Chapitre V. — Applications au prolongement analytique et à

l'étude asymptotique des fonctions définies par

un développement de Taylor 108

Tarle des matières 143

1. Soient deux fonctions réelles des variables réelles x^ y^ u(x^ y) et {^(x^y)^ continues et uniformes dans un domaine connexe T, ainsi que leurs dérivées du premier ordre, et vérifiant les relations

du ai' du âv

dx dy dy ôx

pour tout point de ce domaine. On dit que l'expression

(2) /(-s)^ U{X, y)^lv{x,y)

représente une fonction analytique de la variable complexe z ^ X -\- iy qui est holomorp/ie dans le domaine T.

Désignons par Aw, Ai' les accroissements que prennent u(x, y)^ ^i^^y) lorsqu'on passe d'un point jc, y de T à un point voisin

a; -f- Aj;, y -h AjK, et posons h :=\/^x^ -h ày^ ; on obtient aisément, en se servant des relations (i),

OU bien, en posant A^ = ^x + « Ay, d'où | As | = A,

f(z-^^z)-f{z)= (^-^ -^^-fx) ^^-^^^{^^\

(A), (As) tendant vers zéro avec A, Hz. La dernière égalité nous apprend que la fonction f{z) admet y pour chaque point du domaine T, une dérivée unique

-,, du ,dv

qui reste continue dans T.

Inversement, étant donnée une fonction quelconque de 3, continue^ et uniforme dans T et admettant, en chaque point de ce domaine, une dérivée unique qui j reste continue, on constate immédiatement qu'elle peut se mettre sous la forme (2), w(^,jk) et v{x^y^ jouissant des propriétés énoncées au début : c'est donc une fonction analytique de s, holomorphe dans le domaine T.

Cette seconde définition met en évidence que, si /(s) et cp(^) sont des fonctions analytiques, holomorphes dans un domaine donné, il en est de même de leurs somme, différence et produit, ainsi que de leur quotient, si le dénominateur ne s'annule pas dans le domaine.

2. Il nous semble commode de rattacher les propriétés fondamentales des fonctions analytiques au théorème suivant :

Toute fonction analytique /(s), uniforme et holomorphe dans un domaine T à connexion simple, est la dérivée d^ une autre fonction ¥[z) jouissant des mêmes propriétés. Cette fonction intégrale F (2) est déterminée à une constante additiv>e près.

En posant F(z) = \]{x^ y) -\- iY(x^ y), la condition donnée : F\z) = f(z)^ ou bien dF{z) =f(z) dz, entraîne les deux suivantes :

( dV = u dx — V dy,

\ dW = V dx -H u dy.

On est donc ramené à démontrer l'existence, dans le domaine T, d'une fonction intégrale continue et uniforme d'une différentielle

totale

(4) M(x, y) cix -h N{x, y) r/y,

les expressions M(Xj y) et N(.r, )') étant elles-mêmes continues et uniformes dans T, ainsi que leurs dérivées premières, et vérifiant en chaque point de ce domaine la condition (Tintégrabilité

d^{x,y) d^{x,y^ dy dx

On voit d'abord que, s'il existe deux fonctions intégrales jouissant des propriétés indiquées, leur différence se réduira nécessairement à une constante. En effet, les dérivées de cette différence étant nulles en chaque point de T, elle gardera une valeur constante sur tout segment de droite intérieur à T et parallèle à l'un ou l'autre des axes de coordonnées. Or deux points pris arbitrairement dans T peuvent toujours être reliés par une ligne composée de semblables segments.

Ayant fixé à l'intérieur de T un point ^o, j/'o, imaginons que, pour atteindre un autre point x^ y du même domaine, on chemine de J^o? JKo parallèlement à l'axe des x jusqu'au point x^ jKo? P^îs parallèlement à l'axe des y jusqu'au point considéré x^ y. Cette ligne brisée sera comprise tout entière dans T si l'on suppose le point j?, y intérieur à une certaine portion de ce domaine que nous désignerons par Tq.

Cela posé, en admettant qu'il existe une fonction continue et uniforme dont la différentielle totale soit égale à (4) et qui, au point ^0 7 JKoî se réduise à une constante donnée A, la valeur de cette fonction en un point quelconque x^ y du domaine Tq sera évidemment représentée par l'expression

Fo(x,y)^PL-h f M{x,yo)dx-i-J N(x,y)dy,

obtenue en ajoutant à la valeur initiale A les accroissements que prendra la fonction intégrale sur chacun des deux segments rectilignes qui relient les points Xq, jKo et x, y.

Inversement, ayant formé l'expression ci-dessus, on constate immédiatement qu'elle définit, dans le domaine Tq, une fonction intégrale continue et uniforme de la différentielle (4). En effet, la

chose esl évidente pour ce qui concerne l'uniformité et la continuité el, en différentiant, on trouve de suite

plli

a utilisant la condition

ntégrabilité,

<iK„

•Ir

Le domaine T0, où est définie l'expression Fo(x,y), s'obtient en menant dans T certaines coupures parallèles à l'ase desy {dans la figure ci-dessous, où P^ désigne le point x^, y» et où T„ est l'aire couverte de hachures, ce sont les coupures A.A', BB' etCC). Le

domaine T étant, par hypothèse, à connexion simple, chacune de ces coupures en séparera une portion où, jusqu'à présent, la fonction intégrale n'est pas définie.

A. l'intérieur de T», choisissons maintenant un point jOf^y, distinct de ^0, yn (dans la figure c'est le point P) ), et formons l'expression

F,(^,j) = F„(;r„^,)+y W{3>,y,)dx^J ^{œ,y)dy.

analogue à ¥a{x, v) et prenant la même valeur que cette expression au point x,, yt- En raisonnant comme ci-dessus, on démontre que Fi(x, y) représente une fonction intégrale continue et uniforme de la différentielle (4) dans une certaine portion T, du domaine T, qui aura en commun avec T,, une aire Ta,,, comprenant le point Xi, y t.

Je dis qu'on a F, (x,^) ^=Ft{x,y) pour tout point de l'aire T,,^,.

En effet, d'après ce que nous avons dit plus haut, la différence des expressions F, et Fo gardera dans cette aire une valeur constante, et, comme elles prennent la même valeur au point ^<, ) ^, cette valeur constante est o.

Or, si l'on a choisi convenablement le point Xt ,y, , le domaine ï^ renfermera aussi certaines aires extérieures à T© et qui en sont séparées par l'une des coupures (dans la figure, c'est l'aire comprise entre CC et DD'). L'expression F, {-T^y) sert alors à prolonger la fonction intégrale au delà des limites du domaine To, où elle était définie primitivement.

En continuant ce procédé, on pourra étendre de proche en proche le domaine d'existence de la fonction intégrale et, par un choix convenable des points x^^ y^] .ri, ji ; ..., on arrivera même, en général, à représenter cette fonction, dans tout le domaine T, par un nombre fini d'expressions Fq(^, >^), F,(j?, jk)? •••• H n'en est plus ainsi dans les cas où le contour de T présente des singularitésd'un certain genre, mais cela a peu d'importance, car, dans la suite, nous resterons essentiellement dans l'intérieur de ce domaine.

En retournant maintenant aux conditions (3), nous pouvons affirmer qu'elles définissent dans le domaine T des fonctions continues et uniformes U(j;, r), V(x, j"), déterminées à des constantes additives près, et, par suite, l'expression

nous donne bien une fonction intégrale de f{z)<, uniforme et holomorphe dans le domaine donné et renfermant une constante arbitraire.

3. Prenons à l'intérieur du domaine T deux points quelconques, ZQ'=i Xq-\- ivo et :; ^ ^ -h iy^ et joignons-les par un chemin continu S, n'ayant aucun point commun avec le contour de T; puis choisissons sur ce chemin une suite de points, >S|, g^, ..., z^ se succédant dans la direction de Zq à z. On appelle intégrale définie de la fonction /(s), prise le long du chemin S de Zq à z, et Ton dénote par

f^ f(z)dz

la limite vers laquelle tend la somme

lorsque n croît indéfiniment, en même temps que la distance entre deux points consécutifs Zy quelconques tend vers zéro.

Or, en posant Zy=x^,-{- iy^^ (iy= ^^(;rv, jKv)? ^v= <K^vî jKv)? la somme en question s'écrit

et, lorsque n augmente indéfiniment, cette expression tend vers la limite

(udx — V dy) -\-i j (vdx-^ucfy),

laquelle, en vertu des égalités (3), se réduit à son tour à

c'est-à-dire à F(z) — F(Zq), Toutes ces conclusions découlent immédiatement de la notion d'intégrale curviligne, si l'on admet que le chemin S se compose d'un nombre fini d'arcs de courbes continues à tangente continue, hypothèse qui suffit complètement aux besoins de la théorie des fonctions.

Nous avons donc trouvé

(5) f /(z)dz = F{z)-F{zo),

et cette égalité renferme deux résultats d'une importance capitale : comme le second membre ne dépend que des limites Zq et z de l'intégrale, il en résulte d'abord que :

L'intégrale j f(z)dz^ prise entre des limites fixes, ne

change pas de valeur^ de quelque manière qu'on Jasse varier le chemin d'intégration, à condition que ce chemin reste constamment intérieur à un domaine ou la fonction /(z) est holomorphe.

D'autre part, si les extrémités Zq et z du chemin S se rapprochent jusqu'à se confondre, le second membre de l'égalité (5) tendra vers zéro, d'où cette nouvelle conclusion :

L'intégrale j f{z) dz s' évanouit toutes les fois qu'on prend

pour chemin d'' intégration un contour Jernié, compris dans un domaine simplement connexe où la fonction f{z) est holomorphe (^).

Supposons maintenant la fonction f(z) uniforme et holomorphe dans un domaine T à connexion multiple, et soient C, C! des contours fermés, intérieurs à T et pouvant se réduire l'un à l'autre par une déformation continue, sans sortir jamais de ce domaine. Je dis qu'on aura

f f(z)dz= f f{z)dz.

En eflet, si C et G se coupent, les parties de ces contours comprises entre deux points d'intersection consécutifs correspondent

à la même valeur de l'intégrale / f{z)dz^ en vertu du théorème

C) On rattache généralement ce théorème à la formule

les fonctions M(a:, ^) et N(^,y), ainsi que leurs dérivées premières, étant continues et uniformes dans le domaine T et sur son contour C.

Dans son Mémoire sur les intégrales définies de l'année i8i4 {Œuvres complètes, série I, t. I), Gauchy s'est servi de Cette formule dans le cas où le domaine est un rectangle ou s'y ramène par une transformation bi-uniforme des coordonnées. C'est la même méthode qu'a adoptée Kronecker dans une Note insérée dans les Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1880, p. 688, et qu'on trouve développée dans le Chapitre III de ses Leçons sur les intégrales définies, publiées par M. Netto.

D'autre part, on trouve dans le Mémoire sur les rapports qui existent entre le calcul des résidus et le calcul des limites, que Cauchy avait présenté à l'Académie de Turin le 27 novembre i83i et dont un extrait assez étendu a été publié dans le Bulletin de Férussac, t. XVI, i83i, p. 116-128, une démonstration du théorème ci-dessus, fondée sur les mêmes principes el parfaitement générale.

Enfin, dans une Note du 3 août 1846, inl'ilulée Sur les intégrales qui s'étendent à tous les points d'une courbe fermée {Œuvres, série I, t. X, p. 70), Cauchy a généralisé notablement les résultats qu'il avait obtenus antérieurement.

8 chapitre: i.

de la page 6, d'où résulte l'égalité ci-dessus. Si les courbes C et C sont intérieures l'une à l'autre et si on les joint par une coupure, les deux boitfs de celle-ci formeront avec lesdites courbes le contour complet d'un domaine simplement connexe où f{z) est holo-

morphe. L'intégrale / f(z) 'Iz étendue à ce contour est donc égale

à zéro et, comme les parties de l'intégrale relatives aux deux bords de la coupure se détruisent, on en déduit bien Tégalité voulue. Donc :

Si la jonction f{z) est uniforme et holomorphe dans an domaine donné T à connexion quelconque , ^intégrale

I /(z) dz, étendue à un contour fermé situé dans T, garde

une valeur invariable lorsque ce contour se déforme d^ une manière continue, en restant constamment intérieur à T.

4. Soient y(5) une fonction analytique, holomorphe dans un domaine T à connexion simple, C une courbe fermée située dans T et ne se coupant pas elle-même, x un point intérieur à C et c un cercle de centre x et intérieur à G. Le théorème ci-dessus nous donne

Jç Z—ÛC J^, z — x

les contours C et c étant parcourus tous deux dans le sens direct. Or, si l'on pose z — x = r^'?, r étant le rayon du cercle c, cette dernière intégrale prendra la forme

d'où l'on conclut qu'elle tend vers 2Tzi/(x) lorsque r s'annule. Comme elle est, d'autre part, indépendante de r, toujours en vertu du même théorème, sa valeur sera précisément ^tz if(x). Par suite, l'égalité ci-dessus nous donne la formule fondamentale

^ '^ ^ ' ITZl Jç^ z 3Ù

qui aura lieu pour tout point x intérieur à C.

On en conclut d'abord, par la définition même de la dérivée, que la fonction f{x) admet dans son domaine d'holomorphie des dérivées de tous les ordres et que l'on a, à l'intérieur de C,

^ w VÎT f(z)dz (7) f^'^)(x) = ' / -^ — •

Prenons maintenant un point quelconque, a, intérieur à C et distinct de x^ et posons

La formule (6) deviendra, en tenant compte de l'égalité (7),

(8) f(a^)^^J—^(a^-aY^—j{^-^)^d..

Soient M le maximum de | /(5) | sur C, S la longueur totale de ce contour, R la plus courte distance du point a à C, R' un nombre positif inférieur à R, et supposons \x — a\ ^R^ Le dernier terme de l'égalité ci-dessus aura son module inférieur à

Ms /r;\«

2ir(R-R') \ R/ '

et comme cette quantité s'annule lorsque n croît indéfiniment, on arrive à cette conclusion que, pour \x — a\ ^R', la fonction y*( a?) est représentée par son développement de Taylor

Comme R' était un nombre quelconque inférieur à R et C un contour quelconque compris dans T, celte égalité subsiste dans le cercle de centre a et tangent intérieurement au contour de T (*).

(' ) Caurhy a établi pour la première fois ce théorème dans son Mémoire sur la Mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé Calcul des limites, qu'il présenta à l'Académie de 1 urin le 11 octobre i83i, et dont un résumé fut inséré la même année dans le Bulletin de Férussac, t. XV, p. 260-269. La partie la plus importante de ce travail, qui marque un des plus grands progrès qui aient jamais

5. Passons au théorème de Laurent, Nous supposons la fonction f{z) uniforme et holomorphe à l'intérieur et sur le contour de la couronne comprise entre deux cercles concentriques, C et c, de centre a. Prenons dans cette couronne un point arbitraire, x^ et joignons C et c par une coupure ne passant pas par ce point. On aura un domaine simplement connexe où f{z) est holomorphe, contour compris, et Ton pourra donc appliquer la formule (6) en y étendant l'intégrale au contour complet de ce domaine. Or, comme f{^z) est uniforme dans la couronne envisagée, les intégrales relatives aux deux bords de la coupure se détruisent, de sorte que nous trouvons

ITZl J„ Z X 2TZI f Z — X

les contours G et c étant tous deux parcourus dans le sens direct. En raisonnant comme ci-dessus, on trouve d'abord pour tout point X intérieur au cercle C,

élé réalisés clans l'Analyse, se trouve reproduite dans le Tome II des Exercices d'Analyse (i84i).

Quant aux formules (6) et (7), il y avait longtemps que Cauchy les avait tirées du calcul des résidus, dans le cas particulier où le contour G se réduit à un cercle de rayon un. Voir, par exemple, BuUetin de la Société Philoniathique, 1822; Annales de Gergonne, t. XVII, p. ii4, et un article de la première année (1826) des Exercices de Mathématiques {Œuvres, série II, t. VI, p. 270-271).

D'ailleurs, ces formules avaient déjà été remarquées par d'autres auteurs, notamment par Frullani et Poisson, qui y étaient arrivés en partant de la série de Taylor. Mais, dans cet ordre d'idées, on doit surtout citer Parseval, auteur peu connu de notre temps, mais dont les travaux vraiment remarquables : Méthode générale pour sommer, par le moyen des intégrales définies, la suite donnée par Lagrange, et Mémoire sur les séries et sur l'intégration complète d'une équation aux différences partielles linéaires du second ordre, à coefficients constants {Mémoires présentés par divers savants, série I, t. i, 1806) ont exercé une grande influence sur les analystes du commencement du siècle dernier, et tout particulièrement sur Cauchy {voir, par exemple, Œuvres, série II, t. VI, p. 275).

Les remarq.'ies qui précèdent pourront servir à compléter ou à corriger, sur différents points, les intéressants articles que vient de publier M. Stâckel sur l'histoire de la Théorie des fonctions {Bibliotheca Mathematica, série III, t. I, p. 109-128 et t. II, p. 111-121).

avec

En vertu du théorème de la pa^e 8, il est permis de prendre pour contour d'intégration dans cette dernière intégrale, soit l'une des circonférences C et c, soit une courbe fermée quelconque, L, intérieure à G et enveloppant c, et ne se coupant pas elle-même.

D'autre part, en écrivant

z — X ~~ X — a — (z — a)~^ {x - ay* \x — a) x —

et en observant que, si | ^ — a\ est supérieur au rayon du cercle c,

l'intégrale

I r I z — a '-J' J{z)dz

'2Tzi J , \x — a) X — z s'évanouit pour n = oo, on trouve le développement

'iTzi J , z — X ^^ {x — a

(9) Bv= :^. ff(z)(z^ay-^dz,

et qui reste valable pour tout point x extérieur au cercle c. On aura, dès lors, dans la couronne comprise entre G et c.

(,o) /(,)=2M^-a)v+2(^zr^'

égalité qui constitue précisément le théorème de Laurent.

6. Admettons, en particulier, que la fonction /'( s ) est uniforme et holomorphe pour tout point du cercle C, excepté le centre a. Le raisonnement qui précède restera vrai quelque petit qu'on prenne le rayon du cercle c, et les valeurs des coefficients Av, Bv seront toujours les mêmes. Donc, la fonction fi^x) sera représentée par le développement (lo) pour tout point x intérieur à G et distinct du point a.

Quant au caractère que présente la fonction f{x^ dans le voisinage du point a, deux cas sont a priori possibles : ou il existe un entier n tel que, dans le cercle C, le module du produit {x — cùffioc) reste inférieur à un nombre fini, M, ou bien un tel entier n'existe pas.

Considérons d'abord le premier cas, et admettons que n est précisément le plus petit entier satisfaisante la condition indiquée. En faisant v = /i -h A et en prenant pour contour d'intégration un cercle de centre a et de rayon /•, on déduit de l'égalité (9)

et, comme Mr* s'annule. avec /*, pour /r^i, tandis que les valeurs des coefficients B ne dépendent pas de r, il en résulte que B,j,.i = B„^2 = • • • = o. Donc, le développement (10) ne comprend qu'w/i nombre fini de termes à puissances négatives (* ) :

•^ ^ ^ {x — aY (a? — a)«-» x — a J^ '

On aura d'ailleurs B,, ^ o, sans quoi le produit i^x — aY~^ f{x) resterait fini dans le voisinage du pointa, contrairement à l'hypothèse. — On dit, dans ce cas, que le point a est un pôle d^ ordre n pour la fonction /(^).

Inversement, si a est un pôle de /{x), il existe évidemment un entier n jouissant de la propriété indiquée plus haut. Donc, dans le cas où un tel entier n'existe pas, la partie fractionnaire du développement (10) comprendra une infinité de termes, et réciproquement. Alors, le point a est dit point singulier essentiel pour la fonction donnée.

Le coefficient B^ de la première puissance négative dans le développement (10) s'appelle le résidu de la /onction /(x) relatif au point singulier x = a (2). D'après (9), on a

Bi=-i-. ff(z)dz,

= -^if/'

(^) Cf. Œuvres de Cauchy, série I, t. Xf, i35i, p. 384-

(^) Ce lermeaété employé par Cauchy pour la première fois, à ce qu'il semble, dans un Mémoire présenté à l'Académie des Sciences le 28 décembre 1826 {voir

PRINCIPES ET THÉORÈMES FONDAMENTAUX. l3

L étant un contour fermé simple intérieur à G et enveloppant le point a. Si a est un pôle simple, on aura aussi cette autre définition :

B, = lim {X — ciyf{x).

Remarquons encore que le résidu B^ s'évanouit si /(z) est la dérivée d'une fonction qui reste uniforme dans le voisinage du point a, ce qui résulte immédiatement de l'égalité (5), page 6.

7. Supposons maintenant la fonction y(^) holomorphe et uniforme dans la région du plan qui est extérieure à un certain cercle c ayant l'origine comme centre. On aura pour tout point de cette région

(II) /(^)=2^^^'+25

avec

Av = -^ Z' ^^? dz, Bv = -U ff(z)z^-^ dz,

L étant un contour fermé simple enveloppant le cercle c. En effet, en vertu du théorème de Laurent, cette égalité a lieu dans la couronne comprise entre c et un cercle concentrique C, enveloppant le contour L et d'ailleurs aussi grand qu'on voudra.

Nous avons ici encore à distinguer deux cas :

Admettons d'abord qu'il existe un entier n tel que le module is~''y'(s)| reste inférieur à une limite finie, quelque grand que soit |^|, et soit d'ailleurs n le plus petit entier satisfaisant à cette condition. On en conclut, par un raisonnement analogue à celui du n" 6, A.«j.i =: A.,,^2 = . . . = o, A.,| ^ o, de sorte que x'^ est

p. XIII de l'analyse des travaux de r.\cadémie pendant l'année i825, par Fourier ), puis dans les Exercices de Mathématiques. Mais la notion de résidu est au fond identique à celle ^intégrale singulière que Cauchy avait introduite dans son Mémoire de i8i4, et qui se trouve exposée avec beaucoup de précision dans ses Leçons sur le Calcul infinitésimal de l'année 1828 {Œuvres, série II, t. IV 34* leçon).

Cauchy est bien des fois revenu sur les notions fondamentales du Calcul des résidus, cherchant à les préciser et à les simplifier autant que possible. Voir, en particulier, Œuvres, série I, t. XI, i85i, p. 3o6-3i4; t. XII, i855, p. 3oo-3oi et 1857, p. 433-444-

. l4 CHAPITRE I.

la puissance la plus élevée de x qui figure dans le développement (il). On convient de dire, dans ce cas, que le point à ^infini est pour /(x) un pôle d^ ordre n. Si, en particulier, [/(-z)! reste au-dessous d'une limite finie, à partir d'une certaine valeur de \z\^ le développement (ii) ne comprendra aucune puissance positive de x; alors la /onction /(x) est holomorphe à r infini.

Dans le cas où il n'existe pas d'entier n vérifiant la condition indiquée, le développement (ii) comprendra au contraire une infinité de termes à puissances positives, et le point à l'infini est dit point singulier essentiel ^oxxv f{x).

On convient d'appeler résidu de la fonction f{x) relatif au point 00 l'expression

l'intégrale étant prise le long du contour L dans le sens indirect par rapport à l'origine ou, ce qui revient au même, dans le sens direct par rapport au point oc. Remarquons que ce résidu est nul dans le cas oii le produit z f{z) tend uniformément vers zéro

a\>ec -> c'est-à-dire où l'inégalité | 2/(5) | < s, quelque petit qu'on

se donne e, est vérifiée dès que |5| dépassera une certaine limite finie. En eH*et, en prenant pour contour L un cercle ayant l'origine comme centre et dont le rayon est supérieur à cette même limite, on trouvera | B| | < £, d'où il suit B, = o.

8. Soit une fonction analytique f{z) qui, dans un domaine donné à connexion simple, est uniforme et ne présente qu'un nombre fini de points singuliers, ««, «a, . . ., a«, en étant d'ailleurs holomorphe sur le contour C de ce domaine. Entourons les points a de petites courbes fermées, c<, C2, . . ., Cnt extérieures les unes aux autres mais intérieures à C, et joignons chacune de ces courbes avec C par une coupure. Un raisonnement analogue à celui du n° 5 nous donnera

^J/i^)d^-^^jA')<i^,

tous les contours étant parcourus dans le sens direct. Or le second

PRINCIPES ET THÉORÈMES FONDAMENTAUX. l5

membre est égal à la somme des résidus de la fonction /(z) relatifs à ses points singuliers intérieurs au contour C, et, en désignant

avec Cauchy cette somme par I* (/(^))? ^^ pourra donc écrire

l'égalité précédente sous la forme

C'est la formule sur laquelle repose tout le calcul des résidus (^). Dans le cas où la fonction /(:-) est uniforme et holomorphe dans la région extérieure au contour C, le premier membre de (12) est égal au résidu de cette fonction au point 00 pris avec le signe moins, d'où cette proposition :

La somme de tous les résidus d^une fonction analytique, uni/orme dans tout le plan et n^ ayant qu^un nombre fini de points singuliers, est égale à zéro.

Soit, en particulier, une fonction /(2), holomorphe dans tout le plan et dont le module reste inférieur à une certaine quantité finie, quel que soit 5, et considérons l'expression

X et y étant deux points distincts pris au hasard. Gomme zY{^z)

tend uniformément vers zéro avec -? le résidu de F(^) à l'infini

est égal à zéro, d'après la remarque faite page 14. En vertu de la proposition ci-dessus, il en est donc de même de la somme des résidus de F(<5) relatifs aux points x ^\. y et, comme cette somme

s'écrit iS^ ~J^^\ il en résulte f{x)^^f{y). Donc la fonction f[z) se réduit à une constante (•^).

(^) Sous cette forme générale, la formule (12) a été établie par Cauchy dans le Mémoire du 27 novembre i83i et publiée la même année dans le Bulletin de Férussac {Cf, la note p. 7).

C) Cf. Cauchy, Œuvres complètes, série I, t. VIII. i844» p- 366-375. Dans

cette Note, Cauchy démontre également qu'une fonction /(z), holomorphe dans

f(z) tout le plan et telle qu'on ait "^ \ <M à partir d'une certaine valeur de \z\^

l6 CHAPITRE I.

En reprenant les hypothèses et les notations adoptées au début de ce numéro, appliquons maintenant la formule (12) à la fonction

z — or

X étant un point quelconque intérieur au contour C et distinct des points a<, a2, ..., a,i. Le résidu de cette fonction au points est égal k f[x). Pour trouver le résidu relatif à av, écrivons

aura en ce

f{z) = Gv { ^ \ ) -hHv(^ — av),

Gv désignant la partie fractionnaire et Hv la partie entière du développement de .f{z) suivant les puissances de z — «v Comme Hv

est holomorphe au point a^^ on voit d'abord que —

point le même résidu que l'expression

z X \z — Ov/

Or celle-ci n'a d'autres points singuliers que z ^= x et 2 = «v?

et, comme z^{z) tend uniformément vers zéro avec -> son

résidu à l'infini est nul. En vertu de la proposition démontrée page i5, le résidu cherché est donc égal au résidu de ^{z) au

point X pris avec le signe moins, c'est-à-dire à — Gv ( ) >

et par suite la formule (12) nous donnera

autre formule fondamentale du Calcul des résidus dont Cauchy a fait un usage continuel dans ses recherches.