Partie réelle de logr( - -4-tw] = K' h e(a

La comparaison de cetle expression avec la précédente donne

et, par suite, on aura en définitive (^)

logr(ir) = log/2'7r -t- (ir j loga? — a? -+- J(ar),

(7) D^logr(;r) = loga7-.— -I-J'(;r).

On peut écrire (6) sous la forme asymptotique

logr(iF) = log/air -h (x j loga?— x -^ e{x),

et, en remplaçant x par x -i- ^, on en déduit aisément

logr(ir-i- J) = logv^^27:-h (x-+-^ ] loga? — x -\-z{x).

( * ) Ëa effet, oa a

pour loute valeur t et, d'autre part,

\x'-i't^\> — pour «^<-7'

d'où l'on déduit aisément la proposition énoncée.

(') La formule (7) est due à Poisson (Mémoires de V Institut, Année 181 1, seconde Partie, p. 221). — Voir aussi Lbqendre, Exercices de Calcul intégral^ 5* Partie, p. 190. C'est Sghaar qui a le premier appliqué la formule (IV) à l'étude de la fonction T{x), dans le Mémoire cité à la page 68.

A l'aide de (8) nous allons calculer V intégrale de Raabe

En Intégrant le second membre de cette égalité (8), il vient

R(i?) = logv^aïc -h sf logp — p -4- £(*>).

Mais, d'autre part, on a

R'(ç^) = iogr(p -f- 1) — logr(p) = logi?,

d'où il résulte, en intégrant et désignant par K une constante,

R(p) = K -4- p logp — p.

La comparaison de ces e:Kpressions donne K = logy/2 7t, t{v)^Oj et, par suite,

f logr(a7)c?j: = logv/âï: -f- P logp — P.

Pour p := o, cette expression se réduit à logy/ait (c/. p. 86).

44. Pour établir l'égalité (6), nous avons dû supposer la partie réelle de la variable x positive, et, en effet, il est aisé de voir que l'axe imaginaire constitue une coupure pour l'intégrale J(^), de sorte que celle-ci représente des fonctions analytiques distinctes à droite et à gauche de cet axe (*). Pour mieux fixer, nous conviendrons de désigner ces fonctions respectivement par i^{x) et J(^).

( * ) C/. deux Mémoires de Hermite insérés dans les Tomes 91 et 92 du Journal de C relie. La notion de coupure était d'ailleurs familière à Gauchy, qui en avait rencontré des exemples dès ses premières recherches sur les intégrales définies. Voir, par exemple, Œuvres, série II, t. VI, 1826, p. 271, où Gauchy démontre que rintégrale

""/{e^ndp

-u ^-ser^f

est égale & ait /(s) ou à o, suivant que |«|<i ou |*|>i. On trouve des réflexions générales relatives à ce sujet dans le Mémoire sur les fonctions continues {Œuvres, série I, t. VIII, i844» p. i45-i6o) et dans le Mémoire sur diverses propriétés remarquables et très générales des fonctions continues {Ibid.,i.lX, 1845, p. 32-53).

LES FONCTIONS T(x)^ î(*), Ç(5, w), 9I

Cherchons la différence des valeurs que prennent ces deux fonctions en un point j/ situé sur Taxe imaginaire positif. L'expression

?(^*)=i^;rj7î'*'s(7r:7rîi;)

sur laquelle porte l^intégrale J(^), admet les points t=i±ix comme pôles du premier ordre. Lorsque la différence x — a/ tend vers zéro, sa partie réelle restant positive, le pôle t = — ix viendra, du côté inférieur de l'axe réel, se confondre avec le point — ix' de cet axe, de sorte que l'intégrale J(^) n'aura plus de sens. Mais, pour remédier à cet inconvénient, il suffit de déformer le chemin d'int^;ration dans J(x) de manière à éviter le point singulier en question ; par exemple, en remplaçant un petit segment ac de l'axe réel, renfermant le point — ix', par un demi-cercle ab^ c tournant la convexité vers le haut, comme l'indique la figure ci-dessous. La

valeur que prend la fonction J+(^) au point x' sera alors représentée par l'intégrale / f (^5 ^') dt prise suivant le chemin oabx cco

et, par un raisonnement analogue, on montre que la valeur J-.(^) est égale à cette même intégrale étendue au chemin symétrique oab^cco. Donc la différence J+(a:')-^J(a?') s'exprime par

rîntégrale f ^{t^ x') dt prise le long du contour fermé ab^cb2Ci^

intégrale qui est égale au produit de — 2 irt par le résidu de cp(^, x') relatif au pôle / = — w?', c'est-à-dire à — log(i — e^"'^). On aura donc, pour tout point de l'axe imaginaire positif,

K{x) = }^{x) - log(i — e^'^i'),

et il en résulte, d'après le principe établi au n® 9, que l'expression J(^) — log(i — e^'^'^) fournit le prolongement analytique de la fonction J+(^) au delà de cette droite. On démontre de même que le prolongement de J-{.{op) au delà de la partie négative de l'axe ima-

ginaire est donne par l'expression J(^) — log(i — e~^^'^) et, en fin de compte, nous arrivons donc à cette conclusion que, dans le cas où la partie réelle de la variable x est négative j la formule (6) doit être remplacée par la suivante :

(10) logr(iF) = l'og/aTT-h ix j logar — rp-h J(a7) — log(i — e**^'^),

oîi Von doit choisir, dans le dernier terme ^ le signe -\- ou le signe — , suivant que le point x se trouve au-dessus ou audessous de Vaxe réel (* ).

Mais il existe une autre méthode beaucoup plus directe pour effectuer le prolongement de la fonction i^{x). En effet, il suffit d'appliquer à l'intégrale J(^) le procédé bien connu qui consiste à faire tourner d'un angle convenable la droite qui sert de chemin d'intégration (2), procédé dont nous aurons encore à faire un usage étendu au dernier Chapitre de cet ouvrage.

Désignons par i^{x) l'intégrale / ©(^, x)dt^ prise de o à 00 le

long du rayon D^ qui forme l'angle «J» avec l'axe réel positif, et

supposons d'ailleurs — 7 < ^ < -• Lorsque le point t décrit le

rayon D^, les deux seuls points singuliers zi= it de l'expression ^{t,x)j considérée comme fonction de x^ resteront sur la droite perpendiculaire à D^ et passant par l'origine. Dans chacun des demi-plans situés de part et d'autre de cette droite, 3^{x) représentera évidemment une fonction continue de x admettant une -dérivée continue, donc une fonction analytique holomorphe. Nous entendrons désormais par J^(x) celle de ces fonctions qui est définie dans le demi-plan renfermant l'axe réel positif, de sorte que, si l'on pose ^ = re'^, l'angle 9 restera compris entre les limites

Cela posé, je dis que }^{x) donne le prolongement analytique de J+(^) dans le domaine {\ i). Il suffit de faire voir que les

(*) On suppose l'argument de la variable x compris entre les limites — ^ et ic. (^) Il semble que M. Meliin soit le premier qui ait appliqué cette idée à l'intégrale i{x) {Acta Societatis Scientiarum Fennicœ, t. XXXI, n* 2, 1902, p. 4^).

LES FONCTIONS r(a?), ^(s), Ç(5, (v). 9^

deux fonctions prennent les mêmes valeurs sur l'axe réel positif. A cet effet, je trace de l'origine comme centre deux arcs de cercles, l'un ab de rayon e, l'autre AB de rayon R, et tous les deux compris entre l'axe réel positif et le rayon D^, comme l'indique la figure 4- La variable x ayant une valeur positive quelconque, l'intégrale I ^(t^x) dlj étendue au contour du quadrilatère mixti-

ligne aABéa, se réduira évidemment à zéro puisque cp(^, ^) est

holomorphe dans tout ce domaine, quels que soient d'ailleurs s etR.

Je fais maintenant tendre e vers zéro et R vers l'infini. Le pro-

Fig. 4.

duit ttf(tjX) tendant uniformément vers zéro sur chacun des arcs ab et AB, les intégrales relatives à ces arcs s'évanouiront à la

limite. Donc l'intégrale j ^(t^x) dt, prise le long de l'axe réel

positif, aura la même valeur que si l'on prend pour chemin d'intégration le rayon D^, c'est-à-dire qu'on aura i^(x)= 3^(x) pour toute valeur positive de x. c. q. f. d.

45. Après cette digression, qui nous a fourni l'occasion de rappeler deux méthodes générales d'un fréquent usage dans la théorie des fonctions, nous reviendrons à l'expression (i) et nous lui appliquerons la formule (II') de la page og, en y faisant m = o, a= — 5 (o<lS <!0* Nous trouvons ainsi, en remplaçant encore x par ar -f- Ç, et en supposant la partie réelle de la variable x positive,

En intégrant, on en déduit D,Iog r(x + = log^ -jT" ^i^ X($, /) rf< - y" -52i ,I'(5, <) ./,.

En effet, la constante d'intégration est nulle, car le second

membre peut s'écrire loga: + e(ar), et l'expression asymptotique du premier membre, d'après (7), est précisément de cette forme. Avant d' effectuer la seconde intégration, nous allons transformer les intégrales en nous servant des relations ( * )

où

X(t, f)= — —^ arc tang ( . , )•

En intégrant par parties et en observant que

lIf(T,0o)=O, X(t,00) = O, X(t,0)= - (^ — -j»

on trouve que Da;logr(a7 4- Ç) peut se mettre sous la forme

Effectuant une nouvelle intégration, on aura maintenant

(i3) logr(a7-t-$) = log/27t-4- ^or-f- J— - j loga? — ar H- J(a:-, ?),

avec

La valeur log^/ârû de la constante d'intégration s'obtient par comoaraison avec la formule asymptotique (9), en observant que J(a:, $) s'annule pour x = oo. L'expression (i3) est due à M. Landsberg, qui l'a trouvée par une autre voie (^).

(*) On obtient immédiatement ces relations en observant que le quotient (10) de la page 58 est la dérivée de l'expression -. log(«^*'»— i), laquelle, en faisant

z = X -h it^ peut se mettre sous la forme i[v(t, /) -+- tX(T, i)].

( ' ) Sur un nouveau développement de la fonction gamma ( Mém, cour, et autres Mém. publiés par T Académie de Belgique, t. LV,.i897).

LES FONCTIONS T(x\ ^(s), î(5, W). 9$

i6. Appliquons maintenant la formule (8), page 80, avec ni=o^ 0L^e= — $ (o<$<0> remplaçons x par x -4- $ et faisons tendre n

vers rinfini. En observant que Ç| (-i- Ç)= ç, on trouve

(.5) D-.ogr(.-.î) = l-iZi.^-^.^il|)^.

puis, €11 intégrant et déterminant la constante comme plus haut,

(.6) D.iogr(.-HO=io6x+-^-^jr" j;(->;^;^, .

Je dis que le dernier terme est la dérivée de l'expression

On le vérifie immédiatement, en admettant que cette expression

ait un sens. Or il en est bien ainsi, car l'égalité «p (t) = t — v — - > qui a lieu pour v <; t <! v + i (voir p. 35), nous donne

et le développement du second membre suivant les puissances descendantes de x 4- v commence par un terme en {x -f- v)~^. On en conclut encore que l'expression (i-j) s'annule pour a: = 00.

On trouve dès lors, en intégrant l'égalité (16) et en tenant compte de la formule asymptotique (9),

(19) logr(a7-+-0 = log/2Ï-t-(^a7-h$ — ijlogar — â?— r ,3lJ^^,

et, en se reportant à l'égalité (i3) ci-dessus, on en conclut que l'intégrale (17) fournit une nouvelle expression de J(x, Ç).

Il résulte des remarques faites page 83 que l'égalité (i5) a lieu pour toute valeur x telle que la fonction (2) et sa dérivée première, après qu'on y aura remplacé x par x -h^, soient finies et continues pour les valeurs réelles de z supérieures ou égales à — ç. Donc cette égalité est vérifiée clans tout le plan, excepté l'axe réel

négatif, et, d'après le raisonnement qui précède, il en sera de même des égalités (i6) et (19) (').

Pour i = o, l'égalité (19) nous rend la formule (6) avec cette nouvelle expression dé J(^) .*

(20) J(^)=jf"ÏL^l)rf,,

dont s'est servi Stieltjes dans ses recherches sur la formule de Stirling (voir le Mémoire cité page 88).

L'égalité (18) nous permet encore d'écrire

expression due à Gudermann et qui donne le prolongement analytique dans tout le plan de la fonction .1^.(^7).