CARACTÈRE DIFFÉRENTIEL

et que le troisième surpasse de cinq unités le second. Ce n’est donc point une série de la nature des progressions arithmétiques, puisque la différence entre les termes est inégale. • »

D'un autre côté, le second contient quatre fois le premier, et est contenu deux fois et un quart dans le troisième. Ce n’est donc point une série de la nature des progressions par quotient, puisqu’on n’y Irouve pas une raison géométrique commune entre tous les termes.

Mais, poursuivant notre recherche, nous trouvons que 4 surpasse 1 de 3 unités; 9 surpasse 4 des? 16 surpasse 9 de 9$ 25 surpasse 16 de 9, etc. Ainsi, 3, 5, « 7, 9, etc., voilà la suite de rapports croissants que nous montre cette suite de termes. La régularité de ce rapport difféi'entiel croissant entre les termes dénote la série. Mais si l’on examine ces quotients successifs, on trouve que chacun d’eux surpasse celui qui le précède, et est surpassé par celui qui le suit d’une môme quantité 2 ; il doit donc exister, entre tous les termes de la série, un rapport uniforme caché dont la nature reste à découvrir.

En effet, si l’on divise 1 par 1, 4 par 2, 9 par 3, 16 par 4, etc., on trouve pour quotients successifs 1, 2,

3, 4, etc., c’est-à-dire la série arithmétique (A) : d’où il suit que les termes de la série (D) paraissent représenter une série de carrés dont les côtés croissent selon la série (A) ; de sorte que la longueur du côté du premier carré étant prise pour unité, le côté de chaque carré surpasse

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d’une unité le côté du carré qui le précède, et est surpassé d’une unité par le côté du carré qui le suit.

Examinons maintenant la suite (E),qui ne nous offre ni un rapport arithmétique, ni une raison géométrique.

Nous voyons que le terme 8 surpasse 1 de » unités : 27 surpasse 8 de i»s 64 surpasse 27 de si? 425 surpasse 64 de «i i 246 surpasse 425 de »i * etc.

Si nous écrivons sur une même ligne ces résultats d’une première recherche :

et que nous recherchions, comme précédemment, leurs . rapports, nous trouvons que 19 surpasse 7 de f*, 57 surpasse 49 de 18 . 64 surpasse 57 de * l. 94 surpasse 61 de so.

Si nous cherchons maintenant les rapports de ces résultats d'une seconde recherche :

nous trouvons (pie chaque terme surpasse celui qui le précède, et est surpassé par celui qui le suit d’un même nombre d'unités : 6. Il y a donc lieu de rechercher ce que peut signifier cetle série (E 1 , dont le rapport uniforme caché n’a pu être découvert que par trois recherches successives.

Or, si l’on divise 4 par 4, 8 par 2, 27 par 5, 64 par 4, etc., on trouve pour quotients 4, 4, 9, 46, etc., qui, divisés encore une fois par 4, 2, 5, 4, etc., donnent pour quotients 4 ,'2, 5, 4, etc., c’est-à-dire la série (A) ; ce qui semble indiquer que dans la série (E) il s’agit

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CARACTÈRE DIFFÉRENTIEL 1 i3

d'une série de solides, de cubes, par exemple, dont les côtés sont entre eux comme 1, 2, 5, 4, etc.

Nous disons que ces considérations semblent indiquer qu’il s'agit de carrés dans la série (D) et de cubes dans la série (E), parce qu’en effet, dans le premier cas, il peut s’agir de toutes autres surfaces ou de toute autre chose, aussi bien que de carrés; comme dans le second cas, il peut s’agir de tous autres solides onde toute autre chose, aussi bien que de cubes. Mais, quoi qu’il en soit, leur qualité de séries est manifestée par leurs rapports différentiels croissants et réguliers.

Concluons donc de ces observations que le caractère différentiel peut être : 1° uniforme , soit arithmétique, soit géométrique; 2° croissant ; 5° uniforme, mais caché , et parfois très-difficile à reconnaître.

[Itiôtf] Avant de poursuivre, nous devons définir deux termes dont l’emploi nous sera souvent nécessaire : concret, abstrait. *

Concret se dit d’un attribut, d’une qualité considérée dans un sujet. Ainsi, quand on dit : cet homme est grand, celte femme est belle, les termes grand , belle, sont des ternies concrets ; ils expriment la qualité d’un sujet.

Abstrait se dit d’une qualité considérée indépendamment de tout sujet. Ainsi, grandeur, beauté, sont des termes abstraits.

Concret se dit de même d’un nombre qu’on exprimeen disant l’espèce de ses unités; un homme, dix hommes, cent chevaux, mille vaisseaux, sont des nombres concrets.

DE LA SÉRIE

Abstrait se dit de même d’un nombre que l’on considère seulement comme une collection d’unités sans indiquer l’espèce de ces unités; un, dix, cent, mille, sont des nombres abstraits.

Sans aucun doute, l’expression série concrète signifie une série de corps ou de figures, telles que les séries (F) et (G) , et généralement une série déterminée quelconque.

Mais si nous appelons série abstraite le quelque chose de commun à toutes les séries et qui peut être abstrait, c’està-dire extrait de leur ensemble par la pensée, comment devons-nous appeler des séries telles que (A) (B) (C) (D) (E), qui sont toutes composées de nombres abstraits? A coup sûr, elles ne sont pas la série abstraite, puisqu’elles diffèrent les unes des autres, £t que l’expression : série abstraite, doit être réservée seulement au quelque chose de commun à toutes les séries... Nous n’irons pas plus loin ici sur cette difficulté qui ne peut être résolue que par des raisonnements très-ardus ; nous nous bornerons à ranger sous le nom de séries numériques toutes les séries composées de nombres abstraits, et nous rappellerons que la nature des objets représentés par ces séries est indéterminée. Il n’y a en elles de déterminé que leurs rapports différentiels.

[IG 3/] La série abstraite est ici l’objet de notre recherche. Cette série abstraite est l’image idéale et générale qui, dans son expression la plus simple, représenterait à notre esprit les qualités communes à toute série numérique ou concrète.