PAR UN DÉVELOPPEMENT DE TAYLOR

I. — Deux théorèmes généraux, 52. Étant donnée une série de Taylor de la forme

(i) F(ir) = cp(o)H-<p(i)a:-f-. . .-h ©(v) 37^-+-. . .,

OÙ © est une fonction analytique de son argument, on peut se proposer à^ étudier les propriétés de la fonction F(j7), connaissant celles de la fonction cp.

Nous donnerons dans ce Chapitre un exposé succinct de certains résultats généraux et riches en conséquences relatifs à cette question, en y ajoutant d'ailleurs quelques applications nouvelles. Le peu d'espace dont nous disposons nous obligera cependant à laisser de côté bien des recherches intéressantes, pour lesquelles nous renverrons aux Mémoires originaux.

Pour la bibliographie, on consultera le beau petit livre de M. Hadamard, La série de Taylor et son prolongement analytique (Scientia), Nous nous bornerons à citer ici, comme ayant un rapport direct au problème qui nous occupe, les remarquables travaux de M. Mellin (*), le grand Mémoire de M. Le Roy, Sur les séries divergentes et les fonctions définies par un déve-

(^) Voici les titres des Mémoires de M. Mellin ayant rapport au sujet qui nous occupe :

Ueber die fundamentale Wichtigkeit des Satzes von Cauchy fur die Théo-

loppement de Taylo'r (^), notre Mémoire cité au n° 35, et une Note récente de M. Walter-B. Ford {^).

53. Nous commençons par démontrer le théorème suivant, établi par M. Le Roy, sous une forme moins générale, mais ayant une connexion étroite avec les résultats obtenus antérieurement par M. Mellin :

Soit une fonction analytique o(z) de la variable z ^^'z -\- it qui vérifie les deux conditions suivantes :

I** ©(^) est holomorphe dans un certain demi-plan T^a; 2® Il existe un nombre 2r inférieur à izet tel que, e désignant un nombre positif aussi petit qu'on voudra, on ait

IcpCa-f-pe'^^Ke'-^+e'P pour —-^^^'!1,

dès que p dépassera une certaine limite finie {^),

Dans ces conditions, on peut affirmer que la fonction F(^) de la variable X'=:r e^^ qui est définie par la série ( r), est holomorphe pour tout point x intérieur à V angle

En particulier, si la condition 2° est remplie pour 2r= o, la fonction ¥ (^x) sera holomorphe dans tout le plan, sauf peutêtre sur le segment i \-co de l'axe réel.

Pour démontrer ce théorème, nous pourrions nous servir des

rien der Gamma- und der hypergeometrischen Functionen {Acta Societatis Scientiarum Fennicce, t. XX, n» 12, 1895);

Zur Théorie zweier allgemeinen Klassen bestimmter Intégrale ( ibid., t. XXII, n» 2, 1896 ) ;

Ueber eine Verallgemeinerun g der Biemann'schen Funktion ^{s) {ibid, t. XXIV, n<^ 10, 1899);

Eine Formel fUr den Logarithm.us transcendenter Funktionen von endlichem Geschlecht {ibid, y t. XXIX, n« 4, 1900).

Die DirichleVschen Reihen, die Zahlentheoretischen Funktionen und die uaendlichen Produkte von endlichem Geschlecht {ibid,, t. XXXI, n" 2, 1902).

Voir aussi Acta Mathem.atica, Tomes XXV et XXVIII.

(*) Annales delà Faculté des Sciences de Toulouse, 2« série, l. II, 1900.

(^) Journal de Mathématiques, 1903.

(^) Il résulte de cette hypothèse que le rayon de convergence de la série (i) eit au moins égal ù e— •^.

I lO CHAPITRK V.

formules établies au Chapitre III, mais nous préférons reprendre la question dès le début par une méthode légèrement modifiée.

Observons d'abord que, si les conditions ci-dessus sont vérifiées pour une valeur donnée de a, elles le seront également pour toute valeur a supérieure à la première. On peut donc supposer que a n'est pas entier et écrire m — i <; a < /n, m étant un entier.

Cela posé, le théorème général des résidus nous donne

(3) ^^{>*)x'^=J^{x,z)dz,

en désignant par S le contour qui se compose de la moitié Cr du

cercle \z — a[ = R^/iH a comprise dans le demi-plan t > a

et du diamètre de Cr, et en posant

Nous allons voir que, pour les valeurs x situées sur un certain

segment — r^ o de l'axe réel négatif, l'intégrale relative au

demi-cercle Cr s'annule lorsqu'on fait tendre n et, par suite, R vers l'infini. En efl*et, en posant

on aura

Or la condition 2** donne, à partir d'une certaine valeur de R,

|cp(a-+- Re"V)r2| <rae \V ^ ;^

et, d'autre part, on aura sur Cr {^voir la note de la page 82)

< k' pour I ip I ^ - ,