SÉRIES TROUBLÉES. IM

partiennent à la série numérique (A) ou à l’une des deux autres séries. Et même, quand ce serait la série complète (D) ou (E) que nous aurions jetée dans le sac, il sera seulement probable que la progression retrouvée et rétablie en ordre est la série (D) ou la série |E), car on pourra toujours soupçonner que ces termes sont simplement empruntés à la série arithmétique (A).

Maintenant, jetons dans notre sac un nombre quelconque de termes de la série des carrés (F), de la série des cercles (F'), de la série des cubes (G) et de la série des sphères (G'). Ici, plus d’hésitation : les termes de ces quatre séries concrètes se replaceront d’eux-mèmes en quatre suites plus ou moins incomplètes, mais dont la nature et l’origine ne seront point douteuses.

Mais une difficulté très-grande apparaît ici : celle de déterminer le rapport dans ces séries concrètes. Tandis que lorsqu'on vous donne deux termes successifs quelconques d’une série numérique, en vous avertissant qu’ils appartiennent tous deux ci une série déterminée, rien n’est plus simple que de trouver leur rapport; au contraire, dans une série concrète quelconque, la recherche du rapport de deux termes, même successifs, est assez difficile. Pour la série des cercles, par exemple, il nous faudra mesurer avec un compas les rayons des deux cercles successifs, et, cherchant leur commune mesure, trouver expérimentalement leur rapport; chose qui peut paraître facile, mais qui est en réalité très-délicate et trèssujette à erreur. — Et encore ne fais-je ici qu’effleurer

DE LA SÉRIE

celle difficulté de la détermination du rapport différentiel dans les séries concrètes, qui est bien plus compliquée dès que les termes empruntés à une série, celle des cerctes par exemple, et livrés à l'observation, ne sont nulle part consécutifs, car alors il devient positivement impossible de déterminer ce rapport autrement que dans des limites maxima et minima'. Mais nous sentons qu’ici l'aridité de ces explications fatiguerait le lecteur

1 Voici cc qu'il faut entendre p3r limites maxima et minima :

Supposons qu’on nous montre quatre cercles dont les diamètres soient 0,002 . 0.010,. 0,012.. 0,050, et qu'après nous avoir averti que dans la série complète à laquelle ils appartiennent les rayons croissent uniformément, on nous demande de trouver quelle est la différence de longueur du rayon qui forme le caractère différentiel dans celte série.

Du premier nu second cercle la différence du rayon est 0,004; du deuxième au troisième, 0,001 ; du troisième au quatrième, 0,009.

La plus petite différence étant 0,001, nous répondons que: un millimètre est la limite maxima de la différence des rayons dans cette série. C’est-à-dire qu’il est possible qu'en réalité dans la série complète à laquelle sont empruntés les quatre cercles qu’on nous montre, les termes successifs diffèrent moins de grandeur que les cercles trois et quatre soumis à notre observation ; mais à coup sûr la différence sérielle ne peut être plus grande qu'un millimètre, puisque un millimètre est la différence entre les rayons des cercles trois et quatre.

Si l’on nous demande ensuite quelle est l'étendue de cette série de cercles, nous partirons de notre évaluation maxima de la différence des rayons ; et, nous fondant sur ce que le terme le plus élevé soumis à notre observation a pour rayon 0,015, nous répondrons que la limite minima du nombre des termes de la série est quinze cercles. Il est possible que la série soit plus étendue; mais à coup sûr elle n’a pas moins de quinze termes.

Ces évaluations des limites maxima et minima des quantités variables' ou imparfaitement connues ont dans la science une importance extrême. Fort souvent la connaissance des limites maxima et minima conduit, rationnellement et pratiquement, à des résultats aussi certains, aussi précis même que la connaissance parfaite d'une grandeur lixe.

Voy. la note au n* [165"| et celle du n° [55].