BA
le de l'argument mi lequel on U Stant déterminé ]
^gone spbérique
XY + YA— o
e manière conti iiit de départ, c'( termes de l'équa !S ternions, leur
néme. Si les ve
'gument étant n
50 CALCUL VECTORIEL
l'argument devient nul, et le terme ito parait de l'équation linéaire, ou ne fa l'équation par le facteur +1, de sorte pairs ramènent sur la sphère au point multiples impairs ne font que changer li des verseurs sans en changer la valeur, et appelle un fuseau ; mais îe contour ne ] moins que l'équation (34) ne présente autrement pour fermer le contour, il ù nouvel arc d'une demi circonférence, i dans l'autre, suivant le signe du ternioii arbitraire tant qu'il n'est pas exprimé »
la somme versorielle.
Les termes de l'addition versorielle ou s; posés de deux facteurs, et comme le cht d'un allument équivaut à un changemei nion-unité et vice-versa,il en résulte que I ne change pas quand on change à la fois celui de son ternion-unité, comme on pei teraent sur la sphère. On peut toujours rect de la rotation, pourvu qu'on le coi cours du raisonnement ou des transforra
On peut choisir le sens sinistrorsum o sum. Ce dernier, qui est aussi le sens hc est le plus usité .
On a donné la règle de l'addition v sphérique, sous cette forme : o Si dans i
facteurs sont AB, et CB, en grandeur e prend le produit des verseurs de telle tlplicande ait la même origine que le ^ que le multiplicateur ait la même extrên produit. »
Mais on voit facilement qu'il suffit dt
CALCUL VECTORIEL
l'ordre et du sigûe des termes dans la sommation des et que la règle algébrique est applicable directement et ambiguité à tout contour polygonal sphériqne.
28. Ordre des facteurs. — Des verseurs, quoique a des arguments égaux numériquement, ne sont pas pour des verseurs égaux, et il faut de plus qu'ils aient le n ternion unité, c'est-à-dire qu'ils appartiennent à une n circonférence de la sphère-unité.
Théorème, « Quand on intervertit l'ordre des ter â^une addition versorielle on change la forme du î gone sphérigue bien que le polygone sphérique i toujours continu et fermé, ou que l'équation versor soit satisfaite. »
En effet, à chaque permutation non circulaire répont polygone sphérique difTérent, absolument comme l'avons vu pour un polygone rectiligne dans l'espace, < conséquences sont les mêmes. Toutefois, il faut obs( que les segments coiijugés d'une droite vont à l'ii tandis que sur la splière leur période est finie et ui comprend toujours son supplément circulaire. C'est j quoi la sommation sphérique de deux verseurs dépend fois de l'ordre des facteurs et du signe de l'argument.
En effet, le triangle ABC n'est pas le seul que puisse former par l'intersection de trois circonférence cercle, et à chaque permutation dos termes et du sign ces termes répond un triangle défini sur la splière, t huit permutations que l'on peut faire sur l'équation v( .rielle à trois termes donuerontles positions des huittria sphérique», qui sont toutes distinctes, ce qui est le cara du calcul vectoriel.
L'on sait d'ailleurs que dans l'équation Jiuj+JjiJï+Jai les valeurs des arguments lu ne sont pas arbitraire »lles des J, qui déterminent les angles dièdres <
52 CALCCL VECTORIBL
qu'ils doivent satisfaire aux conditions connues des pyramides, savoir :
j (Ul -}- (O, + (02 < 2 T, tUl + (01 > <0 S,
L'on sait qu'un triangle spliérique a pour mesure de surfiice l'excès de la somme de ses arguments sur la demi circonférence ou
S = (uii -)- "^ ■+■ ""s — 't) • De même la surface d'un contour polygonal sphérique a pour mesure la somme de ses arguments, moins le produit de ir par le nombre (n-2)des côtés du polygone.
S ^ S.U — it (n-2], où l'on a 4tt pour la surface totale de la sphère-unilé .
Ces derniers théorèmes appartiennent à la Géométrie Euclidienne ou du Uni ; ce qui est particulier au calcul vectoriel, c'est la multiplicité des contours produits par la permutation des termes, de telle sorte qu'à chaque permutation appartient un contour ou un trajet défini. Détermination qui ne pouvait avoir lieu sans la notion vectorielle.
I IV. — La fonction exponentielle linéaire
29. Son expression en qualernion. — La fonction exponentielle linéaire n'est pas autre chose que la fonction vectorielle directe, comme le logarithme est la fonction circulaire inverse, De sorte que le calcul vectoriel n'est autre chose que le développement du calcul des exponentielles.
En effet, il y a, comme nous l'apprend la trigonométrie une liaison intime entre la fonction exponentielle et les fonctions
CALCUL VECTORIEL 53
cette relation est précisément celle de oaire. De telle sorte qu'une fonction d'une variable teniion, exprime une que ou une telle relation algébrique étriqués, et réciproquement une foncivariable angulaire imaginaire exprime tielle à variable linéaire et réelle, ou e de telles exponentielles, e exponentielle linéaire d'un quaterileute à un quaternion
e' [cos b + f sin b),
1 quaternion et b l'argument du vernt s'appeler l'argument du module : a , et b un logarithme imaginaire, et su dire que a est une quantité anguune quantité angulaire réelle, ou simie l'exponentielle népérienne.
quaternion, c'est-à-dire, un vecteur 3 par une exponentielle népérienne ;hme réel est l'argument modulaire, ginaire est l'argument verseur. En
algébriques.
= e' "*" " = R (cos b + i sin b)
bi = log (cos b + i sin b).
— B, il suffit de changer ô en — b, ;nt«r l'azimut du verseur de ir. Or, de
jîn b, e' — cos (ai) -|- i sin (ai), une manière générale cos (zi] + i sin [zi), )a quelconque z — a + bi et ï, une
54 CALCUL VECTORIEL
valeur arbitraire de l'uiiîté imaginaire V — 1. Car nous pouvons écrire l'expression précédente en développant le second membre sous la forme
e — î cos (ai) + i sin (ai) Sj cos (b) -{- isin {\i]\. Ainsi, par exemple, on a les formules connues
l e r= cos b + i sin b, 1 cos b = -
) d'où <
[ e = cos b — t sin b, M sin b :
Si nous changeons b en bi, on aura
1 e = cos (bi) -|- i sin (bi), j cos (bi) =
[ e- = cos (bi] — i sin (bi), / i sin (bi) =
Les premières /onctions étant appelées circulaires, les secondes sont dites iiyperboliques. C'est en effet l'hyperbole qui est la figure corrélative qui répond à t'imaginarité du cercle, et réciproquement. Les courbes conjuguées sont à angle droit l'une sur l'autre. Comme le ternion-unité i peut prendre une infinité de directions pour un cercle donné, il y aura une infinité d'hyperboles qui forment un hyperboloïde de révolution à une nappe et pour une position donnée d'une hyperbole, il y aura réciproquement une infinité de cercles qui forment la sphère conjuguée des hyperboloïdes.
30. Sa périodicité circulaire. — La fonction exponentielle linéaire, qu'elle soit scalar, tcrnion ou quaternlon a une période 2ftnC, h étant un nombre entier positif ou négntit et (une valeur quelconque de l'unité imaginaire v — 1
tLGUL VECTORIEL
iKve les fonctions trigonon»
lie Sftw quelque soit l'entier j laire, c'est-à-dire que l'on a
e^, ces (z + 2 ft ît) = ces z.
à multiplier l'exponentielle ] unité réelle
3*''*' = cos(2A;x),
nent d'un nombre quelconque 1 qui ramène toujours au mên re, ou au même axe scalar
nielle n'a pas d'autre période q les fonctions trigonométriqu< la circonférence d'un grand ■ est uniforme, c'est-à-dire qi le z dans un champ répond ui !(=e*, mais comme cette fonc i inverse z— log u a une infl Eirithmétiquc répondant à une xponentielle. Pour représent»
13 considérer une direction i 1 de la valeur de l'unité imaj plans parallèles au plan ver obtiendra les points correspon' Ml = e"de la fonction expon [M)rrespondants dans chaque I ordonnée Ai, en supposant Zi ■ <i z décrit un trajet quelconqi wnsécutifs, la fonction peut ] ibies entre <» et + « , et ne ] leurs dans chaque tranche, correspondant décrit le mém
Uir:
56 CALCUL VEGTORŒL
répété dans chaque tranche, et diffhve d'un autre par un multiple de 2'kî, i restant constant, et l'on a généralement
log u = z + 2izki.
Nous avons considéré la périodicité planaire, en supposant la valeur î constante ; nous pouvons maintenant considérer la périodicité sphérique en laissant k constant et en décrivant des sphères concentriques dont les rayons croissent en progression arithmétique. On obtiendra les points correspondants à une valeur particulière de «i =:: e^* de la fonction exponentielle, en prenant pour un trajet quelconque compris entre les deux couches sphériques consécutives les points correspondants sur un même rayon, les trajets se trouveront sur une spirale logarithmique.
31. Multiplicité de la fonction logarithme. — Les logarithmes des quantités réelles et imaginaires ayant une suite des valeurs périodiques en nombre infini, il en résulte que même en ne considérant que les vecteurs quadrants principaux, le produit des facteurs d'une même quantité peut avoir plusieurs valeurs différentes, attendu que l'on peut prendre pour chaque facteur ayant même module
des valeurs différentes de Taxe ternion s/— 1. C'est ainsi que le logarithme de aa, diffère généralement de celui de a^. En
effet, puisque Ton a loga = loga -{- 2 Jnzi, on aura généralement
log aa =: 2 logT+ 2 tt (W -f ki)
On voit que la valeur est réelle si Ton dihi -\-k' i' = o, c'està-dire i-\- f =z oeth =^ h\ ou si les ternions des facteurs sont conjugués et parallèles.
