C/2 __ ^—TUZ

et, en désignant par dio un angle compris entre o et - >

^-^^^e-'^Um^lR pour 4^o=|<H^r>

k' et k" étant des quantités indépendantes de R.

En somme, lorsque /<; i , on aura sur Cr les inégalités suivantes :

I , / Vf ., -Il (log-cosJ/o — 3— e) 11,^1

\^(a:,z)\<k'r^e V *r ^"' / pour H'|=4'o,

1 4>(ar, z) 1 < k'r^ e-R(7rsin.%-^-e) pour ^'o^ | 4^ I ^ -•

Fixons mainlénant l'angle ^o par la condition 7isintj^o= 2r', où

Sr<2r'<;;7r, puis déterminons Tq de sorte que log — cos«j^o= S'» Tant que r^ /'o, on aura pour tout point de Cr

A' désignant la plus grande des quantités k' et k" ] par suite, en faisant tendre R vers l'infini et en supposant — To <! ^' <C o, l'intégrale / ^(^x^z)dz prise le long de Cr tendra effectivement vers zéro, comme nous l'avions dit, de sorte que l'égalité (3) deviendra

a-+-/« ^a-H/oo

(4) y9(v):rv.= -r 'P(x,z)dz^-f &^^dz.

54. Nous allons maintenant démontrer que le second membre de cette formule définit une fonction holomorphe de x dans l'angle (2). A cet effet, posons

z = 7."h it et X = r é;'(^-^-^l',

de sorte que 0^ ^ 8 — u représente l'argument du point x compté à partir de l'axe réel négatif; on aura

(5> l*(^,^)| = ;.ae-9..|^^IÎ^)

d'où il résulte, en vertu de l'hypothèse 2® {voir la note page 49))

Dans le second membre de cette inégalité, on doit lire H- 9i ou — Si suivant que t est positif ou négatif.

Supposons maintenant le point x intérieur au domaine

(6) r>o, 2r-H(j<6<27: — â — (T (d'où | ôj |< tt — 2r — d),

<T étant une quantité positive aussi petite qu'on voudra, et dési-

gnons par Tj un nombre positif inférieur à o*. On aura, dès que 1 1 \ dépassera une certaine valeur T, tt — 3 di 8| -h £(^)>> Tj, d'où

(7) |4>(a7, ^)|<r«e-^i"I pour | ^ | > T.

On peut conclure de cette inégalité que le second membre de (4 ) définit une fonction holomorphe de^ dans le domaine (6). Pour le faire nettement voir, écrivons

^{x, z) dz = — ^ / ^ix^z) dz.

En développant, dans l'expression ^(^, ^), x^^ ^z\o%x g^ série, on voit d'abord que chaque terme du second membre est une fonction entière de logx et qu'il est, par suite, holomorphe dans le domaine (6). D'autre part, il résulte de l'inégalité (7) que la série ci-dessus est uniformément convergente dans toute portion, finie du domaine en question. Pour arriver à la conclusion voulue, nous n'avons dès lors qu'à recourir au théorème établi au n** 10, qui nous montre en même temps que les dérivées de la fonction considérée sont représentées, dans le domaine (6), par les exprès»sions qu'on obtient en différentiant sous le signe intégral (*).

Le résultat qui précède restant vrai quelque petit que soit cr, il est donc démontré que le second membre de l'égalité (4) définit une fonction holomorphe à l'intérieur de l'angle (2), et comme l'égalité en question a lieu sur le segment — ro<; ^ < o qui est Intérieur à l'angle (2), cette fonction donnera le prolongement analytique de la série (4)j en vertu du principe établi au n® 9.

Or on a d'après l'égalité (4)? si m est positif.

(8) F(^) = 2<?(^)^^-/ léâzïl'^' (m-i<a<m),

et, pour m négatif, en posant m = — A*,

(9) ï'(->=-i^-£rîS5''^ [-(.-H,)<«<-^].

{}) Cette méthode de démonstration, qui permet d'éviter des calculs parfois épineux et presque toujours peu élégants, avait déjà été mise en usage par d'autres auteurs, notamment par M. Mellin.

PROLONGEMENT ANALYTIQUE DES SÉRIES DE TAYLOR. Il3

tandis que, lorsque /n = o, la série (4) se confond avec F(x). Donc, dans tous les cas, la fonction F (ce) sera holomorphe à Tintérieur de l'angle (2), et notre théorème se trouve ainsi démontré {*).

55. Les considérations qui précèdent conduisent encore à des conséquences intéressantes relatives aux propriétés asymptotiques de F{x). On en déduit, en effet, ce théorème important :

Sous les conditions énoncées page 109, la Jonction définie par la série (i) et qui, diaprés le théorème du n^ 53, est holomorphe dans le domaine (2), peut se mettre sous Vune ou U autre des formes suivantes :

(10) F(a?) = 37*8(2:) si a> — i,

(11) F(ar)=-2^^=^-H^«s(^) si -(A: + i)<aS-A-,

e(ic) désignant une fonction qui tend uniformément vers zéro lorsque x tend vers V infini dans V angle

et cela quelque petite que soit la quantité positive (t.

Il résulte immédiatement des relations (5) et (7) que le module du produit

reste au-dessous d'une limite finie dans le domaine (12), et l'on en conclut, d'après les égalités (8) et (9), que la fonction F(^), lorsque a n'est pas un entier, pourra se mettre sous l'une ou l'autre des formes (10) et (11), où le module de e(x) reste inférieur à une quantité finie dans le domaine (12), si l'on exclut le voisinage de l'origine.

Cette forme moins précise du théorème suffit dans bien des recherches; on en trouve des applications importantes dans les Mémoires de M. Mellin, cités plus haut.

(^) Si m est positif, on suppose que ^{z) prend des valeurs finies pour ^ = o^ i, . . . , /W — I,

Si l'on veut démontrer que e(^) tend effectivement vers zéro

avec — dans le domaine (12), des considérations plus délicates

deviennent nécessaires. Admettons d'abord que le nombre a n!est pas entier. Il s'agit de démontrer que, e étant fixé aussi petit qu'on le voudra, on pourra trouver une quantité R telle que le module de l'expression (i3) reste inférieur à e pour

En vertu de l'inégalité (7), il est d'abord possible de déterminer le nombre t' de telle sorte que l'on ait

^•^ot

OL—iV ^a-i-iao

f ^{x,z)dz -^ I ^(x, z) dz

a — 100 •^a-Hi/'

pour tout point du domaine (12). Il reste donc à montrer qu'on peut choisir R de manière que l'on ait, dans le domaine (M)?

x-a I ^{x, z) dz

En posant 5 = a -|- /f , ^ = re'^, on aura

(16) a7-a<ï>(a7, z)= e-0'[A(^)-4-iB(^)][cos(^logr)-i-isin(#log/)],

A, B étant des fonctions réelles de t qui sont holomorphes pour toute valeur réelle de cette variable.

Considérons, par exemple, l'intégrale

(17) f e-^^k{t)s\n{t\ogr)dl.

Je dis d'abord que le nombre des intervalles alternatifs de croissance et de décroissance que présente V expression \ e~^^A(^)| entre les limites — t' et t' est inférieur à un nombre fixe N quel que soit 0.

En effet, les extrémités des intervalles en question qui sont comprises entre — tf et t' correspondent, soit aux zéros de la fonction A(^), soit à ceux de la dérivée de e~^'A(^), c'est-à-dire aux racines de l'équation

A'(0-ÔA(0 = o,

PROLONGEMENT ANALYTIQUE DES SERIES DE TAYLOR. Il5

lesquelles, à leur tour, ou vérifient simultanément les conditions A(^) = o, A'(^) = o, ou bien correspondent aux points d'intersection de la courbe y = -. — - avec la droite r = 0. D'ailleurs, entre deux de ces points d'intersection consécutifs sera compris, soit un infini de la fonction . ,\ > c'est-à-dire un zéro de A(^), soit un zéro de sa dérivée, c'est-à-dire une racine de l'équation

Or la fonction A(^) est holomorphe pour tout point de l'intervalle — t''^ t ^ i', et celui-ci ne saurait donc comprendre qu'un nombre fini de racines de chacune des équations

d'où résulte l'exactitude de la proposition énoncée.

Ce point établi, soit M le maximum de |e~^^A(^)| pour — t^^t"^t\ 2r + (7£0^27c — 2r — (t. Je dis que la partie de V intégrale (17) relative à l'un quelconque des intervalles oit |e~^^A(^) I varie constamment dans le même sens, est numériquement inférieure à -.

1 ^ logr

Soit (a, b) l'un des intervalles en question et soient ^i, ^2? •••5 ^{i.

les multiples successifs de la quantité ,— j- compris entre a et b.

Les parties de l'intégrale (17) correspondant aux sous-intervalles

sont alternativement de signes contraires, tandis que leurs valeurs numériques vont constamment en décroissant [en admettant, pour fixer les idées, que | e^^^A(t) | décroît de a vers b], La somme de toutes ces intégrales sera donc numériquement plus petite et de même signe que la première d'entre elles. Gomme d'ailleurs les parties de l'intégrale (17) relatives aux intervalles (a, ti) et (^1,^2) sont de signes contraires, et que chacune d'elles est numériquement inférieure à la quantité

/* . 9. IVI sin ( tloç^r) dt =^ -,

on arrivera bien à la conclusion voulue.

llG CHAPITRE y.

En somme, l'intégrale (17) sera numériquement inférieure à

; j pour S-f-o-^ô^aTT — 2r — T, et tendra donc uniformé-

logr ^ — ~

ment vers zéro dans cet angle lorsque r croît indéfiniment. Comme la même conclusion s'applique à chacune des trois autres intégrales qui proviennent de l'expression (16), il en résulte qu'on pourra efTectivement déterminer le nombre R de manière que l'inégalité (i5) ait lieu dans les conditions indiquées, et notre démonstration est ainsi achevée dans le cas où a n'est pas entier.

06. Lorsque le nombre cl est un entier, les expressions (8) et (9) ne sont plus valables, de sorte que la démonstration doit être modifiée. Nous nous placerons dans le cas le plus intéressant, à savoir celui où a = o est la plus petite valeur pour laquelle soient vérifiées les conditions énoncées à la page 109.

En appliquant alors la formule (8), avec /w = i, et en faisant tendre a vers zéro, on trouve, par un calcul analogue à celui du n« 29,

et cette formule sera valable pour tout point x intérieur à l'angle (12), ce qu'on démontre en raisonnant comme aux n°* 53-54. Pour plus de symétrie, posons x = e'^^x^^ (^^ = /e'^), et d'autre part s = it, ?(— '^) '=p{t)± iç(0' L'expression ci-dessus deviendra

(18') F(ir) = l(p(o)-i- r P(t,xi)dt-h f q(t,Xi)dt,

avec

Je dis que le dernier terme de l^ expression (18') tend uniformément vers zéro lorsque x tend, soit vers Vinfini, soit vers zéro, en restant intérieur à l'angle (12). En effet, comme

cos(iloga7i) = -(A'+ e-^i') cos(ilogr; (e^»^ — e-^i^) sin(<logr),

on voit d'abord qu'il est possible de choisir le nombre Ûq assez petit pour que l'on ait, par exemple,

f q{t,x^)dt

pour tout point x du domaine (12) (*). D'autre part, pour les mêmes valeurs x^ on a | 84 I^tt — S — <t, et il s'ensuit que le module de l'expression Q(^, x^) décroît plus vite qu'une certaine exponentielle e~^', où 7i>o; par conséquent, on pourra choisir un nombre T tel que

Çl{t,xi)dt

pour tout point x du domaine (12). Enfin, en raisonnant comme au n® 55, on voit qu'il existe un nombre R tel que l'on ait

Cl{t.xx)dt

pour 2r + o'^9^2:r — 2r — t, |logr|>>R. Sous les mêmes conditions, le module du dernier terme de l'expression (18') sera donc inférieur à e, d'où résulte la proposition énoncée.

Cela posé, dans l'égalité (18'), faisons tendre x vers l'origine, en restant dans l'angle (12). Comme F(o) = 'f>(o), on conclut de la proposition ci-dessus que l'intégrale

?(^t,Xi)dt

tendra uniformément vers la limite -ç(o). Or, si l'on remplace x

par - ou, ce qui revient au même, x^ par — , l'intégrale en question changera simplement de signe. Par suite, elle tendra uniformément vers la limite — r?(o)î lorsque x tend vers l'infini dans

(*) La fonction cp(z) étant, par hypothèse, holomorphe à l'origine, l'expression

gr(«)^^[?(«0-?(-tOJ

renferme.^ en facteur, d'où il résulte que Q(<, ^Cj) est holomorphe pour t = o.

l'angle (12), et, en utilisant encore une fois la proposition ci-dessus, on voit donc que, dans le cas où les conditions énoncées à la page T09 sont vérifiées pour a = o, la fonction F(a?) tend uniformément vers zéro lorsque x tend vers l'infini en restant intérieur à C angle (12).

Ce résultat subsiste d'ailleurs dans des conditions plus générales que celles de la page 109. Ainsi il n'est pas nécessaire que la fonction 9(^) soit holomorphe à l'origine; il suffît, par exemple, qu'elle y prenne une valeur finie et déterminée et que, en outre, l'intégrale

ait un sens. En effet, en vertu de la première de ces hypothèses, la formule (18) restera applicable (voir la note de la page 60) et, en vertu de la seconde, il sera possible de satisfaire à l'inégalité (19), qui est la seule où intervienne le caractère de ^(z) à l'origine.

De même, on démontre aisément que le résultat ci-dessus reste valable dans le cas où(f(z) présente sur l'axe imaginaire un nombre fini de points singuliers distincts de l'origine, z^^ ^25 • • -5 tels que le produit (5 — Zy)^(z) tende uniformément vers zéro avec \z — 5v|

et que l'intégrale

I ^(zy-\- it) I dt

ait une valeur finie pour les valeurs réelles de t.

Supposons maintenant que ^{z) possède sur l'axe imaginaire un pôle Zq^ distinct de l'origine. La formule (18) restera encore valable si l'on y modifie le chemin d'intégration, par exemple en remplaçant un petit segment passant par le point Zq par un demi-cercle tournant la convexité vers la gauche^ pourvu que, en même temps, on retranche du second membre le résidu de l'expression

. tp (' 5 ) arz

ITZl *

etniz^ i

relatif au pôle Zq. On démontre facilement que, après cette modification, l'intégrale qui figure dans la formule (18) tendra toujours

uniformément vers ^©(o), lorsque x tendra vers l'infini dans l'angle (12).

Or, si ^0 est un pôle simple de ^{z\ le résidu correspondant de l'expression ci-dessus s'écrit Ax'oy A étant une constante. Dans ce cas, la fonction F(^) restera donc inférieure en valeur absolue aune quantité finie dans le domaine (12), en ne tendant d'ailleurs vers aucune limite fixe lorsque le point x s'éloigne indéfiniment. Si, au contraire, Zq est un pôle d'ordre m >> i, on conclut des remarques précédentes que la fonction F(:r) devient infiniment grande de l'ordre de (loga?)'"~* lorsque x tend vers l'infini en restant dans l'angle (12).

Les résultats que nous venons de démontrer dans ce numéro pour a = o s'étendent immédiatement au cas où a est un entier quelconque.

IL — Applications diverses,

57. Des théorèmes qui précèdent, nous allons tirer d'abord quelques conséquences intéressantes relatives aux fonctions entières. Soit ©(-3 ) = z"^'^^ 0" étant un nombre positif << 2 ; cette fonction est holomorphe pourx^o, sauf à l'origine, mais en ce point, ^{z) prend une valeur finie, à savoir i, et la condition concernant l'intégrale (20) se trouve également vérifiée. D'autre part, en posant z = p^"'', on aura

cp(«) I = eap(4/»lnt];-logpcos4/)

et par suite, dès que p >> i ,

|cp(^)|<e2 pour — ^<4;<^.

On pourra donc appliquer le théorème du n^ 5S en faisant a = o, Sf =: — 9 et l'on en conclut que la fonction entière

tend uniformément vers zéro lorsque x tend vers l'infini, en res-

lao CHAPITRE V.

tant dans Tangle

(2) l-e^6<air e.

Ce résultat étant vrai quelque petits que soient les nombres positifs (T et e, on voit quVV existe des fonctions entières tendant uniformément vers zéro, lorsque x augmente indéfiniment, dans un angle qui est inférieur à itz d* aussi peu qu'on le voudrp,.

Cette remarque est due à M. Mittag-Leffler, qui y a été conduit dans ses recherches sur la fonction ( * )

qu'on déduit de F(^) en faisant cp(^) = r— -• Cette fonction

^(2) est holomorphe dans tout le plan et, en se servant de la formule de Stirling, on trouve facilement que l'inégalité

|(p(a-hpe'4')|<A «"^VP,

OÙ a désigne une constante réelle quelconque et e un nombre

positif arbitrairement petit, est vérifiée pour ^ ^ ^ - dès que p

est supérieur à une certaine limite finie. Le théorème du n** 55 nous permet donc d'affirmer, non seulement que la fonction (3)

tend uniformément vers zéro avec - dans l'angle (2), mais encore

que l'on a, quelque grand que soit l'entier positif A*, la relation

où e(x) jouit de la même propriété. Le second membre de cette égalité nous donne donc le développement asymptotique de la

fonction (3) dans l'angle — <;9<27c

Soit maintenant cp(3) = [log(^ + P)]~^; cette fonction est holo-

{^) Comptes rendus, 1 mars 1908.

morphe pour t^o, si l'on suppose ^ >* i; d'autre part, un calcul élémentaire nous donne

d'où il résulte qu'on a, quelque petit que soit le nombre positif e,

I cp(pc'4') I < ee? pour — 7 ^ <]^ ^ -

dès que p dépasse une certaine limite. Dans le cas présent, les conditions énoncées page 109 sont donc vérifiées pour a =0, 2r:=:o, et nous arrivons ainsi à cette conclusion intéressante que la fonction entière

tend vers zéro lorsque x tend vers l^ infini suivant un rayon quelconque autre que l'axe réel positif (*).

Lorsque p >> 2, les conditions de la page 109 sont vérifiées pour 2» = o et pour une valeur de a comprise entre — 2 et — i . On aura donc

e(^) tendant uniformément vers zéro avec - dans l'angle

quelque petit que soit e, et l'on en conclut immédiatement que, pour P > 2, les arguments des racines de V équation Ep(^) = o tendent vers zéro lorsqu^on s^ éloigne indéfiniment de C origine. On peut rattacher à la fonction (4) une remarque ingénieuse due à M. Mittag-Leffler (2). D'après ce qui précède, l'expression

(*) Cf. une Note de l'auteur insérée dans le Tome XXVII du Bulletin des Sciences mathématiques (août 1908 ). D'autres fonctions du même genre ont été indiquées par MM. Malmquist et Mittag-Leffler ( Comptes rendus, 12 octobre igoS).

(') Comptes rendus, 12 octobre igoS. Voir aussi un Mémoire de M. Mittag- Xeffler qui vient de paraître dans le Tome XXIX des Acta Afathematfcm.

définit une fonction entière tendant vers zéro suivant l'axe réel positif, mais vers l'unité suivant tout autre rayon. En désignant par P' un nombre réel supérieur à l'unité et distinct de p, on arrive donc à cette conclusion curieuse que la fonction entière

tend vers zéro lorsque x tend vers V infini suivant un rayon quelconque.

Ce paradoxe apparent s'explique par cette remarque que la fonction précédente, bien qu'elle converge vers zéro suivant un rayon quelconque, ne converge uniformément vers cette limite dans aucun angle, si petit qu'il soit, qui renferme l'axe réel positif. II n'est guère possible d'imaginer un exemple plus propre à mettre en évidence l'importance de la notion de convergence uniforme.

58. En appliquant à la fonction (i) la formule (8), page ii2, avec m = I , on trouve

tmii

égalité valable pour tout point x intérieur à l'angle

ITT Tiff

Ce résultat subsiste encore pour o- = o, puisque les conditions de la page 109 sont vérifiées pour ^{z) == i , 3r = o, et l'on aura donc

•■'OL — i

*■''■- x^dz

ittiz

dans tout le plan, excepté sur l'axe réel positif. Cela posé, nous allons démontrer la proposition suivante :

Lorsque le paramètre o- tend vers zéro par des valeurs positives, la fonction entière (i) tend uniformément vers dans

tout domaine fini n'ayant aucun point commun avec le seg~ ment i \-qo de l'axe réel.

Ceci ayant évidemment lieu dans toute aire intérieure au cercle

I jî I =r I , il suffira de démontrer la proposition pour un domaine X

n'ayant aucun point commun avec la partie o \-qo de l'axe réel.

A cet effet, fixons d'abord un nombre positif <To tel que le domaine X soit intérieur à l'angle (5) dès que <t<(To] on aura, pour tout pointée du domaine X, et pour o'^o'o,

Or, en posant ^ = a -+- «Y, on peut conclure des calculs du n** 54 que le module de l'expression sous le signe intégral, pour les valeurs considérées de ^ et de o- et pour les valeurs t de module suffisamment grand, reste inférieur à une certaine exponentielle e~^l*l, où 71 >>o. Il est donc possible de trouver un nombre positif t/ tel que les parties de l'intégrale ci-dessus qui correspondent aux valeurs t supérieures à t' ou inférieures à — ^', donnent une somme numériquement inférieure, par exemple, à s, et d'autre part, comme i — z~^^ tend vers zéro avec a*, on pourra assigner un nombre positif tj^Œo tel que la partie restante de l'intégrale en question, celle où / varie entre les limites — t' et i', soit inférieure en valeur absolue à e dès que <t<C<^q- Le module de la différence (6) sera donc inférieur à 2e pour tout point du domaine X dès que o- <; «Iq, et notre proposition se trouve ainsi démontrée. Soit maintenant une série de Taylor quelconque

(7) 2«va?v

ayant un rayon de convergence fini et non nul, et soit A son étoile principale de convergence (*), suivant la terminologie de M. Mittag-Leffler. En s'appuyant sur un théorème fondamental établi par M. Borel (^), on déduit immédiatement de la proposition précédente l'intéressante conséquence que voici :

Lorsque <t tend vers zéro par des valeurs positives, la fonc-

(*) Le domaine A comprend, de chaque rayon vecteur, le segment compris entre l'origine et le premier point singulier de la fonction (7) qu'on rencontre en cheminant suivant ce rayon.

( -) Mémoire sur les séries divergentes, p. 63-64 et i33-i3/| {Annales de l'École Normale, 1899) et Leçons sur les séries divergentes*

ia4 CHAPITRE V.

tion entière 2^v(-^) converge uniformément vers la fonc-

tion définie par la série ^^v^^ dans toute aire finie intérieure

à Vétoile A.

C'est là, nous semble-t-il, l'exemple le plus simple qu'on puisse trouver de ces expressions limites, réalisant le prolongement d'une série de Taylor en dehors de son cercle de convergence, dont MM. Borel, Mittag-Leffler, Pain levé et d'autres ont ces dernières années enrichi l'Analyse. Du reste, cet exemple n'est qu'un cas très particulier d'un théorème général que nous avons démontré ailleurs (*).

59. Supposons maintenant vérifiées les hypothèses suivantes :

I® La fonction ^(z) est uni/orme et ne présente qu'un nombre fini de points singuliers ;

2° Ayant fixé un nombre positif arbitrairement petit s, on peut trouver un autre nombre positif 1^ tel que

|c?(pe'^')| <esp pour p > R.

Le rayon de convergence de la série donnée sera égal à l'unité et, d'après le théorème de la page 109, la fonction F(^) que définit cette série restera holomorphe tant qu'on évitera le segment

I \-co de l'axe réel. Cette branche de la fonction ¥{x) sera

appelée, dans la suite, la branche principale, et sera désignée par

Mais nous allons voir que, dans le cas présent, on pourra étudier la fonction F(^) pour toute valeur de x. Soit, en effet, — n un entier négatif inférieur à la partie réelle de chacun des points singuliers de ^{z). On pourra appliquer la formule (9) (p. 1 12) pour k = n^ à condition de retrancher de son second membre l'expression

(^) Comptes rendus, 29 décembre 1902, et Journal de Mathématiques^ t. IX, 1903.

la somme s'étendant à tous les points singuliers de ^{z) situés à distance finie. Remarquons en passant que <E>(;r) est une fonction entière de logo:, ce qu'on voit immédiatement en exprimant les résidus qui y figurent par des intégrales définies, et en développant ^^^ gsioçx suivant les puissances ascendantes de log^. On trouve donc pour F(x) l'expression suivante :

(8) Fr:p)=-yi^— ^-<ï>(^)- Ç <P{x,z)dz,

OÙ — (71-4- i)<; a-< — /ï, expression qui est valable dans tout le

plan, sauf sur la partie o \- oo de Taxe réel.

Je dis que le dernier terme de cette expression s^évanouit lorsque n croit indéfiniment^ si le point x est situé sur le segment — oo i de l'axe réel. En effet, en posant

a= — ln-\ — )> z = a-i-i7, a? = e^^'r (r>i),

on aura \^voir l'égalité (5), page 1 1 1]

et, par suite, en vertu de l'hypothèse 2® ci- '.Jisus,

\^(x,z)\ < rae-'^l<i + s>/a«-H<«^

e tendant vers zéro lorsque a tend vers — 00. Comme l'on a

v/ôïI^F < /I I a I pour \t\<\ : I

/a* H- ^=8 < /a U I pour 1 q > | a |,

le module du dernier terme de l'expression (8) sera inférieur à la somme

f e-'^^dt -^2r<^ I c-îï'+e «* dt,

dont les deux termes s'évanouissent pour a = — x, dès que r > 1 . Pour n = ccj l'égalité (8) deviendra donc,

en supposant d'abord la variable x réelle et inférieure à — i . Mais, comme l'expression figurant au second membre est holomorphe en dehors du cercle ] a? | = i , elle nous donnera le prolongement de la fonction F(j!:) dans toute cette région, en vertu du principe établi au n° 9. Donc :

Sous les conditions énoncées à la page 124, la fonction ¥{x) est holomorphe en dehors du cercle |j?| = i (^sauf peut-être à V infini).

Menons une coupure suivant l'axe réel de i à + 00. Dans la région extérieure au cercle | ;r | = i et limitée par les deux bords

de cette coupure, la branche F (a?) sera représentée par l'expression (9), où l'argument de x est compris entre o et 211, et la difierence entre la valeur que prend cette branche en un point x situé sur le bord supérieur de la coupure, et sa valeur au point correspondant du bord inférieur, sera égale à

expression qui se réduit à

(10) 2irt r (çp(«))ar-,

la somme X s'étendant aux points singuliers de ©(s) situés à

distance finie .

Les valeurs de l'expression

(11) Fi(a?) = F(ar) -h 27ui f (<p(^)}a?^

sur le bord inférieur de la coupure i h » se confondent donc

avec celles que prend la branche principale F (a:) sur le bord supérieur et, en invoquant toujours le principe établi au n" 9, on

en conclut que Y ^ (x) donne le prolongement de F{x) au delà

de la coupure i h 00, lorsqu^on la traverse de haut en bas.

Si l'on traverse la même coupure de bas en haut, le prolongement de F(:r) est fourni par l'expression

12) F,(a7) = ¥{x) — %i:iS [^{z))x^.

Or l'expression (lo), étant une fonction entière de log;r, admet pour seuls points singuliers l'origine et le point à l'infini, et notre discussion conduit donc au résultat suivant :

Sous les conditions énoncées à la page 124. la fonction F (a?) n'admet pas d'autres singularités que les points i, 00 et o, l'origine étant en général point singulier pour toute branche de la fonction autre que la branche principale. En dehors du cercle | a? |= 1 , cette Jonction est représentée par l'expression (9 ) qui, jointe aux égalités (11) e^(i2), permet d'en poursuivre l'étude pour toutes les valeurs de x (*).

60. Appliquons d'abord ce résultat au cas où ^{z) n'a pas de points singuliers à distance finie. Alors, en vertu de l'hypothèse 2°, f (5) est une fonction entière dont le module croit moins vite que ^*'^', quelque petit que soit e.

Les égalités (i 1) et (12) se réduisent à Fj [x) = F2(.r) = F(^), et la formule (9) devient

d'où il résulte que la fonction F(^) est uniforme dans tout le plan, admet x = i comme seul point singulier et s'annule à l'infini. Donc, d'après le théorème de Laurent, F(^) est une fonction

entière de > sans terme constant (-).

Si, en particulier, o(z) est une fonction paire, l'équation (i3) devient

F(^) = -F(ij+cp(o).

Pour x= e'^, cette égalité s'écrit F(e'®)-+-F(e~'^) = o(o); donc

(^) On a supposé tacitement que f{z) ne devient infini pour aucune valeur entière de z. Mais il est facile de voir comment doivent être modiûés les résultats qui précèdent dans le cas où cette condition n'est pas remplie.

(') Ce résultat important a été établi à peu près simultanément par M. Le Roy (voir p. 348 du Mémoire cité plus haut) et par M. Wigert {Ofversigt af Svenska Vetenskapsakademiens Fôrhandlingar, 1900). Voir aussi un Mémoire de M. Leau {Journal de Mathématiques, 1899).

la partie réelle de F(^) se réduit à la valeur constante - ©(o)

sur la circonférence |j;| = i, si l'on suppose la fonction cp(^) réelle pour les valeurs réelles de 2.

Si ^{z) est impaire, Tégalité (i3) prend la forme

et l'on en conclut, en particulier, que la partie imaginaire de F (a?) s^ annule sur la circonférence | jc | = i .

,61. Soit en second lieu <f{z) une fonction rationnelle, cas où les conditions de la page 124 sont toujours vérifiées, et soit a un pôle de ^{z). Si c'est un pôle simple, la partie correspondante de l'expression ^{x) s'écrit A^^, A étant une constante. Si a est un pôle d'ordre /n>>i, il surviendra des termes en a^^logx, . . ., ^^(log^)'""^ D'après l'égalité (9), on en conclut que, si les pôles de ^{z) ont tous leur partie réelle négative, toute branche de la fonction ¥{x) tend vers z^ro lorsque :r s'éloigne indéfiniment dans une direction quelconque.

Soit, en particulier, <p(^)=^-*, A étant un entier positif, et considérons la fonction

(14) F(:r) = 2?(v)xv=25,

qui a fait l'objet des recherches de Lambert, Legendre, Abel, Kummer et de bien d'autres. On aura encore l'égalité (9), en désignant par <t>{x) le résidu de l'expression

relatif à l'origine. Or, on trouve facilement, à l'aide de la formule (9) (p. 33), quecerésidu estégalà^^^^j^OA(^^^V de sorte

Al ! * \ 2 71 1 /

que l'égalité en question devient

PROLONGEMENT ANALTTIQfFE^ DES SBRTBS DE TAYLOIl. 129

résultat dû à M. Jonquière (•). D'autre part, l'égalité (ii) s'écrit

Ces relations permettent d'étudier F(x) dans tout le plan; pour /r = I , on retrouve les propriétés connues de log(i — œ).

Les résultats du n" 59 restent encore applicables dans bien des cas où 'f{z) est une fonction méromorphe, mais pour cette question nous devons nous borner à renvoj'^er aux Mémoires de M. Mellin, qui en a donné de nombreux exemples.

m. — Nouvelle méthode de prolongement analytique,

62. On arrive à d'autres résultats généraux et dignes d'intérêt en se servant de la formule (IV), page 6i (^). Pour en faciliter l'énoncé, nous admettrons d'abord les hypothèses suivantes :

i" La fonction 'f{z) est holoniorphe pour tout point z^'z-i-it faisant poi^tie du demi-plan t^o;

2° Quelque petit que soit le nom.br e positif z,, on aura

|cp(pe''1')|< esp pour ~-=<^^-»

dès que p dépassera une certaine limite finie.

En posant f{z) = ^{z)x^^ on conclut immédiatement de la seconde h^^pothèse que la condition (A) (p. 07), lorsque x est réel et positif, est vérifiée uniformément pour o£t^/2, quelque grand que soit/i, et, par un calcul identique à celui de la page i25, on démontre que la condition (B) est remplie si l'on suppose o <ix <C.\. Pour ces valeurs de J7, on pourra donc appliquer la formule (IV) avec m = o, ce qui donne

(I) F(^)=lcp(o)-HH(:r)-+-I(^),

(^) Bihang till Svenska Vetenskapsakademiens Handlingar, t. XV, iSSS. (2) Pour cette Section, voir pages 24-36 de notre Mémoire cité au n« 35.

l3o CHAPITRE V.

OÙ

L'étude de la fonction donnée F (a?) est donc ramenée à celle des fonctions H(j?) et I(^).

En posant x = re'^, on a

it I —. ^-8/ I ^-it I = /,ô/

d'après l'hypothèse 2**, le module de l'expression qui dans (2) figure sous le signe intégral croîtra donc moins vite que e~^2ir-i8i-e)f^ quelque petit que soit e, et, en raisonnant comme à la page 1 12, on en déduit ce premier résultat :

L'expression ti(x) définit une fonction analytique de la variable x ^ re^^ qui est holomorphe pour tout point du domaine

Quant à l'expression I(x), nous nous bornerons pour le moment à constater qu'elle définit une fonction holomorphe à l'intérieur du cercle | a:: | = i , en exceptant l'origine. Ceci résulte immédiatement de l'inégalité

qui, en vertu de l'hypothèse 2", subsiste à partir d'une valeur finie de T, quelque petit qu'on se donne le nombre positifs.

La fonction F(a?) est holomorphe pour |^ | < i , puisque, d'après l'hypothèse 2", le rayon de convergence de la série donnée est au moins égal à un. On peut donc conclure de l'égalité (i) que H(:c) est également holomorphe pour | x | <C i , sauf à l'origine qui est pour chacune des fonctions H(.r) et I(x) un point critique, c'està-dire un point singulier autour duquel différentes branches de la onction se permutent.

Désignons maintenant par H(^) la branche de la fonction H(j?) qui est définie par l'intégrale (2) dans le domaine — 'ir<;0<'ï^5 et, de même, par I(^) la branche de I(^) définie par l'intégrale (3)

PROLONGEMENT ANALYTIQUE DES SÉRIES DE TAYLOR. l3l

dans le domaine — t^<C^<C'^', r <C\^ et soient d'autre part H< (a?), li (x) les nouvelles branches de ces mêmes fonctions qu'on obtient en prolongeant H(^), I(x) le long d'une courbe fermée faisant le tour de l'origine dans le sens direct, et restant intérieure au cercle 1^1 = 1. Comme la somme H(^)-f- 1(^) est uniforme dans ce même cercle, d'après l'égalité (i), on aura

ou bien

et il en résulte que, dans le domaine où était défini H(j:), la

branche H| (j;) ne saurait présenter d'autres singularités que celles de la fonction I(^). Cette conclusion s'étend successivement à toutes les branches de H (a:), et, après un moment de réflexion, on arrive ainsi au résultat suivant, qui nous paraît intéressant :

Sous les conditions énoncées page 129, toute branche de la

fonction F(^) peut se mettre sous la forme -0(0) + H(^) plus

ou moins certaines branches de la fonction I(^).

L'étude de la fonction F(a7) revient donc essentiellement à celle de la fonction \{x) et, en particulier, les singularités de F(j:) sont toutes comprises parmi celles des différentes branches del(ûc).

Cette proposition reste encore vraie si Ton remplace la condition 2° par la suivante qui est plus générale :

Quelque petit que soit s, on aura

|<p(pe'4')|<e<'^-^eiP pour —-=4'^-^ '

dès que p dépassera une certaine limite, 3 étant un nombre positif inférieur à tc.

L'intégrale (2) définit dans ce cas une fonction holomorphe dans le domaine |0j<; 27c — S, r>o.

Remarquons encore que la seconde partie de la proposition cidessus reste valable dans le cas où les conditions données sont vérifiées, non pas pour ç(^), mais pour o(/io4- z), n^ étant un entier positif quelconque, pourvu toutefois que ^{z) soit holo-

l32 CIIAPITKH V.

morphe aussi sur le segment o^t^/Io de l'axe réel. On le vérifie immédiatement, en appliquant les résultats précédents à la série

()3. La proposition précédente permet d'étudier complètement la fonction F{x) toutes les fois qu'on sait calculer l'intégrale 1(^7) sous forme finie. Nous en donnerons plus loin des exemples; mais d'abord nous indiquerons un cas assez général où l'on peut poursuivre l'étude de la fonction I(^) et, par suite, celle de la fonction F(j:), pour toutes les valeurs de la variable x. Admettons les hypothèses suivantes :

i" La fonction o{z) est holomorphe dans le demi-plan t^o.

2" U an g le ^0 étant donné aussi grand quon le voudra, on peut trouver un nombre positif 1^ tel que, en posant 2=:pe'4', la fonction ^{z) soit holomorphe pour — '^0=^ = ^0? ? = R {sauf peut-être à r infini),

3" Quelque grand que soit Aq et quelque petit que soit e, on aura, dès que p dépassera une certaine limite,

|cp(pér'>V)| <e£p pour — <^o^ 'J'^ i^o-

Ces conditions portent sur la branche principale de «(2), c'està-dire sur celle qui fournit les coefficients de la série donnée.

Nous allons montrer que, sous les conditions énoncées ci-dessus, la fonction \{x) ne saurait présenter, à distance finie, d'autres points singuliers que l^ origine et le point (/• = !, 8 = 0).

Désignons par \{x^ ^) l'intégrale / o(z)x^dz prise de o à 00

suivant le rayon formant avec l'axe réel positif l'angle d», supposé

compris entre ^^ 7 ' ^'^ posant x = /'e'^, z = p <?'^, on aura

et comme | ^(2) | croît moins vite que e^9 sur le rayon envisagé, en vertu de l'hypothèse 3 ', on en conclut, en raisonnant comme à la page 1 12, que l{x, ^) représente une fonction analytique holomorphe dans le domaine T(A), défini par les inégalités

(4) logrcos^» — 6siin]^<o, /• > o.

PROLONGEMENT ANALYTIQUE DES SÉRIES DE TAYLOR. l33

Je dis que celte fonction donne le prolongement de la fonction I(a:), définie par l'intégrale (3), à Fintérieur du cercle |;r | = i. Pour s'en assurer, on n'aura qu'à reprendre le raisonnement donné page 93 et à observer que l'on a sur l'arc AB, pour x réel et positif,

— R ( CO8'!; lojt £ )

d'où il résulte que, si l'on suppose o <ix <i\^ l'intégrale relative à cet arc s'évanouit lorsque R croît indéfiniment.

Le domaine T(»i) comprend les points intérieurs à la spirale

(5) rsrc^t»"»*.

Pour J^ = o, celle-ci se confond avec la circonférence r = i . A mesure que | A | augmente, le domaine T(^) s'élargit et embrasse,

pour ^ = - , tout point ayant un argument 6 >> o et, pour 'i = »

les points pour lesquels 9 <[ o, d'où le résultat suivant :

La fonction \{x) reste holomorphe de quelque manière qu'on fasse varier le point x^ à condition qiCilne vienne se confondre

ni avec V origine, ni avec un poinl situé sur le segment 00

du rayon d'argument 8 = 0.

Lorsque ! ^ | croît au delà de - > on doit dans l'expression I(;r, i)

modifier le chemin d'intégration de manière à éviter les points singuliers de la fonction ©(2). Pour fixer les idées, convenons de choisir pour ce chemin le contour F qui se compose : i" du segment o R de l'axe réel; 2" de l'arc de la circonférence |.z |= R

compris entre les points 2 = R et s = Re''î'; 3" de la partie du rayon d'argument i^ qui s'étend du point z = Re"V à l'infini. On suppose R choisi de telle son e que ©(2) soit holomorphe à Fintérieur et sur le contour de la région comprise entre l'axe réel positif et le rayon d'argument A, et extérieure au cercle 1 2 |= R. Dans ces conditions, l'expression

\{x^^)^ I ^{z)x^dz

représentera, pour toute valeur donnée de A, une fonction analytique de X qui est holomorphe dans le domaine T(tj^), défini par (4),

l34 CHAPITRE V.

et cette fonction donnera constamment le prolongement de la fonction I(^). En effet, si les valeurs ^' et i/' sont suffisamment rapprochées, les domaines T(d(') et T('y) auront une portion commune, et pour tout point x intérieur a cette portion les expressions 1(^, if') et I(j7, 'Y) prendront des valeurs égales, ce qu'on démontre en raisonnant comme page 93. En intercalant entre o et <]/ une suite de valeurs suffisamment rapprochées et en comparant entre elles deux à deux les expressions \{x^ i) correspondant à ces valeurs, on arrivera donc au résultat annoncé.

Quant au domaine T( A), sa forme se modifie sans cesse lorsque A

varie. Ainsi, lorsque : ^C'i^T-' de sorte que cos'^<<o, ce

domaine comprend la portion du plan qui est extérieure à la spirale (5), et, en particulier, pour 'i^Tc, la portion extérieure à la

circonférence | j? | = i . Pour 'i = — ^, T('}) se réduit au domaine

6 <[ o; pour — <C '} <[ — * ce sera de nouveau la portion du plan

intérieure à la spirale (5), laquelle, pour 'i = air, se confond avec la circonférence |:c | = 1; et ainsi de suite. Pour les valeurs négatives de ^, les choses se passent d'une manière analogue.

Cette discussion, qui deviendrait plus claire à l'inspection d'une figure, conduit à la conclusion suivante : partant par exemple d'un point situé sur le segment o — i du rayon d'argument 8 = 0, faisons décrire à la variable J7, d'un mouvement uniforme, une courbe S qui ne passe ni par l'origine, ni par le point (r = i, = o), et qui aboutisse à un point quelconque x^ distinct de ces deux points; on pourra prescrire à l'angle A une variation continue, telle que le point j:, en décrivant la courbe S, soit à chaque instant intérieur au domaine T('i) et que, par suite, l'expression \{x^ 'j») soit holomorphe en ce point. Gomme I(^, i) donne le prolongement de I(^), d'après ce qui a été dit plus haut, il en résulte que la fonction l(^) est holomorphe en tout point de S et, en particulier, au point x,, et comme celui-ci était un point quelconque distinct des points j7=:oet(r=i,9 = o), la proposition énoncée au début de ce numéro se trouve donc démontrée.

En se reportant maintenant à la proposition démontrée page i3 1 , on arrive à l'intéressant résultat que voici :

Si les conditions énoncées page 182 sont vérifiées, la fonc-

PROLONGEMENT ANALYTIQUE DES SÉRIES DE TAYLOR. l35

tion F(j") ne saurait admettre d^ autres points singuliers que i^QO et o [(^origine étant en général point singulier pour toute branche de F(a?) autre que la branche principale^.

Pour que ce résultat soit applicable, il suffit d'ailleurs que les conditions dont il s'agit soient vérifiées pour 'f (/lo-h^)? ^^o étant un entier positif quelconque.

6i. Nous indiquerons en quelques mots une généralisation du résultat qui précède. En conservant les deux premières conditions du n® 63, convenons de remplacer la troisième par la suivante qui est plus générale :

Quelque grand que soit io et quelque petit que soit £, on aura, à partir (Tune certaine valeur de p,

l^Cpe'^V)! <e<'^+e^P pour — 'po^'^^K 3 désignant un nombre positif inférieur à tt.

.\ chaque valeur donnée 'i^ on pourra évidemment faire correspondre uh nombre réel K(d»), inférieur à 3 et tel que, p tendant vers l'infini, le produit

tende vers zéro ou non, suivant que e>>o ou £<[o. En raisonnant comme au numéro précédent, on en conclut que l'expression I(^, Y) représente une fonction holomorphe de x dans le domaine

(6) log/'cost}; — 6sin<j; -+- Kf'}/) < o, r > o,

et que cette fonction donne le prolongement de l(^); le théorème de la page i3i nous permet donc d'énoncer le résultat suivant, qui révèle un rapport intéressant entre les points singuliers de F(a:)et les propriétés asympto tiques de 'f (:?) :

Si les conditions énoncées ci-dessus sont vérifiées, les seuls points singuliers que puisse présenter¥{x) à distance finie, en dehors de l'origine, sont les points x ^ re'^^ qui restent extérieurs au domaine (6) quel que soit ^.

Gomme K(^]/)<c3, les points en question vérifieront à plus forte

l36 CHAPITRE V.

raison la condihon logrcos'j» — ôsin^L -|- 2r> o, quel que soit ^, d'où cette autre conclusion :

Sous fes conditions admises ci^dessus, les points singuliers de la fonction F(:r), autres que V origine et le point à Cinjini, sont tous compris à V intérieur de la courbe fermée

enveloppe des spirales logrcostj^ — 9 sin^ -|- 3r = o correspondant aux différentes valeurs de V angle i^.

Pour 3r= o, la courbe en question se réduit au seul point J7= i , de sorte que l'on retrouve le théorème du n" 63.

60. Reprenons les hypothèses du n" 63 et les notations du n** 62 ; on aura à l'intérieur du cercle I .r I = i

et d'autre part, en désignant, comme à la page 126, par ¥^{x) la

branche de la fonction F (a?) qu'on obtient en prolongeant F(j7) le long d'un chemin faisant le tour du point ^ = 1 dans le sens rétrogradcy il résulte des considérations des pages i33-i34 qu'on aura dans le même cercle

le contour V étant composé : i" du segment o R de l'axe réel;

2" de la circonférence Cr de centre o et de rayon R (parcourue

dans le sens direct) ; 3" du segment R 00 de l'axe réel. Quant

au nombre R, on doit le choisir assez grand pour que la branche principale de cp(2) soit holomorphe pour o^'j»^2 7t, p^R, ce qui est possible en vertu des hypothèses du n" 63.

Les égalités précédentes mettent en évidence certains cas généraux où l'on pourra trouver pour la différence F< i^x) — F(j7) une expression valable dans tout le plan.

PROLONGEMENT ANALYTIQUE DES SÉRIES DE TAYLOR. l^J

uniforme et holomorphe en dehors de Cr et sur cette circonférence, d'où l'on déduit

F,(a7) — F(a7) = f x^^(z)dz.

Or, d'après le théorème de Laurent, la fonction o{z) sera représentée pour 1^1^ R par un développement de la forme

-f-ao

qui reste uniformément convergent sur Cr, et en le substituant dans l'égalité précédente, on aura

Le second membre est une fonction entière de log^. On peut ainsi étudier la fonction F (a:) dans tout le plan.

(P). La fonction cp(z) est uni/orme dans tout le plan et ne présente qu* an nombre fini de points singuliers. — Dans ce cas, on retrouve un résultat établi au n® 59 :

F|(a7)— F(ar) = aire / (<p(3))a7*.

y), ç(^) = logR(^), R(2) étant une fonction rationnelle. — Soient «1, a2, . . ., a» les affixes des zéros et des pôles de la fonction H(2)) situés à distance finie, et soient [jli, [1.2, ..., ^-n leurs ordres respectifs [[jlv étant un entier positif ou négatif suivant que le point «v est pour R(2) un zéro ou un pôle]. Par une déformation continue, on pourra ramener le contour T' défini plus haut à une suite de lacets, partant de l'origine et renfermant chacun un

seul point a, plus le segment o h 00 de l'axe réel. On trouve

ainsi, par un calcul facile que nous devons laisser au lecteur.

?,(^x)-V(x)=-~^^ (.va^v,

l38 CHAPITRE V.

égalité qui met en évidence le caractère des différentes branches de la fonction donnée.

66. En terminant, appliquons les considérations qui précèdent à un exemple assez important. Faisons cp(s) = z~^ et supposons la partie réelle de s négative; o{z) s'annulera à l'origine, et la fonction F(:r) s'écrira

Les conditions du n** 63 sont vérifiées, sauf que la fonction ^(z) n'est pas holomorphe à l'origine. Mais, comme elle y prend une valeur finie et déterminée, les résultats précédents seront encore valables, comme on le voit en appliquant la formule (V) de la page 6i avec m = i , et en tenant compte de la note de la page 6o.

Dans le cas présent, l'intégrale l{x) se calcule sous forme finie :

x'^z-^dz = r(i — *)Mog - j >

et l'expression ti(x) s'écrit :

¥{(x) = — 'i I t-'^ s\n ( t \osx ) -Tir:

de sorte que l'égalité (i) nous donne

On vérifie aisément sur cet exemple les résultats du n° 63. En particulier, les seuls points singuliers de I(^) sont l'origine, le point à l'infini et le point (r = i, 8 = o). Donc aussi, d'après la page i3i, F(x^s) n'admet pas d'autres points singuliers que i^Qoet o. D'ailleurs l'origine est effectivement point singulier pour toute branche de F(jc, s) autre que la branche principale.

D'autre part, on constate aisément que toute branche de Y[x^s) tend vers zéro lorsqu'on s'éloigne indéfiniment de l^origine, dans une direction déterminée quelconque {cf. le n° 55).

La fonction H (a?) étant holomorphe au point x = i^ on peut la développer en série convergente suivant les puissances ascendantes

de loga?. Les coefficients de ce développement, qui se présentent d'abord sous forme d'intégrales définies, peuvent s'exprimer simplement à l'aide de la fonction Ç(*), en vertu de l'égalité (8) de la page 104. On trouve ainsi (*)

(7) F(x,s) = T(i-s)(\og^y *+2Ç(*~

v)il2I£)!

Quel est le domaine de convergence de ce développement? On pourrait évidemment le déduire des propriétés de la fonction ^(5), mais nous préférons nous servir de nos résultats généraux. Les points singuliers de H(j?) sont l'origine et le point à l'infini, ainsi que le point x = i lorsqu'on y arrive après avoir fait le tour de l'origine, c'est-à-dire avec un argument 6 qui est un multiple entier positif ou négatif de 27:. La plus petite valeur du module I log^r I correspondant à un point singulier de H(^) ou de log^, est donc précisément égale à 271, et il en résulte que le développement (7) reste convergent tant que | logJ7 1 <C 2tc, condition qui est vérifiée dans le domaine limité par les deux courbes r = ^A^»-^' et /■ = ^-A^'-O».

On aura un développement analogue de l'expression H(a.), avec le même domaine de convergence, toutes les fois que sont vérifiées les conditions du n^ 62.

Nous avons supposé jusqu'ici la partie réelle de s négative, mais il est facile de lever cette restriction. En effet, en se servant d'un artifice bien connu dû à Riemann, on arrive à cette nouvelle expression de H(^) :

-, , -2 /* . / , i:s\ dt

le contour C se composant, par exemple, des parties suivantes : i*' le segment 00 k de l'axe réel (o<^k<Ci); 2" la circonférence I ^ I = A", parcourue dans le sens direct; 3** le segment A* 00,

de l'axe réel. Cette expression est valable pour toutes les valeurs de 5, sauf les valeurs entières, et l'on en conclut que, sous les

(') Ce résultat peut se déduire aussi d'une formule générale très remarquable établie par M. Mellin {Acta Soc. Scient. Fenn., t. XXIV, n<» 10, p. 39-42 et t. XXIX, n» 4, p. 42-44).

l40 OHAPITRIi: V.

mêmes conditions, la fonction H(^) est holomorphe dans le domaine — 2tc < 6 <C aie, r > o. Donc^ dans tous les cas, i , oo et o seront les seuls points singaliers de F(Xj s). D'autre part, l'expression ci-dessus peut évidemment se développer en série convergente suivant les puissances ascendantes de loga?, et comme les coefficients de cette série sont des fonctions analytiques de s et qu'ils doivent coïncider avec les coefficients correspondants du développement (7) lorsque la partie réelle de s est négative, il en résulte que ce dernier développement reste valable pour toutes les valeurs de 5, sauf les valeurs entières et positives.

Substituons maintenant dans la formule (7) 5:=Âr-l-6, k étant un entier positif supérieur à l'unité. On déduit facilement des propriétés connues de F (a?) :

r(i — s)^T(i — k — e) = h Ao -h A, 6-1-...,

avec

C étant la constante d'Euler, et d'autre part on a, d'après la page io4,

En faisant tendre e vers zéro, on trouvera donc pour la fonction (i4) (p. 128) ce nouveau développement (*)

y ^v (log^)^-i / , ^ ! ,^^ io„ 1\

où l'accent affectant la dernière somme signifie que la valeur V = A* — I est exclue. Les coefficients de ce développement, qui converge pour | logj? | <1 ait, se simplifient d'ailleurs, grâce aux relations (6) (p. 33) et (9) (p. io5).

(*) Ce développement peut se déduire aussi des résultats obtenus par Kummer {Journal de Crelle, t. 21; voir en particulier p. ^o),

PItOJLONGKMENT ANALYTiQUK DBS êàiUES BK TAVUm, l4l

A la fonction F(jr, s) se rattachent d'autres fonctions intéressantes, par exemple

\ sin(logv)^"^ et ^(logv)^^,

dont la première a été considérée par M. Hadamard dans sa Thèse. Notre méthode permettrait de même d'étudier complètement la fonction plus générale

Mais nous devons laisser au lecteur à développer ces applications et bien d'autres qui se déduisent facilement de nos considérations générales.