (C), chaque terme contient trois fois celui qui le précède, et est contenu trois fois par celui qui le suit. C’est donc une véritable progression géométrique.

Mais si nous examinons la série (D), nous voyons que le second terme surpasse de trois unités le premier»