DEUXIÈME LEÇON

INTRODUCTION A LA THÉORIE DE GAUSS. SON OBJET : EXTENSION A UN SYSTÈME SPIIÉRIQUE COMPOSÉ DES PROPOSITIONS DÉMONTRÉES POUR UN SYSTÈME SIMPLE.

§ 22. — Objet de la théorie des points cardinaux.

En s'appuyant sur les propositions qui précèdent, rien n'est donc plus simple que de déterminer géométriquement les constantes d'un système dioptrique lenticulaire, quand il se réduit à une surface sphérique unique.

L'inflexion du rayon réfracté ayant lieu dès son contact avec la surface réfringente, les longueurs focales se comptent naturellement de ce point même ou du sommet de la calotte sphérique, ce qui revient sensiblement au même.

En second lieu, le rayon qui, dans le premier milieu, se dirige vers le centre de la sphère, n'est point dévié dans son cours.

Voilà des données fixes, positives, sur lesquelles peuvent se fonder toutes les constructions d'images, toutes les mensurations requises.

Mais ce qui est simple pour une surface devient un peu plus compliqué pour deux ; la complication s'aggrave pour trois : car il va falloir marcher de proche en proche, et calculer les constantes dioptriques finales, en passant de chaque surface à la suivante :

On comprend aisément dans quels interminables calculs on peut être entraîné par ce procédé, pour peu que le nombre des surfaces réfringentes s'élève. Dans le cas de deux surfaces seulement, les anciennes méthodes avaient tourné la question. Considérant les lentilles usuelles comme ayant une épaisseur négligeable, on les traitait comme des instruments infiniment minces, réduits à leur plan médian. Les distances focales, principales et conjuguées, étaient comptées à partir de la surface de la lentille ou de son centre de figure, sans que l'on y prît trop garde ; de plus, tout rayon passant par le centre de figure était considéré comme n'éprouvant pas de déviation. Les lentilles étaient traitées sur les mêmes bases que la surface sphérique unique.

Sans grands inconvénients, quand la longueur focale de la lentille était notable, eu égard à son épaisseur, cette méthode ne pouvait pas être conservée, pour peu que cette épaisseur acquit une mesure impossible à négliger, devant la brièveté d'une longueur focale.

De quels plans ferait-on alors partir l'inflexion des rayons pour mesurer les longueurs focales ? L'incertitude ici devenait grande.

Gomment, en outre, continuer à considérer comme n'éprouvant pas de déviation le rayon dirigé, dans le premier milieu, vers le centre de figure de la lentille ?

N'est-il pas visible que, dans le cas de deux ou plusieurs surfaces successives, il n'y a pas un seul rayon (sauf celui qui suit l'axe de système) qui ne soit dévié. L'axe seul, en effet, peut passer à la fois par tous les centres des surfaces (condition unique de non-déviation).

La nécessité de procurer à l'optique appliquée des méthodes plus rigoureuses, l'espoir de rencontrer des formules applicables à un système optique donné, et indépendantes du nombre des surfaces de réfraction, a conduit Gauss à de nouvelles considérations qui ont amené dans les résultats autant de simplicité que de précision.

Ces considérations sont renfermées clans la théorie des plans cardinaux.

Pour donner une idée de cette théorie très remarquable et en faire nettement saisir la portée et le sens, nous ne commencerons pas, comme les auteurs allemands, par définir ce qu'on entend par points et plans cardinaux. Car ces définitions un peu complexes en ellesmêmes supposent implicitement l'existence, dans tout système optique, de ces points et plans. Or cette notion ne saute point aux yeux, et leur définition n'a droit logique de se présenter qu'en s'appuyant sur les éléments mêmes qui établissent la réalité du principe défini.

Et d'abord, en ce qui concerne les images elles-mêmes, ou plus simplement les foyers, les points de concours des rayons homocentriques, quelques propositions générales seront préalablement établies.

Définissons donc ce qu'on entend par foyers ou points focaux.

§ 23. — Systèmes composés : Points et Plans focaux. — Définitions.

Propositions.

Nous avons vu qu'un objet lumineux étant placé sur l'axe d'un système réfringent, composé d'une surface sphérique et de deux milieux, cet objet donnait, en un point du même axe, une image géométriquement semblable à lui.

Tout faisceau de rayons parallèles ou homocentriques donne donc lieu, après une première réfraction, à un autre faisceau homocentrique ou parallèle. Si l'on considère une seconde surface sphérique et un troisième milieu, et généralement un nombre quelconque de mdieux et de surfaces, assujetties à cette seule condition que tous leurs centres, ainsi que l'objet lumineux, soient sur la même ligne droite (c'est ce que l'on appelle un système centré),

La réfraction par la seconde surface, portant sur un faisceau émer- 1 géant homocentrique de la première, le restituera homocentrique, et ainsi de suite.

Proposition. — Quel que soit donc le nombre de surfaces sphériques centrées, traversées par le faisceau, s'il est homocentrique avant la première, il sera encore tel après la dernière.

(Nous ne nous arrêterons pas à démontrer cette proposition ; elle se déduit implicitement du fait expérimental qui sert de base à cette étude, et qui nous montre des images nettes d'un objet procurées par les systèmes composés tout aussi parfaitement que par les systèmes simples.)

Cela posé,

Les définitions données (§ 5) aux termes foyers et plans focaux, conserveront ici leur entière application, quel que soit le nombre des surfaces et des milieux.

§ 24. — Idée première des points principaux : leur définition.

Des considérations mathématiques élevées, dont la reproduction n'a point de raison d'être dans un ouvrage destiné à la science appliquée, ont fait penser à Gauss qu'il existait, dans tout système réfringent composé, un ensemble de points ou plans conjugués susceptibles de jouer, par rapport aux autres éléments dioptriques du système, le rôle rempli par la surface de séparation des milieux dans un système simple. Ce rôle consiste à marquer le lieu géométrique du changement de vitesse éprouvé par l'ensemble des rayons constituant un faisceau lumineux homocentrique donné, la région du système où s'établit l'équilibre de l'espace avec le temps, entre un rayon excentrique et le rayon central, en un mot, V origine des mesures de l'action réfringente ou des longueurs focales.

Or, ces points remarquables, il les a reconnus dans un couple particulier de points conjugués, répondant à cette condition : qu'en ces deux points l'objet et l'image offrent même dimension et se trouvent dirigés dans le même sens.

Dans le même ordre d'idées et comme complément de cette tbéorie, Listing a fait connaître plus tard qu'il existe également dans tout système réfringent sphérique composé, un second couple de points conjugués qui remplissent, dans ce système, le rôle rempli dans un système simple, par le centre de la surface.

Ce second couple est défini par la condition suivante :

« Ces points dits nodaux sont placés sur l'axe (comme les précédents, dits points principaux), de telle sorte que tout rayon lumineux dont la direction dans le premier milieu, passe par le premier de ces points,

conserve, après la dernière réfraction, une direction parallèle à celle suivie dans le premier milieu, et passe en outre par le second point dudit couple. »

Par cette double découverte, tout système réfringent composé se trouve posséder deux couples de points, dont la première paire représente la surface, et la seconde son centre dans le système simple.

Mais avant d'aller plus loin, comme il ne serait pas scientifique de s'en tenir à l'autorité du maître, il convient d'établir que ces deux couples ou paires conjugués existent bien réellement dans tout système réfringent composé et qu'il n'y en existe qu'un de chaque espèce.

§ 25. — Lemme fondamental. — Loi à laquelle obéit tout rayon lumineux qui traverse un système réfringent sphérique centré quelconque.

Au § 19 nous avons établi la relation, dans un système simple, existant entre : 1° la grandeur relative de l'objet et de l'image dans un couple conjugué quelconque, 2° les indices de réfraction des deux milieux, et 3° l'angle que fait avec l'axe, dans les deux milieux, un même rayon quelconque allant d'un point de l'objet à son correspondant dans l'image.

Cette relation est exprimée par l'équation suivante :

p' . tang «'. nl = p" . tang «.". nr

Nous allons montrer que dans tout système composé, si l'on fait abstraction de tous les milieux intermédiaires, la même relation existe entre l'objet et son image dans le dernier milieu, les indices extrêmes et les deux tangentes extrêmes.

En effet, si l'équation est vraie pour les deux premiers milieux nv n2, elle se trouve encore vraie pour le second et le troisième, n2, ns, pour le troisième et le quatrième etc., et ainsi de suite... finalement entre nm et nm+i.

Si donc nous inscrivons toutes ces équations au-dessous les unes des autres, nous remarquons que le second terme de l'une d'elles est le premier de l'équation suivante , et qu'alors en les multipliant membre à membre, la simplification du résultat par annulation des termes égaux de part et d'autre, ne laisse debout que les deux membres extrêmes :

pv nr tang «, = j3m+1. nm+1. tang «m+1

ou, pour plus de simplicité, et ne faisant état que des milieux extrêmes :

Pv nv tang «i = (32. nr tang «2 quel que soit le nombre des surfaces.

Cette formule représente la loi à laquelle obéit tout rayon lumi- , neux qui traverse un système réfringent sphérique centré.

§ 26. — Points principaux. — Dans tout système réfringent composé d'un nombre quelconque de surfaces sphériques centrées, il existe un premier couple de points conjugués pour lesquels l'image et l'objet sont égaux entre eux et disposés dans le même sens, et il n'en existe qu'un seul.

Rappelons l'équation du paragraphe précédent, dans laquelle est définie la marche d'un même rayon lumineux traversant un système réfringent quelconque :

/3L tang k1 = /32 n2 tang «2 . Cette équation peut être mise sous la forme :

h. x tang ai = !!i

Or, on voit que pour toute valeur arbitraire donnée à l'un quelconque des rapports contenus dans le premier membre, il en résulte, pour l'autre rapport, une valeur déterminée, et qu'il n'en existe quune, l'équation étant du premier degré et composée de termes finis (nous supposons, bien entendu, les milieux constants).

Si, par exemple, nous y faisons J3X = , ou = + 1 ,

tang K| n,

il vient : — • = + — .

tang a2 nx

Et cette équation nous donnera les inclinaisons relatives sur l'axe, dans les deux mdieux extrêmes, du rayon qui coupe l'axe dans les points où V objet et son image sont égaux entre eux et disposés dans le même sens.

Il existe donc bien dans tout système réfringent sphérique deux points conjugués, pour lesquels l'objet et l'image sont égaux et dirigés dans le même sens.

§ 27. — Points nodaux.

. tang etj

Si maintenant, dans la même formule, on posait — — — = -J- 1

l'équation répondrait : ~ = -| et l'on conclurait avec non

p2 7ii

moins de sûreté que :

Dans tout système dioptrique, il existe un second couple de points conjugués pour lesquels le rayon lumineux qui coupe l'axe en ces deux points, y suit, dans les deux milieux extrêmes, des directions

LEÇON

parallèles entre elles, et qu'il n'en existe qu'un (l'équation étant du premier degré).

Ea ces points, ajoute la formule, les images, disposées dans le même sens, sont entre elles (en dimension) clans le rapport — . Ces points sont ceux désignés sous le nom de nodaux.

§ 28. — Détermination de la position des points et plans principaux.

La distance respective de chacun d'eux au foyer principal homologue est égale à la longueur focale principale correspondante.

Nous avons déGni plus haut (§ 23) ce que l'on désigne par foyers principaux.

Quelques considérations très simples vont nous procurer la position par rapport à ces deux points remarquables du couple conjugué, pour lesquels objet et image, égaux entre eux, sont en outre dirigés dans le même sens.

Fig. 6.

Soient H„ H2 (fig. 6) ces deux points dont nous venons de démontrer l'existence réelle et unique, et qui répondent à la condition (3, = P2, d'où se déduit l'inclinaison sur l'axe, dans les deux milieux extrêmes, du rayon qui passe par H, et H2,

tang a, ih

tang a2 ?z, ^a '

A, H, représentant l'objet 0, , situé dans le premier milieu, A2 H2 en sera l'image 6 dans le dernier. 8 2

Or, A2 H2 et A, H, étant égaux et semblablement disposés, eu égard à cette parfaite symétrie de position, les points A, et A2, images l'un de l'autre, seront sur une mtme ligne parallèle à l'axe; et sur cette même parallèle demeurerait le point A de 1 objet si l'on faisait, par hypothèse, promener l'objet parallèlement à lui-même, soit dans le premier milieu, en allant de A, vers l'infini du côté gauche ae la ligure, soit de A2, dans le dernier milieu, du côté contraire lenZwTr^r' le Point A* aPPartiendra donc à la ligne que suivrait, dans

, l' Z !\ ray°n ParaUèle à raxe éman6 du P0i«t A.de l'objet, quel que i»t idoignement de cet objet sur l'axe.

mîîuI^^T'T^^11^^^6 miHeU' le Point A2 appartient donc égaleirection dudit rayon parallèle à l'axe, après sa réfraction dans le der-

Point A Inl " Ta PaSSe nécessairemeilt Par 'le second foyer principal. Le

au seconT " " " ^'."2Cy,a'e; CCU° l0ngUL''"' H» F» mesure do™ ^ distance i second foyer principal du second des points principaux.

vement à l7îotr * * ,d°nC' d après les notations adoPll5es « relati-

ce foyer, une valeur négatim D(J même) g. ^ ^ ^

GIRAUD-TEULON. — LA VISION. o

34, RÉFRACTION SPIIÉRIQUE. [2°

pensée, un chemin inverse ;\ la lumière, A, devient l'origine de la direction suivie ■ dans le premier milieu, par le rayon lumineux parallèle à l'axe dans le dernier; A, Fi est donc la direction du premier foyer principal et l'on a de même : H, Fj = F( (appelant Fi la première longueur focale principale).

§ 29. — Scholie.

Considérons maintenant un second couple AB, ab de points conjugués qui répondrait à la condition :

% = - P, ou h- = - 1 ,

c'est-à-dire pour lequel image et objets, encore égaux entre eux, seraient disposés en sens contraire.

(Supposons : AB = A, Ht = A2 Hg, pour nous servir de la même figure 6).

On y voit que le point A de l'objet étant, dans le premier milieu, sur la parallèle à l'axe A Ai A2, le rayon réfracté A2 a, qui doit concourir à l'image renversée a de A dans le dernier milieu, passera nécessairement par le deuxième foyer principal F2.

D'autre part, cette même image renversée a de A se trouvera sur un autre rayon lumineux qui, parti de A, passerait dans le premier milieu par le foyer principal Fl5 et, après réfraction dans le dernier milieu, s'y trouverait parallèle à l'axe.

La figure 6, ci-dessus, qui résume ces rapports, nous montre alors, dans chaque milieu, deux triangles rectangles égaux et symétriques : d'une part, ABF1,A,H1F1; d'autre part, a b F2 , A2 H2 F2 .

(Triangles rectangles ayant un angle commun opposé au sommet, et le côté opposé égal de part et d'autre). Ces triangles nous donnent :