TROISIÈME LEÇON
POINTS CARDINAUX DU SYSTÈME RÉSULTANT DE LA COMBINAISON DE DEUX SYSTÈMES COMPOSÉS; APPLICATIONS ET CAS PARTICU- LIERS.
§ 43. — Deux systèmes sphériques définis étant donnés sur un même axe, déterminer les constantes dioptriques du système unique qui les remplacerait.
Les deux chapitres qui précèdent contiennent en eux toute la théorie de la réfraction par des systèmes sphériques, quel que soit le nombre de surfaces.
Tous problèmes se rattachant à de semblables systèmes trouveront donc leurs solutions dans lesdits deux chapitres.
Il est cependant quelques applications particulières que nous pouvons prévoir et dont la solution peut être préparée à l'avance au moyen de formules spéciales.
Le premier de ces problèmes consistera à offrir au praticien les équations les plus simples, « étant donnés deux systèmes réfringents, définis chacun par leurs constantes dioptriques, et placés sur un même axe de centration pour trouver les constantes dioptriques (points cardinaux) du système résultant. »
Le problème se décomposera ainsi :
Deux systèmes composants étant donnés (par leurs constantes ou points cardinaux), ainsi que leur distance mutuelle, déterminer :
1° La position des points focaux principaux du système unique résultant ;
2° La position des points principaux ;
[Et de ces deux éléments se déduiront les longueurs focales principales] ;
3° La position des points nodaux, conséquence de la détermination précédente.
Remarque préliminaire. — [Avant d'aller plus loin, nous rappellerons que chacun des deux systèmes composants pouvant être représenté par une surface sphérique unique occupant la position du premier point principal, dans tous les rapports à établir avec le premier milieu, surface que l'on transporte ensuite par la pensée au deuxième
point principal pour toutes les relations à établir avec le dernier milieu
Considérant d'autre part que dans la question qui nous occupe, le dernier milieu du premier système composant est le premier du second système;
Considérant enfin que le premier milieu du premier système est également le premier milieu pour le système résultant, et que, de même, le dernier milieu du second composant est également le dernier milieu du système résultant;
Nous conclurons que toutes les constantes propres au premier milieu du système résultant devront être rapportées au premier milieu du premier composant ou à ses points cardinaux, et celles relatives au dernier milieu du système résultant comparées ou rapportées aux constantes du dernier milieu du second système.]
Cela posé, comme toutes les constantes d'un système sont liées entre elles par des relations absolument fixes, nous pourrons choisir pour établir ces rapports l'une quelconque d'entre elles. Nous conviendrons par exemple de prendre pour donnée propre à fixer ladistance des deux systèmes composants, l'écartement, qui dans le milieu intermédiaire à l'un et à l'autre, sépare le deuxième point principal du premier système, du premier point principal du second.
Soit donc d cette distance, puis pour le premier système :
f f" ses longueurs focales principales,
»' <?" celles du second système. Telles seront nos données.
Cela posé, revenons à la question principale, la détermination de la position des foyers principaux du système combiné ou résultant.
Nous pouvons choisir pour points de repère quelque groupe que ce soit parmi les points cardinaux des systèmes composants. Le plus simple nous paraît être celui des foyers principaux extrêmes des systèmes composants, c'est-à-dire du premier et du dernier milieu.
Nous allons donc chercher d'abord la distance à ces deux derniers points, des foyers principaux homologues du système combiné.
§ 44. — Position des foyers principaux du système résultant, ou distances de ces points aux foyers principaux extrêmes des systèmes composants.
Appelons, pour chacun de ces systèmes composants :
/t, lt pour le premier,
>-i, X2 pour le second; les distances respectives d'un couple de points conjugués aux foyers principaux Homologues, nous aurons, d'après les formules connues du (§ 32) :
hk = f'f" et X,x2 =ç'«p».
Or, ^premier foyer principal du deuxième Bystème est le point de concours, dans milieu intermédiaire des rayons parallèles clam le demie- milieu. Il suit do là
46 RÉFRACTION SPHÉRIQUE. [3c
que l'imago conjuguée, dans le premier milieu du premier système, du premier ' foyer du second,, est le point de concours, dans ce premier milieu, des rayons parallèles dans le dernier. Co point est donc le premier foyer principal du système résultant.
Si donc on appelle /» la distance au deuxième foyer du premier système, du premier foyer du second, do la formule Zt 4 = f f, sera la distance au premier foyer principal du premier système du foyer principal résultant.
li=tîL (g
On aura donc ainsi la position sur l'axe du premier foyer principal résultant. Maintenant qu'est-ce que : Z2?
La figure 9 nous montre que si d représente , comme on en est convenu plus
Fig. 9.
haut, la distance des deux systèmes composants, mesurée par l'intervalle qui sépare le deuxième point principal du premier système, du premier point principal du second, l2 dans les notations afférentes au premier système, >., dans celles concernant le second, sont une seule et même valeur mesurant la distance au deuxième foyer principal du premier système, du premier foyer principal du second. On a donc indifféremment :
d = f+h +<?', ou bien d — f" + \ + <p',
ou enfin l2 = Xt = d — {f" + <?').
Si maintenant on remplace l2 par cette valeur dans l'équation qui donne la
valeur de h =
il vient
ff"
pour mesure de la distance qui sépare du premier foyer principal du premier système, le premier foyer principal du système résultant.
Par un raisonnement identique, on déterminera la position du deuxième foyer principal ou foyer principal postérieur du système résultant, ou sa distance au deuxième foyer principal du second système composant :
Elle est donnée par la môme combinaison des formules :
co' cp"
et
qui conduit à h - (,(?, + /V)
pour la distance du second foyer principal du système résultant au sccojid foyer principal du second système composant.
LEÇON. 1
THÉORIE DE GADSS.
§ 45. — Distances des points principaux du système résultant aux foyers extrêmes correspondants des systèmes composants.
Connaissant la position des deux foyers principaux du système résultant, c'est-àdire leurs distances respectives au foyer principal homologue du premier et du
f f" <?'<?" second système composants, à savoir : ^«=— et X2 = + ^ ,
cherchons la distance de ces points aux plans principaux de leur propre système, ou les longueurs focales principales du système combiné.
Pour cela l'établissement d'un lemme nous devient nécessaire. Il nous faut déterminer préalablement la position des points principaux de ce système résultant, ou leurs distances aux points de repère ou d'origine que nous avons choisis déjà, à savoir aux foyers principaux extrêmes des systèmes composants.
Les points principaux d'un système étant ceux pour lesquels l'objet et l'image sont de même sens et de môme grandeur, nous allons chercher la position, dans le dernier milieu, de l'image d'un objet situé dans le premier, et répondant à cette condition.
Nous n'aurons pour cela qu'à supposer égaux l'objet et l'image dans la formule générale :
après le renversement opéré par le premier système et le redressement opéré par le second.
Posons donc :
Pour le premier système :
et pour le second :
Multipliant, membre à membre, ces deux groupes d'équations, nous obtenons les quatre produits suivants :
Pi
Jl hïL II f f" h k <?' p3 ~~ h \
Et comme, par hypothèse, on doit avoir : .
p, = + p3 ou i ==,1, ces quatre équations reviennent à :
li\ = f9i (a), = frx%(ô),
Or, que cherchons-nous ici ? Les distances lt et Xa du couple considéré (P, , P, (système résultant, ses points principaux), à nos points de repère, les foyers principaux extrêmes des systèmes composants. Nous tirons alors des éauaaona (a) et (d) : 1
/,==__ (a) et x, = ■ ■ (d).
48 RÉFRACTION SPHÉRIQUE. [3e
Or, qu'est-ce que X, et lx, dénominateurs de ces deux expressions ? It et X, sont les distances de l'image intermédiaire Ps (que nous avons éliminée de la question) au second foyer du premier système composant et au premier foyer du second.
— cf- —
Fig. 10.
Et si nous jetons les yeux sur la figure 10, nous voyons que :
d distance des deux systèmes; ce qui nous donne :
Pour les éliminer à leur tour, comme l'image Ç,. à laquelle elles se rapportent, nous userons de l'artifice de calcul suivant. Renversons les équations (a) et (d), et
mettons-les sous la forme :
Xt =
et
fi y"
puis ajoutons-les membre à membre, il vient :
et comme
X, + li=d-(fu + 9')
Nous obtiendrons maintenant très aisément les valeurs soit de lu soit de X5, en remplaçant successivement dans l'équation (A) et x's par leur valeur tirée de l'équation (6).
Ainsi : 1° pour dégager Xa, nous remplacerons dans (A) Z, par sa valeur :
et nous aurons
f cp' ta" f" ce"
ou en chassant le dénominateur
/>XS
Expression qui nous fournit la distance \ du second point principal du système combiné au deuxième foyer principal du second système composa?it, c'est-à-dire la position de ce second point principal.
De la môme manière, remplaçant, dans l'équation (A), X,, par sa valeur tirée de (6), soit :
il vient :
d'où :
qui nous donne, dans llt la distance du premier point principal du système combiné au premier foyer principal du premier système composant, ou la position sur l'axe du premier point principal résultant.
Cela posé, proposons-nous de déterminer :
§ 46. — Les longueurs focales principales du système résultant, ou les distances des points principaux de ce système à ses propres foyers principaux.
Nous avons maintenant la position sur l'axe des points principaux et des foyers •principaux du système combiné, ou leurs distances respectives aux foyers principaux extrêmes des systèmes composants.
Pour obtenir leurs distances mutuelles ou les longueurs focales principales, nous n'aurons donc qu'à retrancher la plus petite de ces distances de la plus grande (pour chaque milieu extrême, c'est entendu).
Or, si nous nous reportons aux propriétés des points principaux (§ 26), nous savons que dans tout système réfringent positif, c'est-à-dire ayant des foyers principaux réels, les points principaux sont : le premier, en arrière du premier foyer principal; le second, en avant du second foyer principal. Il suit de là que dans le cas général que nous venons de traiter où tout est positif, le premier point principal combiné est plus près que son foyer principal, du premier foyer du premier système, son point de repère.
La distance Z, du § 45 est donc plus courte que la distance k du paragraphe précédent (44). r
C'est donc elle qu'il faudra retrancher de la seconde pour obtenir la distance mutuelle de ces deux points, ou la première longueur focale principale du système rtisuitcLiit.
Appelons donc l> le k du § 45 (ou la distance du premier plan principal à l'origine commune), et /, le Z, du § 44, ou la distance à la même origine du premier loyer principal combiné, il viendra :
ff" /v r r
d - (/" +- <p') d - {f" + <?') d - (/>' + co'j
d - if' + ç')
ou Ir f ¥
et de même pour la seconde longueur focale principale combinée :
x, X'4 = ?" <py
d - {p> + ?') ' d {pi + ç,j d (/>/ + ,
OU p />"
GltUUD-TEl'LON. — LA VISION.
RÉFRACTION SPHÉR1QUE.
§ 47. — Distances des plans principaux du système résultant aux plans principaux homologues des deux systèmes composants.
Dans les paragraphes précédents, nous avons pris pour origine des distances les foyers principaux extrêmes des systèmes composants.
Pour nous conformer aux notations adoptées, il faut transformer les formules auxquelles nous avons été conduit, particulièrement celles qui regardent les points principaux du système combiné, en leur donnant pour origine, dans le premier milieu, le premier point principal du premier système, et dans le dernier milieu, le second point principal du second système composant.
Les formules à transformer seront donc :
et \ = , ,J, » +
qui représentent les distances respectives des points principaux du système combiné aux foyers extrêmes des systèmes composants.
Il faut rapprocher de ces valeurs la distance de chaque foyer extrême du système composant à son propre plan principal, à savoir : p pour le premier milieu, ç" pour le dernier.
Or, li et p, sur la figure, sont comptées en sens contraire ; la distance du premier point principal du système combiné au premier point principal du premier système sera donc donnée par la formule :
f ai' + P f" d f
et pour le dernier milieu :
^ étant la distance du premier point principal du système combiné à partir et en avant du premier point principal du premier système composant; et, h, étant celle du second point principal du système résultant à partir et en arrière du second point principal du système composant.
§ 48. — Points nodaux du système résultant, leurs distances aux foyers principaux correspondants.
Quand on connaît — et nous venons de les déterminer — la position des points principaux et les longueurs focales principales , on n'a qu'à rappeler les relations qu'ont avec ces quantités les distances respectives des points nodaux aux foyers principaux homologues, à savoir :
G, = F2 et Gj = Fj (§36).
Ces expressions étant comptées des foyers vers les points nodaux en sens négatif, c'est-à-dire en sens contraire du sens suivi positivement pour les valeurs /, et h. (Voir pour plus de détails les §§ 35 à 40.)
§ 49. — Distance mutuelle des deux plans principaux.
D'après la définition, les distances /*,, h des points principaux d'un système résultant sont mesurées, la première, en avant du premier plan principal du pre-
LEÇON.] THEORIE DE GAUSS. bd
mier système; la seconde, en arrière du second plan principal du second système composant.
D'autre part, on appelle distance de deux systèmes composants (d) l'intervalle existant entre le deuxième plan principal du premier système et le premier du second système. Et nous avons vu (fig. 10, § 45) que cette distance d était égale à :
Si maintenant nous désignons par m et n les distances des plans principaux respectifs dans chacun des systèmes composants, nous avons évidemment : H, distance mutuelle des deux plans principaux résultants,
Or, h = tL ! h dj
d'où H = (m + „) + d^ + (f'-f») + «-?'))
iV.-B. - La distance mutuelle des deux points nodaux est d'ailleurs la même.
§ 50 - Un système réfringent sphérique quelconque étant donné par ses points cardinaux, constrmre graphiquement les images correspondant à un coup e quelconque de points conjugués. roupie
J°Z aV°"S f*"' .(aUX 23 et 26> ce ''"n devait entendre par bfo» focaux et prmcipaux ; à savoir : les plans perpendiculaires à l'axe aux pointe susdits, qui peuvent être considérés comme jouissant des mêmes propriétés que les points de l'axe qui les dénomment au moins dans toute retendue de la portion de surface réfringente pour
nous „„d P"*T? dœ P°intS a" P'MS ^mmés va
nou condui e avec une grande facilité à la construction graphique des images dans les problèmes comportant ces solutions '
iScau™"5 M S°mmaire™' - Piétés :
>™^::q:et!:"t^d;spointsnod;iux' wr«-t *»» ^ «•* - ~;qi™ ê e7arieliu;daLp;TT' noda1' rera
dernier milieu une ,li™„i- le second nodal et suivra dans le
'«« les rayons . émis II T * 41a ***** ■ » "B de là que
""" direction mrallH,.;, .// ' u"re dans le <lemio'' milice,
Secondement, les rayons qui sont parallèles dans le premier milieu, convergent en un point du second plan focal ; et comme celui de ces rayons parallèles qui passe par le premier nodal, se continue après réfraction, par le deuxième nodal en parallélisme avec sa direction première, le point de concours dans le deuxième milieu des rayons parallèles dans le premier, doit être, à l'intersection de ce dernier rayon, avec le deuxième plan focal.
Cela posé, deux problèmes partiels se présentent à nous : 1° Dans le premier, étant donné la position, c'est-à-dire un point et la direction, ou deux points d'un rayon lumineux, dans le premier milieu, déterminer sa direction dans le dernier.
bj le
Fig, H.
Soit (fig. 11) dans le premier milieu, un rayon lumineux dont nous savons qu'il coupe en a le premier plan focal, et en b le premier plan principal. D'après les propriétés des plans principaux, le point b du rayon en question a donc son image en c dans le second principal, sur une parallèle à l'axe, bc. D'autre part, ce même rayon coupant en a le premi'er plan focal, ce point a, d'après ce que nous venons de dire, aura son image, après la dernière réfraction, à l'infini; il l'aura en outre, sur une parallèle menée par le second nodal à la direction ak', menée de a, au premier nodal.
La ligne cd, menée par c, dans le dernier milieu, parallèlement à la ligne ak', du premier, sera donc, dans ce dernier milieu, la direction du rayon ab après sa dernière réfraction.
On serait encore arrivé au même résultat par le raisonnement suivant : le point c, image de b, bc étant parallèle à l'axe, a, dans le dernier milieu, son image dans le second plan focal. Soit e cette image ; comme d'autre part a est l'image du même point b dans le premier focal, la direction ba, dans le premier milieu, doit être parai, lèle à la ligne ek", menée de e (image du même point dans le dernier milieu), au second point nodal.
Menant par k" une parallèle à ab, et joignant ensuite c au point d'intersection e de cette parallèle avec le deuxième plan focal, on a donc, dans ce, la direction du rayon ah réfracté.
LEfiON.] THÉORIE DE QADSS. "3
Deuxième problème :
Étant donné un point lumineux dans le premier milieu, trouver son image dans le second.
On obtient cette image par la combinaison de deux rayons émanés du même point et dont les directions, après réfraction, seront aisées à déterminer. Nous prendrons pour ces deux rayons : celui qui dans le premier milieu serait parallèle à l'axe, et celui qui, dans ce même milieu, passerait par le premier nodal.
Fig. 12.
Soit, dans la figure 12, a le point lumineux; si l'on mène par ce point la parallèle à l'axe abc, ledit rayon, après la réfraction, ira passer par le deuxième point focal : sa direction dans le dernier milieu sera donc cf" ;
D'autre part, le rayon de direction ak! , dans le premier milieu, affecte, dans le second, une direction parallèle qui passe par k".
L'image de a, dans le deuxième milieu, sera donc à l'intersection de cf" et de k"e ; c'est-à-dire en e.
Si le point a était sur l'axe, son image serait aussi sur l'axe ; un second rayon quelconque, tel que ab du problème précédent, serait mené dans le premier milieu et sa direction, dans le second, déterminée comme il a été dit. L'intersection avec l'axe de cette seconde direction, fournirait l'image cherchée,
§ 51. — Cas offrant une dérogation apparente aux formules de Gauss.
Cas particulier offert par un système réfringent composé de deux systèmes, soit simples, soit eux-mêmes composés, associés de telle sorte que les rayons incidents parallèles dans le premier milieu, soient, après réfraction, également parallèles entre eux et à la direc tion première, dans le dernier milieu.
La figure 68, paragraphe 206, représente un système de ce genre.
Cette circonstance est réalisée quand le foyer principal postérieur u premier système coïncide avec le premier foyer principal du second système. Cela n'a pas besoin de démonstration.
