III. — La formule sommatoire d'Euler et autres
formules analogues,
39. Les applications qui précèdent ont déjà montré l'utilité des formules sommatoires établies plus haut, et les Chapitres suivants en feront encore ressortir l'importance pour le prolongement et pour l'étude asymptotique des fonctions. S'il s'agit de calculs numé-
( ^) Mém. cour, et autres Mém, publiés par V Académie de Belgique, t. XXIV et XXV. Dans le premier des Mémoires cités page 69, Genocchi avait déduit des formules sommatoires la relation de Schaar et d'autres relations plus générales du même genre, mais son raisonnement n'est pas rigoureux. Voir aussi un Mémoire de M. Landsberg : Zur Théorie der Gauss* schen Summen und der linearen Transformationen der Thetafunctionen {Journal de C relie, t. 111, 1893 ).
(^) C'est Kronecker qui le premier a établi rigoureusement cette formule à Taide du calcul des résidus {Journal de Crelle, t. 105, p. 267). Voir aussi un Mémoire de M. H. Weber : Ueber Abel's Summation endlicher Differenzenreihen {Acta Mathematica, t. XXVI [).
riques, il est cependant préférable de transformer ces formules, en développant en séries les intégrales définies qu'elles renferment. Il est vrai que les séries que l'on obtient ainsi sont pour la plupart divergentes, de sorte qu'elles ne sauraient fournir une approximation indéfinie. Mais, en revanche, elles jouissent souvent de cette propriété intéressante, et qui pour le calcul est précisément la plus importante, à savoir que leurs termes successifs, ainsi que leur reste, commencent par décroître rapidement, d'où il résulte qu'on pourra souvent atteindre une grande précision en ne calculant qu'un petit nombre de termes.
Les séries en question s'obtiennent en développant dans les formules générales les expressions /?(t, t) et q{'z^ t) suivant les puissances ascendantes de t. On a généralement par le théorème de Taylor, en supposant la fonction F(^) (réelle ou imaginaire) continue ainsi que ses [jl premières dérivées,
¥(t) = F(o) + F'(o) -f +. . .+ Ft!t-«'(o)r- -^ + Rpi,
avec
Or on conclut des égalités (12), page 58, lorsque v est pair,
DÏ')/>(T, o) = (- i)*"/v)(x), DS^'y(T, o) = o, et, pour V i7n/?a«/%
D7)/>(x, o) = o, lyTqi-^. o) = (-i)Vyiv)(^),
et, par suite, en appliquant aux expressions /?(t, /), q{'z^ t) l'égalité ci-dessus, avec ^= 2,k ou jji = 2A'-h-i, on trouve :
Piki'^1 1) et g's*+) (t, t) désignant respectivement les expressions
et
En substituant maintenant à /?(t, /) et gr(T, ^) les développements qu'on vient d'écrire, on trouve successivement, d'après l'égalité (5), page 71,
d'après l'égalité (i3), page Sg, et les égalités (6), page 71,
formule qui, pour t = v H — » en vertu des égalités (i4)î P^g'C Sq? et (17), page 36, se réduit à la suivante :
f q(x,t)dt Bi Bi /-(x)
^' '^ 2Â-(2it — I)! ^V, e>«M-i ' d'après les égalités (i8), page 66, et (8), page 72,
Q.(T,orf< = x»(^)/(^)-x.(^)-4r+----x«A-i(^> (^;^,^,
et enfiû, d'après l'égalité (7), page 72,
«Jf^ i«:irF5î = âL ••'^(^)-T"^^••• ^*- '^ 4*-' (2/t — a)!j Vo et'+e-«"
40. En substituant les développements ci-dessus dans les formules établies dans la première section de ce Chapitre, on en déduit
diverses formules sommaloires connues. Ainsi les formules (IH)? page 61, et (F), page Sg, donnent respectivement :
et, en faisant (x.= m » p = n -\ — (voir p. 36),
La formule (IX'), page 66, nous donne :
et en particulier, pour 7. = m — -> p =. n -{- - 9
I ^' Ev (- i)«/av)(« + }) + (-!)'" /"v'(m - i)
Enfin, en faisant tendre a vers m et ^ vers ai dans (4), ou bien en utilisant la formule (XI), page 67, on trouve
2(~i)V(v)= i [(-i)'V('^) + (-OV('^)]
D'autres formules encore pourraient se déduire de L'égalité (20), page 67, et des égalités (16) et (VIT), page 63 (•).
L'égalité (i) constitue la célèbre formule sommatoire découverte par Euler et Mac-Laurin (2); la formule (6) a été donnée par Boole, la formule (2) par Sonin et Hermite ('), la formule (4) par Hermite (*).
Les résultats du n** 39 fournissent immédiatement l'expression exacte du reste R dans les formules précédentes, et permettent facilement d'en calculer une limite supérieure.
Supposons, par exemple, qu'on ait, pour toute valeur réelle
|/(l*)(x + tO|<M(,(T),
M||.(t) étant une quantité positive qui dépendra, en général, de t et de [JL ; il en résulte
(2A:-hi)!
En se servant des égalités (5), page 71, et (7), page 72, on en déduit pour le reste de la formule d'Euler (i) l'inégalité
«t, pour le reste de la formule (5),
Dans le cas où la fonction /(z) admet des points singuliers à l'intérieur de la bande a << t <; p, les formules ci-dessus doivent être modifiées comme il a été dit aux n°^ 32 et 34.
(') La formule qui se déduit de (VII) en y développant le dernier terme en série, a été remarquée par Kronecker ( Sitzungsberichte der Akademie zu Berlin, i885, p. 862).
(^) Des applications de la formule (III) à la formule d'Ëuler ont été indiquées successivement par Schaar, Genocchi et Petersen dans leurs travaux cités au n* 35. Voir aussi p. 17-23 de notre Mémoire.
(^) Journal de Crelle, t. 116, p. i33-i56.
{*) Jbid., p. 145.
8o CHAPITRE III.
41. Les expressions trouvées ci-dessus pour le reste de la formule d'Euler et des formules analogues sont différentes de celles qu'on rencontre dans les théories élémentaires de ces formules. Mais nous allons voir que ces dernières expressions se rattachent encore tout naturellement à nos résultats généraux.
Reprenons, à cet effet, la formule (i6), page 63, en y faisant croître indéfiniment le nombre [x. Les deux derniers termes tendront évidemment vers zéro, de sorte qu'on obtient
(-) 2^f{^n = j f{z) dr.-^%2^ j /(x)cos2v7r:rfT.
On a, d'ailleurs, en intégrant par parties,
^, Q.sin2V7rÊ ^. . si n 2 vira C j^,, sin2v'irc ,
et, en se servant de l'égalité (i4)î P^^g^ 35, on pourra donc écrire l'équation (7) sous la forme
Cependant cette dernière conclusion demande quelque précaution, car nous y avons supposé tacitement que l'expression
fJn.r9.(^)d-.^£f'(.)'^'J^d.
s'annule pour k = oo, ce qui n'est nullement évident, puisque la série qui définit ©< (t) ne converge pas uniformément entre les limites d'intégration. Notre conclusion n'en est pas moins exacte, car il résulte des remarques faites page 35 que le module de la somme
- . V V^ sin2v
2 vire
reste inférieur à une quantité finie M pour toute valeur de A* et
FORMULES SOHMATOIRES TIREES DU CALCUL DES RESIDUS. 8l
pour tout pointxde l'Intervalle a^T^p, et d'autre part que, ayant exclu de cet intervalle, de part et d'autre de chacun des. points /?î, m H- I, .. ., 72, un segment de longueur e aussi petite qu'on voudra, on pourra choisir l'entier k assez grand pour que, dans le reste de l'intervalle, la somme en question soit numériquement inférieure à tout nombre tj fixé d'avance. Dans ces conditions, la valeur absolue de l'expression (9) sera donc inférieure au produit de y\{^ — a) -|- 2eM(/i — m + i) par le maximum de |/'(t)| dans l'intervalle a^T^P, d'où l'on conclut que cette expression s'annule effectivement pour k = œ.
A l'aide des relations [voir l'égalité (16) page 36]
on trouve successivement, en intégrant par parties,
et ainsi de suite ; de l'égalité (8) on peut donc tirer la suivante :
ou
C'est la formule (2), avec une nouvelle expression du reste.
Faisons maintenant tendre a vers m et ^ vers n. Les expressions ^i(a) et^i(P) tendront respectivement vers - et vers — ' > de sorte que l'égalité (8) devient
(") y/(-')= f /(^)''-+^f/(''0+/(n)]-^ r%,(T)/'(-)rfx,
et d'autre part, en vertu des propriétés des fonctions cpv('w) démontrées page 3(3, l'égalité (10) se réduira à la formule d'Euler avec
^2 cuAPiTJie m»
cette iiiowvelle expression du reste, due à Poisson :
En intégrant par parties, on obtient d'abord
puis, en observant que ©2A+i ('^) = ' \tîl ' o '
expression due à Jacobi.
Pour a = /n > p = n-^--» l'égalité (lo) nous donne la for-
mule (3) avec le reste
'^ = (ÏF!r7)T/T^^^*^^^-^^'""(^>^^^
Ces transformations s'appliquent également à la formule (20), page 67. Ainsi l'on en déduit, en faisant croître [jl vers l'infini,
(l3) ^(- ly A^) = -i^ f /(x)COS(2V+l)7CTd-C,
puis, en intégrant par parties et utilisant l'égalité (21), page 3^,
En transformant le dernier terme de cette égalité à Taide des relations (22), page 3 7, on retrouve la formule (4) avec
expression due à Hermite. En faisant tendre a vers m, p vers n
FORMULES SOMMATOIRBS TIAÉSS IHJ CALCUL DBS RÉSIDUS. ^3
(vair p. 37), on en déduit la formule (6) de Boole avec le resie
donné par M. Darboux (*). D'autre part, en faisant 0L = m ,
P = /i H — * on retrouve la formule (5) avec une nouvelle exprès-
sion du reste.
Le raisonnement qui nous a fourni les égalités (8) et (i4) siiippose essentiellement que la fonction f(z) est holomorpli^e sur le segment a ^T^^ de l'axe réel. Cette condition est d'ailleurs suffisante, car, en ta supposant véri£ée, on pourra prendre la hauteur du rectangle C, qui nous a servi de contour d'inté^ation, assez petite pour quey*(z) soit holomorphe à l'intérieur et sur le contour de ce rectangle, d'où il résulte que les égalités (i6), page 63, et (20), page 67, et par conséquent aussi les égalités (8) et (ï4)? seront valables.
Mais, une fois établies les égalités (8) et (i4)? on constate immédiatement qu'elles subsistent dès que /(z) et /'(t) sont finis et continus pour a^T^p (^). En effet, on trouve en intégrant (voir page 35) :
f^^ f i(^)/(^) d^=i [/(v) +/( V -^ I)] -y '^ /Ct) dz.
Faisons ici successivement yi=: m, m + i , . . . , /i — i et ajoutons les résultats : nous aurons l'égalité (i i), et les égalités (8) et (i4)se vérifient de la même manière.
Or nous venons de voir que les formules sommatoires (i) à (6), avec les expressions du reste R données ci-dessus, se déduisent des égalités (8) et (i4) par de simples intégrations. Nous pouvons donc affirmer que chacune des formules en question est valable dès que la fonction /(t) et ses dérivées, jusqu'à l'ordre le plus élevé qui y figure, sont finies et continues pour a^T^ p.
(^) Sur les développements en série des fonctions d'une seule variable {Journal de Mathématiques, 3« série, t. II, 1876).
(' ) Il en résulte, d'après le raisoaneinent de la page 80, que les formules ( 7 ) et (i3) subsistent également sous la condition indiquée*
42. En faisant dans la formule ('j) m = n = o^ aL=: — a:, P= I — jrjf(z)=^F(Z'\-x)j et en supposant d'ailleurs o<a:<;i , on en déduit
(i5) F(a7) = / F(t) û?x -h 2^ / F(t)cos2vtc('u — a?)û?T.
C'est /(? développement de Fouvier qui, d'après la remarque faite en bas de la page 83, se trouve ainsi établi en supposant F(a:) et F'(j?) finis et continus pour o ^ ^ ^ i ( * ).
Indiquons encore la méthode par laquelle Cauchy a établi ce développement dans son Mémoire de 1 826 (-), cité page 68, et qui, dans bien des cas, permet d'en calculer les coefficients avec une grande facilité. Nous admettrons les hypothèses suivantes :
i** F(s) est une fonction analytique de la variable z ^ 'z-\-it qui est holomorphe dans la. bande o £ t ^ i ;
2^ V égalité lim e~^'^^^^¥{y -\- it)=^o a lieu uniformément
pour o£t^i.
Ceci posé, reprenons la formule (8), page 56, en choisissant le contour C comme il a été dit, et en faisant les mêmes substitutions que ci- dessus dans la formule (7), et, en outre, les substitutions (i5) de la page 62. Lorsqu'on fait tendre 5 vers l'infini, les intégrales prises suivant les côtés horizontaux du contour C s'évanouiront, en vertu de la condition 2". D'autre part, les termes e^^^^*^ et g-2v7w*r qui figurent dans les expressions (i5) donneront naissance à quatre intégrales, dont la somme se réduit à la partie
(') Lorsque ¥{x) présente une discontinuité au poiat j;, le premier membre de l'égalité (i5) sera remplacé par lim - [F(a7 — s) -h F(a7 -t- e)], ce iqu'on
conclut encore facilement du calcul indiqué à la fin du n° 41.
L'égalité (i3) conduit à une autre forme du développement de Fourier.
(^) Le raisonnement de Cauchy dans ce Mémoire très condensé est assez embrouillé en ce qui concerne la convergence du développement de Fourier, cl les critiques que lui a adressées Dirichlet dans son célèbre Mém lire : Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction, arbitraire entre des limites données {Journal de C relie, t. 4, 1829) sont, sans contredit, parfaitement justes; Cependant le Mémoire de Cauchy renferme tous les éléments d'une démonstration exacte, telle que nous la présentons ici, et il est curieux que Dirichlet ne s'en soit pas aperçu.
réelle de l'expression
i r * e-«vîi«x-//) [ F ( iV ) — F ( i-H t7)J dt,
OU bien, en posant F(T=h it)=p('z, t)± iq{'z^ t), et
( Av= ij e-^^'^^[q(i,t)-q{o,t)\dt,
Av cosavirx H- Bv sinavira;.
En somme, on trouvera donc
F ( a? ) = A -i- ^ ( Av cos -2 VIT ar -h Bv sin 2 VIT a? ) H- R|jL,
oii Ao= / F(t) rfT, et où le terme-reste K^ est égal à la partie réelle de l'expression
^ iiîsi5J7zrJF('0-F('-*-'0]'/'.
Or Rjx s'annule évidemment pour [jl = oo, de sorte qu'on obtient ( ' )
(17) F(a7) = Ao-t-^(AvCosavjra7-i- Bv sin2V7:rF) (o<a7<i).
Soit comme premier exemple F(-3) = log(sin7rz). En tenant compte de la note ci-dessous, on s'assure immédiatement que les résultats précédents sont applicables. Or on a dans l'hypothèse actuelle F(i -f- it) — F(f7) = — izi (voir p. 49)j et par suite
Il en résulte, d^'après (i6), Av= > Bv=o, et comme l'on a
(') Ces résultats restent encore valables si la fonction F(z), tout en vérifiant les autres conditions énoncées ci-dessus, devient infinie pour ^ = o ou pour z = i d'un ordre inférieur à un, ce qu'on démontre facilement par un raisonnement analogue à celui du n<> 29.
M CHAPITRE m. — ¥«R]f€1.fiS S0XV4T011E8 TIRÉES BIT CAbOGL IffilS RÉSIDUS.
d'ailleurs, d'après la page 5o, Ao = — log 2, F égalité (17) devient
(18) log(simca:) = — loga— ^ •
Faisons en second lieu F(^) =logr(5), hypothèse dans laquelle les résultats précédents seront encore applicables, ainsi qu'il résulte des propriétés de r(^) démontrées au Chapitre IV.
L'égalité r(iH-^)=:^r(^) nous donne
d'où
F(i -H it) — F(it) = \ogit = \ogt -h — ,
mm
et, par suite,
La valeur de By s'obtient en diCRérentiant l'égalité
par rapport à e, ce qui donne
I e-ïvirf^Elogfe/^ = r'(n-e)(2V7c )-(»-*-«'— r(i-4-e}('2V7r)-ti+eMog(2vit),
et en faisant ensuite tendre e vers zéro. Comme on a r(i)=i, r'(i) = — C, on trouve ainsi
<2 -hlog(2VIc) Dv == •
VtC
Nous montrerons d'ailleurs plus loin (p. 90) que Ao=logy/2'7c, et, en tenant compte du résultat (18) ci-dessus et de l'égalité (i3), page 35, nous aurons finalement le développement dû à Kùmmer :
logr(:r) = logv/âïr — (G + logait) (x j
I , / . . I v^ logv .
log(2 sinTuîF) H — y — 2 sm2Vicar.
LES FONCTIONS r{x), Ç(*), ;(*, w).
