BF, = F,H,, 6F2 = H2F
Égalités d'où nous pouvons conclure : 1° que, dans tout système dioptrique centré, il existe deux couples de points conjugués pour l'un desquels l'image est égale à l'objet et de même sens que lui ; tandis que pour l'autre, l'image, égale encore à l'objet, est, au contraire, renversée par rapport à lui.
Or, ces couples de points sont, respectivement, à des distances du foyer principal homologue, égales entre elles et à la longueur focale correspondante :
L'un de ces couples (points principaux) situés entre les foyers principaux ;
L'autre (objet et image réels) situés de part et d'autre de ces foyers ;
Les premiers occupant, par conséquent, des positions négatives par rapport à cea foyers ; les seconds, des positions positives.
On voit, en effet, que dans ce dernier couple, répondant au sens inverse des images, les situations respectives de l'objet et de l'image sont celles d'objets et images réels et positifs ; les distances A, F, = F, , as F2 = F4 sont donc positives.
Inversement, par conséquent, dans ces mêmes circonstances, les distances II, F, et H2F2 du couple des points principaux aux foyers principaux de même nom, étant en sens inverse par rapport à ces foyers, devront prendre une notation négative, et l'on aura :
II, F, =-F,, HjF^-F».
LEÇON
§ 30. — Les distances des points principaux aux foyers principaux homologues ou longueurs focales principales du système, sont entre elles (comme dans le système simple) dans le rapport direct des indices des milieux correspondants.
Dans la figure 6, menons par les points H,, H2 (points principaux) les lignes H, A , Ho a dans les milieux extrêmes.
La ligne infléchie AH, H2 a représentera la marche d'un rayon lumineux parti de A et se rendant en a, après avoir passé par les points principaux H, H2 , images
l'un de l'autre. Ce rayon obéira donc à la loi : h . tang g! = °h aDl)liauée
P2 tang aa m ' ^F 4 aux points pnncipaux, pour lesquels p, = j32 ; c'est-à-dire que l'on aura r
Or, sur la figure, on voit que :
tang a, = —
on a donc :
et comme on a par suite
tang a, = tang etj
AB = p,
2 H,Ft
ba= p2
tang a2 2Fj
tang «2
tang a2 ?2,
Fi n, '
comme dans le cas du système simple g ^ distance, représentent donc bien les longueurs focales principales du système
(Voy. § H).
iii R2 f ~ fv — 1
Ho i
Fig. 7.
Soit AB, ba (flg, 7) un couple conjugué quelconque; HA, , As
s 6 un rayon lumineux
36 RÉFRACTION SPHÉRIQUE. [2e
parti de B et arrivant à l'image b dudit point sur l'axe. La marche de ce rayon lumineux est définie, comme on sait, par l'équation :
P, tan g a, n2
P2 ' taflg «2 «i
P, — ft
Or, tang a, = — tang «, = -p- ,
qui donne
tang a, /"
tang a2 /''
Dans l'équation générale, remplaçons :
tang cli f
par ,
tang ci I
il vient : — — = — • rr. ,
mais les deux triangles semblables A2 H2 F2, 6F2a nous donnent :
h. Yi El
P» f — Fg Z2
et en mettant en regard les seconds membres des deux dernières égalités :
Mais nous savons que : — = — ; remplaçons donc —-par —, u
vw A -L- = Fa ■ ou — = — - — , équation que l'on
vient . ■ ^ ^ Fa , ou ^ ^, Fî > ^
peut mettre sous la forme : f {f — F2) = f" F, ou f f -rFi = f>'Fi
ou f, f + f, f = /» r
Il + Il = i.
ou
Ce qu'il fallait démontrer.
Corollaires. — De cette proposition générale
reconnue vraie pour un système composé, comme elle l'est pour un système simple, on déduit naturellement les mêmes conséquences tirées de la même proposition dans le chapitre relatif à la réfraction par une surface unique.
A savoir :
s 30 - Le produit des distances respectives de deux foyers conjugués quelconques aux foyers principaux correspondants, est égal au produit des longueurs focales principales.
En appelant : k = f' — ^\
Multipliant membre à membre et simplifiant au moyen de l'équation précédente
Il , Ii.= i
on obtient l'analogue de la proposition (§ 12) :
équation qui exprime d'une manière si élégante et si pratique la loi des foyers conjugués dans leurs rapports avec les foyers principaux. De même encore pour la loi qui établit :
§ 33. — Les rapports de la grandeur des images à leur distance respective au foyer principal et à la longueur focale principale correspondants.
Identique à la proposition 20.
Et 3° enfin :
§ 34. — La loi générale qui rattache deux couples conjugués quelconques entre eux et aux foyers principaux.
Nous voyons par là que, dans un système composé, les deux points principaux de Gauss jouent : le premier, pour le premier milieu; le second, pour le second milieu, exactement le rôle rempli par la surface unique du système simple dans ses rapports avec les deux milieux successivement.
Toutes les relations y sont les mêmes :
1" Entre les points et les foyers principaux;
2° Entre les longueurs focales principales et les indices de réfraction des milieux extrêmes;
3° Entre un couple de points conjugués quelconques et les foyers principaux; 4° Entre la grandeur des images et les distances des points conjugués aux foyers principaux.
En définitive, il y a la même identité de rapports entre les points principaux et tous les autres éléments d'un système composé, qu'entre la surface unique d'un système simple et ces mômes éléments. L'intervalle fini et mesurable qui sépare les deux plans principaux étant considéré comme non avenu, on substitue à l'épaisseur infiniment mince de la surface unique, ces deux plans qui, à cette distance l'un de l'autre, remplacent absolument cette surface.
38 RÉFRACTION SPHÉRIQUK. [2«
Comme inversement, celle-ci représenterait la fusion des deux plans principaux si l'on voulait passer d'un système composé à un système simple. i
: Remarque, — Si nous considérons la relation fondamentale établie dans le § 31, entre les foyers conjugués et les foyers principaux d'un système composé :
et que, dans cette équation, nous fassions F, = Fï, comme cela a lieu lors que les milieux extrêmes sont identiques, il vient :
Expression dans laquelle nous reconnaissons l'ancienne formule des lentilles (théorie d'Euler).
Nous ajouterons à cette remarque que le rapprochement de cette formule classique : — -f — = - , et de la théorie que nous venons de développer,
apporte une entière justification à la proposition suivante énoncée par nous, pour la première fois en 1864, en ces termes 1 :
« Un système lenticulaire simple peut être considéré comme la somme de deux lentilles idéales condensées en lui : la première, amenant au parallélisme les rayons incidents homocentriques ; la seconde, réunissant au point conjugué de concours, ces rayons pris à l'état de parallélisme. La première lentille idéale ayant
pour valeur ou mesure de son action réfringente — ; la; seconde, — . Leur
somme répondant alors à l'égalité ci-dessus : — + — = — • "
§ 35. — Notion première et significations des points nodaux.
Mais il est encore un autre couple de points conjugués remarquables qui, dans tout système réfringent composé, jouent un rôle des plus importants.
Dans la première leçon, consacrée aux lois de la réfraction par une surface sphérique unique, paragraphe 18, nous avons vu qu'il existe, pour chaque point de l'objet, un rayon lumineux qui n'est point dévié lors du passage du premier milieu dans le second. Ce rayon passe par le centre même de la surface de la sphère. En ce centre se rencontrent donc tous les rayons non déviés émanés de l'objet, et ce point forme ainsi le sommet commun de tous les triangles, deux à deux semblables, qui peuvent être formés entre les différents points de l'objet et leurs correspondants dans l'image. C'est ce que les anciens physiciens nommaient le nœud de la réfraction.
Nous avons vu de plus que c'était la considération de ce sommet
1. Précis de la réfraction : supplément à Mackcnzie, 1865. - Ann. d'ocxdistique, juillet 1864,
commun de tous les triangles, formés comme nous venons de dire, qui avait conduit à la formule si précieuse :
qui fournit le rapport de la grandeur des images à leur distance au centre dé la surface (paragraphe 18).
Les choses ne se passent plus aussi simplement dans un système composé de plusieurs surfaces. Le rayon qui, parti de l'un des points de l'objet, va passer par le centre de la première, ne peut point passer par le centre de la seconde. Il n'y a plus, dans ce cas, de rayon réel non dévié, et qui aille directement d'un point de l'objet à son homologue dans l'image.
S'il y a toujours, sur l'axe, unpoint où se croisent toutes les lignes droites idéales menées entre un point de l'objet et son image, point qui divise leur distance mutuelle en deux parties directement proportionnelles à leurs dimensions {centre des directions rectilignes ou de similitude); ce point n'est pas réel; nul rayon réel, non dévié, ne le saurait fournir :
L'absence de ce point, le nœud de la réfraction, si utile dans un système simple, constituerait dans un système composé une lacune considérable, si une considération importante n'y venait suppléer.
Nous avons démontré au paragraphe 27 que :
« Dans tout système réfringent composé il existe un couple de points conjugués, et un seul, tels que tout rayon lumineux dont la direction dans le premier milieu passe par le premier de ces points, conserve, après la dernière réfraction, une direction parallèle à la direction primitive, et passe par le second point dudit couple remarquable. » C'est le couple des points nodaux.
Un système dioptrique composé a donc deux nœuds au lieu d'un.
La condition remplie par ce couple, et que nous venons de reproduire, le parallélisme des directions extrêmes du rayon lumineux qui les traverse tous les deux, a été mathématiquement imposée par ,. tang «.
1 égalité = 1 dans 1 équation générale représentant la
tang a2
marche d'un rayon lumineux quelconque à travers le système.
§ 36. — Position des points nodaux.
Il s'agit maintenant de déterminer la position, dans le systémo ou sur son axe, de ces deux points remarquables.
Nous venons de rappeler qu'ils répondent à la condition ta"g = + 1 , qui,
tang «s
40 RÉFRACTION SPHÉRIQUE. [2e
transportée dans l'équation générale : il x til"g *' = * nous don-
P2 tang a» nt '
nera : h. ■= ~
laquelle, traduite en langage ordinaire, nous apprend qu'en ces deux points les images seront de môme sens, et dans un rapport de grandeur inverse des indices de réfraction des milieux extrêmes.
Une proposition déjà établie (§ 33) nous apprend, d'autre part, que les points où les images offrent de tels rapports, sont à des distances des foyers principaux fournies par les formules générales :
Pj = Jj Pf F,
p» ■ Fi ' i; r '
dans lesquelles nous aurons remplacé — par leur valeur — ;
Pî nt
nous aurons donc : L = J
et HL = Il
h et lt étant les distances desdits points conjugués au foyer principal homologue. Ces deux dernières équations reviennent à :
4 = — Fj
Or, on sait que dans tout système dioptrique ~ = — (§ 30) ; il vient donc, en
définitive : Zt = — F2 , l, = — F, .
Or, si l'on désigne par G,, G2 les distances respectives desdits points à leur foyer principal (les Z, et l2 des équations qui précèdent), on a:
Gt = — F2 et G2 = — F, .
Ce qui revient à dire que : le couple des points nodaux occupe dans le système les positions suivantes :
Le premier nodal est en arrière du premier foyer principal, à une distance égale à la seconde longueur focale principale, et que le second point nodal est en avant du deuxième foyer principal, d'une quantité égale à la première longueur focale principale.
Corollaires de la proposition 36 :
Si G, = Fa et G, = F, ,
il s'ensuit que, comme dans un système simple :
Autrement dit :
leçon ] THÉORIE DE GAUSS. *1
§ 37. Les distances des points nodaux aux points principaux homologues sont entre elles en raison inverse des indices de réfraction des milieux extrêmes.
Par suite des mêmes considérations développées au paragraphe 16,
§ 38. — La somme des rapports de la distance de chaque point nodal, mesurée du point principal correspondant, au foyer conjugué également correspondant, est égale à l'unité.
Suite des corollaires de la proposition 36 :
§ 39. — La distance de chaque point nodal au point principal correspondant est égale à la différence des longueurs focales principales.
En effet, puisque G, = F2 et G2 = F1} Gt — Ft =' F2 — Fr
§ 40. — La distance mutuelle des points nodaux est la même que celle des points principaux, et égale à la distance mutuelle des deux foyers principaux diminuée de la somme des longueurs focales principales.
Proposition évidente d'elle-même.
§ 41. — Scholie.
La théorie des points nodaux peut, comme celle des points principaux, être pré-
Ki ' "i "'I
....i -.L„;::vl
Fig.
senlée sous une forme géométrique extrêmement simple qui permet d'embrasser toute cette discussion dans un coup d'œil d'ensemble.
Dans l'exposition de la conception des points principaux, nous avons mis en présence (voir flg. 6) deux couples conjugués remarquables, appartenant à la même famille, et pour lesquels l'objet et l'image, de même dimension, affectent pour l'un des couples la même direction, et pour l'autre couple une situation inverse ou renversée.
La particularité géométrique, qui a permis ce rapprochement, se retrouve encore en ce qui concerne les points nodaux. De même, en effet, que dans la théorie des points principaux, nous avons opposé au couple conjugué répondant à la condition:—. = + if un second couple c0njUgU(i satisfaisant à la condition inverse: P.
/i2 RÉFRACTION SPHÉRIQUE. [
De même, du couple (K,, K2)(flg. 8), pour lequel ta"g = + 1, nous pouvons
tang a»
rapprocher celui qui répondrait à la condition inverse :
tang a, tang a2
Dans cette hypothèse, on trouve que le rapport de grandeur de l'objet à l'image, au
lieu d'ôtre dans la relation : ~ = + — , répond à l'équation inverse : — = .
Pï ni Pj nx
Les dimensions sont dans le môme rapport de grandeur; mais l'objet et l'image, au lieu d'ôtre dirigés dans le même sens, sont disposés en sens inverse l'un de l'autre. Nous trouverions, en outre, que leurs distances respectives aux foyers principaux homologues, les mômes en valeur absolue que dans l'autre couple, seraient positives au lieu d'être négatives, c'est-à-dire devraient être reportées de quantités égales de l'autre côté des points nodaux. On aurait alors : = F2 , h = Ft (on sait que les distances positives sont comptées à partir des foyers principaux, en avant du premier et en arrière du second).
Le second couple dont il est question serait donc symétriquement placé avec les points nodaux eu égard aux foyers principaux.
On reconnaît d'un coup d'œil tous ces rapports en portant la vue sur la figure 8, dans laquelle :
(Hi, Hs) étant le couple des points principaux;
(Fi, F»), les foyers principaux;
(Ki, K2), le couple des points nodaux;
AB, la dimension de l'objet reproduite en (AjH,), (A2H,), et enfin en a' K, (premier nodal), à une distance l{ = — F2 du premier foyer principal, donne son image en K2 , à une distance de F2 , 4 = — Ft .
Ces deux images sont disposées dans le même sens et leur rapport —~ , supposé
d Kg
égal à : — .
ni
Or, comme on peut le voir par la comparaison des triangles a'K^F, et û/'KoFj, dans lesquels on a :
Pi P* tang ft'FjK) = — - et tang a"F2K2 = — - , l'a 1<,
et d'où l'on conclut
tang cc'^K, p, F, ?i, P,
tang a"F2K2 F2 p2 ?u %
tang a.' F, K, tang a' , , ou ■ — - = - — — = + i .
tang a." Fs Ks tang a"
C'est donc bien là le couple des points nodaux.
Or, en regard de ce couple, considérez celui formé par les points B, b, situés aux distances Z1 = FS,ZÏ = F1) c'est-à-dire symétriquement par rapport aux foyers principaux F^Fj, avecK^Kj. La similitude des triangles correspondants vous montre que AB = «'K,, et ab = a"Ks; que le rapport des dimensions de l'objet et
de l'image est encore : — ; mais qu'objet et image sont disposés en sens inverse.
D'autre part, les tangentes des angles faits avec l'axe, par AB d'un côté b A2 de l'autre (rayon lumineux allant de B à b), sont entre elles :
1 1 et
• • F2 + F, Fj + F, ' c'est-à-dire égales entre elles.
Mais, en considérant l'ouverture de leurs angles, on voit que leurs tangentes sont de signes contraires.
Ce second couple justifie donc bien l'hypothèse qui a présidé à sa détermination géométrique :
tang ai Pi n,
— 2~— = — 1, comme ,-— = .
tang a3 [|32 n{
§ 42. — Conclusion.
Si maintenant on rapproche de la leçon première la deuxième leçon, on reconnaît dans les propositions formulées aux paragraphes 30, 31 , 32, 33, 34, 36, 37, 38, les identiques de celles portant, dans la première, les numéros 7, 11, 12, 20, 13, 16 et 17. Elles ont été déduites de l'extension à un nombre quelconque de surfaces réfringentes, de la propriété reconnue vraie pour une seule surface, et contenue dans la formule suivante :
(31 tang
h tang «2 Wl démontrée au paragraphe 19.
Cette identité repose sur l'assimilation de rôle et de propriétés : 1° entre la surface unique réfringente du système simple, et le couple de points conjugués, dit des points principaux, dans un système composé d'un nombre quelconque de surfaces ; 2° entre le centre de ladite surface unique d'une part, et le groupe des points nodaux dans tout système composé, sous la simple réserve qui suit :
Que le premier point principal, comme le premier nodal, joueront le rôle même du sommet et du centre de la surface, dans leurs rapports avec le premier milieu.
Le second point principal et le second nodal représentent le sommet et le centre de cette même surface transportés parallèlement à euxmêmes d'une distance égale à celle des points principaux entre eux, et s'appliquant alors au dernier milieu.
L'intervalle fini et mesurable qui sépare les deux points principaux, ou les deux nodaux, étant alors considéré comme non avenu, les formules mêmes du système simple deviennent celles du système composé.
On peut encore se représenter le système composé exactement comme le système simple lui-même.
L'espace mutuel des deux plans principaux représenterait une
épaisseur infiniment mince attribuée à la surface unique, et dans les applications des formules on ne tiendrait pas plus de compte de l'un que de l'autre.
