Nous devons rappeler le principe fondamental du prolonge

se réduit à ud polynôme d'un degré = n. Plus lard {Ibid., t. XI, i85i, p. 376-880), il a tiré de la formule (i3) du texte l'expression générale d'une fonction uniforme n'ayant qu'un nombre Hni de points singuliers, et montré, en particulier, que toute fonction n'ayant d'autres singularités que des pôles se réduit à une fraction rationnelle.

ment analytique, dont nous aurons constamment à faire] usage dans cet Ouvrage.

Si les fonctions f^i^x) et .fii^x) sont holomorphes dans une aire connexe T, et si V égalité f^ (x) =/2(x) est vérifiée sur un segment de courbe arbitrairement petit y intérieur à T, elle subsistera pour tout point de cette aire (*).

D'un point a du segment y comme centre, décrivons un cercle C ayant pour rayon la plus courte distance de ce point au contour de l'aire T. A l'intérieur de ce cercle, les fonctions ^i (a?) ^X^.f^i^x^ sont représentées par leurs développements de Taylor :

Je dis que ces développements sont identiques, c'est-à-dire que l'on a AV^= Ay^* pour chaque indice v.

Supposons, en effet, qu'il n'en soit pas ainsi, et soit n le plus petit entier pour lequel l'égalité précédente n'ait pas lieu. On aurait, en posant pour abréger A^*^ — Ai^'= A.v,

et l'on pourrait donc trouver un nombre positif r assez petit pour que cette différence ne s'annule pour aucun point du domaine o < 1^ — <^| <C '"• O^^ ceci est impossible, puisque le domaine dont il s'agit renferme une partie du segment y.

( * ) Dans une Note de Gauchy du 17 février iS^S {Œuvres, série I, t. IX, p. 89) on trouve le principe en question énoncé en ces termes :

Supposons que deux fonctions de x soient toujours égales entre elles pour des valeurs de x très voisines d'une valeur donnée. Si l'on vient à faire varier x par degrés insensibles, ces deux fonctions seront encore égales tant qu'elles resteront l'une et l'autre fonctions continues de x (c'est-à-dire holo* morphes, d'après la terminologie actuelle).

Cauchy avait été conduit à ce résultat, qu'il énonce d'ailleurs aussi pour les fonctions de plusieurs variables, en généralisant une proposition établie par Cellérier, dans une Note relative à la théorie des imaginaires, qui semble n'avoir jamais été publiée (C/. le Rapport de Cauchy, Œuvres, série I, t. VIII, 1844» p. 160-162).

Cependant Gauchy n'a pas tiré d'applications de son principe, et c^est à Riemann et à Weierstrass que revient l'honneur d'avoir les premiers mis en évidence l'importance et la fertilité de la notion de prolongement analeptique.

l8 CHAPITRE I.

On a donc fx (x) zz^f^i^x) pour tout point du cercle C. En prenant maintenant un point quelconque b intérieur à C, on démontre par le même raisonnement que cette égalité subsiste dans le cercle ajant b pour centre et tangent intérieurement au contour de T et, en continuant ce procédé, on arrivera évidemment à l'établir pour un point quelconque de Taire T.

10. En terminant ce Chapitre, nous démontrerons un théorème général dû à Weierstrass (*) et qui joue un rôle très important dans la théorie des fonctions ;

Soit une suite indéfinie de Jonctions analytiques y «1(07), "2(^)9 •••? holomorphes dans une aire connexe T et sur son contour C, et supposons que la série

(14) F(^) = Mi (a?) -H Ut{x)-\-. ..-4- ih{x) -h. ..

converge uniformément sur C (2); la somme ^{x) de cette série représentera une fonction analytique holomorphe dans le domaine T, et la dérivée d'un ordre quelconque de cette fonction s^ obtiendra en faisant la somme des dérivées du même ordre de chaque terme de la série,

La formule (6) nous donne, pour tout point x intérieur à C et pour chaque indice v,

ITZl J^ Z — X

et, comme Tintégrale d'une série uniformément convergente est

( * ) Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1880. (^) Cette condition implique que, ayant fixé un nombre positif arbitrairement petit e, on pourra trouver un entier n tel qu'on ait

pour tout point du contour G, et quel que soit l'entier positif/?. Or on sait, par une propriété bien connue des fonctions analytiques, que la plus grande valeur que prend le premier membre de cette inégalité sur le contour G est supérieure à sa valeur en un point quelconque intérieur à ce contour. H en résulte que, si là série (i4) est uniformément convergente sur le contour C, elle l'est aussi dans tout le domaine T, contour compris.

égale à la somme des Intégrales de chacun de ses termes, on en déduit immédiatement que la série (i4) converge au point x et que sa somme est donnée par l'égalité

dont le second membre représente bien une fonction analytique de la variable x qui est holomorphe dans le domaine T.

La seconde partie du théorème se démontre de même en partant de la formule (7) qui nous donne, pour tout point x intérieur à C,

ITZlJ^^Z X

Uy(z) dz

En effet, on en déduit l'égalité

dont le second membre, d'après (i5), est bien égal à ¥^'^^{x).

On se convainc d'ailleurs aisément que la série figurant au premier membre de cette dernière égalité est uniformément convergente dans toute aire intérieure au domaine T et n'ayant aucun point commun avec son contour.

1. — Fonctions symétriques des racines d^une équation. Développement des Jonctions implicites,

H. Soit une fonction analytique, /(^), uniforme et n'ayant d'autres singularités que des pôles dans un domaine donné T, holomorphe et différente de zéro sur le contour C de ce domaine.

Le nombre des pôles intérieurs à T est nécessairement fini, car, dans le cas contraire, ils admettraient au moins un point limite faisant partie de T, et qui serait ^omt f(^x) un point singulier d'un caractère autre que les pôles. Nous désignerons les pôles en question par 6j, 62, . . ., 6vî et leurs ordres par ^i, ^2? • • • 7 Pv

On voit de même que la fonction f{x)^ à moins qu'elle ne soit identiquement nulle, ne saurait avoir dans T qu'un nombre fini de zéros, ai , «a, . . . , a^] soient ai , a^, . . . , a^j, leurs ordres.

f'(x) Considérons le quotient •^. » C'est évidemment une fonction

holomorphe en tout point de T distinct des points a et b. Dans le voisinage du point a^t, on aura ( * )

f{x) = A(a? — aA.)** [i -+- (ar — «a) P(a? — a^).], A étant une constante non nulle ; il en résulte

f{x) x^ak

(^) Nous désignons par |)(^) une série entière qui converge dans un certain voisinage de la valeur ^ = o, et qui d'ailleurs n'est pas la même dans les diverses égalités ci-dessus.

Un calcul analogue nous donne, dans le voisinage du point 6^?

Cela posé, soit F(x) une fonction quelconque, holomorphe dans T et sur C. D'après les égalités ci-dessus, les résidus de l'ex-

pression F(^) ^yr-r- relatifs aux points Uk et bh seront respective-

mentégauxà aLkF(ak) et à — ^kF(bk)^ et la formule (12), page i5, nous permet donc d'écrire ce résultat :

(JL V

Si, en particulier, la fonction /(^) est holomorphe dans le domaine T et n'y admet que des zéros simples, Xi , X2j . . . , Xm^ on aura

(2) F(a:i)-+-F(a?,)-h...H-F(ar;„)==-l-. fY{x)^^dx.

ITZl J^ J{X)

Cette formule restera d'ailleurs valable dans le cas où /(x) présente des zéros multiples, si, comme nous le ferons dès à présent, on convient d'écrire, dans la suite x^y X2y ..., Xm^ chaque zéro autant de fois que l'indique son ordre (*).