I. — Expressions disperses de logr(;r) et de ses dérivées

sous forme d'intégrales définies..

43» Pour déduire ces expressions des formules géaé^ales établies au Chapitre précédent^ nous allons nous servir de Tégalité

Nous devons donc substituer dans nos formules d'où il résulte, d'après les égalités (12), page 58,

Admettons que la partie réelle de la variable x est positive. Les trois dernières conditions énoncées à la page 5 7 seront alors vérifiées dans le demi-plan t^o, de sorte qu'on pourra appliquer la formule (IV), page 61 , en y faisant m = o. On trouve ainsi

I I . /•* « dt

Di?)logr(^) = i^jlj+4^/

(07*-+- ^«)* e*«<— i puis, en intégrant et en désignant par K la constante d'intégration,

I r t dt

dt

89 CHAPITRE n%

et, par une deuxième intégration,

(3) logr(ir) z= K'-hKx-h Ix— - \ logo?— x -^ J(a:),

K' désignant une nouvelle constante et J(^) l'expression

r* t di

(4) . J(a7) = '2 / arclang-

qu'on peut écrire encore, en intégrant par parties,

Les valeurs des constantes K et ¥J s'obtiennent immédiatement en rapprochant (3) de l'égalité (i) de la page 70. Mais, si l'on ne veut pas se servir de cette dernière égalité, on arrivera encore facilement à déterminer K et K' en s'appuyant sur les propriétés bien connues de la fonction T{x) qui s'expriment par les équations

(5) V{x^\) = xT{x), T(x)T{i—x)= -"^

s\mzx

En effet, si l'on retranche l'égalité (3) de celle qu'on en déduit en changeant x en x -\- \ ^ on trouve, en vertu de la première propriété,

(K— l)H- Ix-^ J log( IH j -r- J(a7-|- l) — }{X) = O.

Or, lorsque x croît indéfiniment, les deux derniers termes s'évanouiront, tandis que "le second terme tendra vers 1. Donc R r= o.

D'après la seconde propriété, on aura, pour ^ = — h «w.

T[ - '\-iu]V{ lu] = — -— ,

d'où résulte l'égalité