Logarithmes de Vunité, — Si dans la formule
u=ze , ou z = a -^ b if nous faisons a = o, ce
ÏALCOL VECTORIEL
du quatornion & ]
alors
- cos ô 4- ï sin 6 .
b — 2ftït, A étant
tus aurons, puisqt
''' et lof 1 — 2kK\ ter cette quantité à multiplier une e I parle facteur 1. 1
^{2ft + l}7r,2;
ou Dégutir, 011 a c( , et par suite
'"'.lOR-I^ia er cette quantité
à introduire l'un aleniion, ce qui ïur, et l'on a génér -(2k + l|>ri ^^
naintenant b ~^^— itier positif ou né
''^'"■\log±v'=
ant quelconque, p embres ,
is les expressions ; pales de l'unité, i drants d'une pério
56 CALCUL VECTORIEL
laquelle duqae terme se dédait du précédent le multipliant
par V— î — « î . comme nous l'avons vu dans les prélimioaires.
33. Puissattce vectorielle. — Considérons maintenant l'expression
Q^iA + BiT"^" Nous supposons ici que la valeur du temion unité i est la même dans la base et dans l'exposant, c'est-à-dire que A + B i et m -f H i ont des plans verseurs parallèles. Par suite A et m sontdes coordonnées parallèlesà un même plan, et B et n sont des directions parallèles entre elles.
Si nous supposons de plus que metn soient des nombres rationnels, la formule du bindme sera applicable dans sa forme habituelle et la formule de Moivre donnera, en mettant l'expression précédente sous la formule exponentielle,
m + m (» + W) (m + Dl)
Q = I r [ cos -|- i sin b) I = e
Un. - I») + 1 (•■ + lœ)
= e Si nous posons s = am — b n, t — an -\- b m, nous pourons écrire
Q = e' ■*" " = R (cos t + t sin t).
II en résulte que l'argument modulaire fournit un argument verseur et que l'argument verseur fournit un argument modulaire.
Si nous désignons par k l'argument de la période de b, et parft' celui de la période de «, et enfin parfti celui delà période de t, noua aurons les deux équations [ s = am — (b + 2 ft tt) (n + 2 ft' it) î t = a [n + 2 /c' 7t) + m (b + 2 fc ic) + 2 ft, lE. L'élimination de It et de k' entre ces deux équations conduira
Ci TBOTORIBt
egré dont on trouvei plexes). Si nous su| ! ou de m-\-nt est di usions kl = 0, nous ' Honel.
les valeurs de l'unitt base et dans l'exposa Q et 9 sont des quatc ïérents.est en génén sant à des fonctions [sin X) est un cas pi occuper dans un tr lilleurs peu connue.
cas particulier où li is de plus B — 1 et
ithmes, nous trouver
^ V/^ log v/=î =
ances successives de
■circulaire-unité v'—
60 CALCUL VECTORIEL
jouissent de la propriété de se réduire toutes soit à la quan-
tité V — 1 = e " F , ou y — 1 = e - «
suivant que le nombre des facteurs est pair ou impair, et la série est périodique. Nous trouvons de même que les puis-
sances entières de la fonction principale s/— 1 riodiques, et Ton a
sl~i
sont pé-
1) :=:Qr =— V —
ce qui montre la singulière propriété de cette fonction transcendcnte de pouvoir échanger la base en exposant et réciproquement dans Texponentielle y—ï .
CHj
$ 1. — Verseurt
35. Systèmes de v avons donné dans le oh nées à familiariser le lec avons maintenant à ab priétis algébriques. ( drants ou de l'unité im riel, nous devons comr vn qu'un versenr-quadi déltoie de l'unité imagii prime par un ternioD-i seur ; réciproquement seur un arc de 90% qu Autrement dit : ec L'u réelle un arc de 90* c Mon. »
Nous avons vu qu'ur unité, s'exprime par ui
Considérons deux sys tivement perpendiculai:
par{i,j, ft)et(I, J, K d'eux comme la résuit
62 CALCUL VECTOMBL
orthogonales relatives aux directions ooord système (W 23).
Nous aurons ainsi un système simulti vectorielles linéaires ternions, savoir :
la
/ l = ia -j-ja' + ha", f i —
(1) I J^«* +>&'+ ft6", i2) \j~
\K—ic-\-jc' +hc";
Les (û'i 6', c') ne sont autre chose que ass^ent la position relative des deux sys taires. La correspondance sera donnée pai vant :
a" i a— co8( II], a'=cos( (a) J h \b' \b" (b) \6=c03[Jïj, ft'=cos(,
c" \ C— C0S{KÏJ, c' =008(1
Nous avons par la trigonométrie : l" Si briques qui proviennent de la condition de des directions (l, J, K) entre elles :
6» + 6'» | ft"* = 1, (4) ca + c'a' c* + c'* + c"* = 1 ; ( a6 + o'ô'
2' Six autres relations inverses, qui pi même manière de la condition de perpendic lions (t, j, h] entre elles :
!a'a" + b' a"a + b' aa' -\- b
3* Neuf relations binâmes, qui sont les c neurs dn déterminant (ab'd') =1, qui es
CALCUL VECTORIEL 63 -
&'(;"— 6V, b =c'a" — e^'c', c =a'b"—a"l>', b"c — 6c", b' = c"a — ca", c'=a"b — ab" bc' —b'c; b"=ca' —c'a; c"=ab' -~a'b.
i y joignons la propriété fondamentale de toutes le l'unité imaginaire, savoir :
isen déduire immédiatement toutes les propriétés des ternions-unité rectangulaires quelconque?.
lement, si l'on connaissait d'antre part les rela-
Iques des ternions-unité trirectaDgulaïres, on les relations algébriques qui lieot entre eux les
ème I, — «Le produit de deux ternions-unilé ires entre eiiœ change de signe sans changer ftiand on intervertît l'ordre des fdcteurs. » oontrer, multiplions par elle-même chacune des néaires vectorielles (1), eu observant l'ordre des st-à-dire, en écrivant toujours le multiplicateur lu multiplicande. En ayant égard -aux relations ■estera des équations dont la première sera E) aa- + [ki + ik) a"a + ijk + S/) a'a" = o.
es valeurs a, a', a" sont arbitraires, il faut que i^ément
-ji = o, hi + ik=o, jh + ttj — o.
it de la même manière sur les deux autres équais obtiendrons les mêmes relations (10) ; ce sont lies relations de cette espèce. Enfin, en opérant ec le système (2) nous trouverons également JI := o, Kl + IK = o, JK + KJ = o, la même ^pèce, et comme ce dernier système a I arbitraire par rapport au premier, on en cou-
64 CALCUL VECTORIEL
dut que le théorème a lien pour toutes l«s valeurs de deuï ternioti3-unité rectangulaires entre eux.
Pour plus de clarelé, décomposons ce théorème en deux parties : 1° on ne peut intervertir l'ordre des deux facteurs sans cbangep la valeur du résultat ; 2° ce changement ne produit qu'ua changement désigne dans la valeur de ce résultat.
Supposons que nous puissions avoir, comme avec les quantités réelles
nous auronsalorspour l'équation (9) la valeur 2 (y aa' + ki a"a + jk a'a") = o.
Les valeurs des a, a', o",n'étant pas nulles par hypothèse, il faudrait que l'on eut généraleiiicnt y— 0, ki=^Q, jk=o, ce qui est impossible, puisqu'aucun des Tacleurs qui expriment chacun d'eux une valeur de l'unité imaginaire n'est nul, et que le produit de deux verseurs quelconques est nécessairement par définition un troisième verseur qui ferme le triangle sphérique formé par les deux autres. D'un autre côté les valeurs a, a', a" ne peuvent pas être toutes nulles en même temps, puisqu'elles satisfont à la relation algébrique a*-|-a''-f-a"'=] . Si l'on suppose que l'une d'elle est nulle, a" par exemple, le vecteur I=ia-{-ja-\~fia" devient indépendant de la valeur deft,et l'on a simplement 2 tjaa'^o ; alors aet a'n'ét'mt pas nuls, il faudrait que Von eai ii=o, ce qui est impossible par définition . Reste donc que </ et ji aient des valeurs différentes, et nous retrouvons l'équatiou (9), et les relations (10) qui sont seules possibles.
Ce théorème, qui est dû à Hamilton,du moins quand à sa conclusion (car la démonstration qu'il en a donnée est purement métaphysique), est le point de départ de tout le calcul algébrique des quantités imaginaires, et l'on voit qu'il est fondé sur la uoliou des valeurs distinctes de l'unité imagi-
CALCUL TECTOHIEL 65
portance nous servira d'excuse pour lÀ i
iDstration .
— « Le produit de deuœ tettitons- j
"es entre eux est le troisième temion- 1
%ire au plan des deux autres. »> j
multiplions membre à membre et deux
(1) en observant toujours le changement .e l'interversion des facteurs d'après le , c'est-à-dire, que noas pouvons écrire,
(7) et (10), ;
a'i) — ijc" pour ijab'-\-jia'b, etc.
ra nulle d'après les relations (4) et il reste ernion, qui donne le système suivant :
l' + ûa", [j"ft=JKa +KI6 +\ic, y + m", (13) tii=iKa' + Klfi' +IJC', ■y +ijc"; \ y = JKa"+KIô"+IJc".
obtient de la même manière en faisant le : des équations (2) dans l'ordre indiqué, ièrement que le produit de deux ternionsrectangulaires entre eus est uu autre ue sou scalar est nul; deuxièmement que ment la mâme direction que le troisième stème. On en déduit par comparaison les
/ = h, ni = j, jh = i, J ^ K, Kl ^ J, JK = I.
tîonsont lieu quelle soit la position relaelles sont donc les seules relations de
ï Le produit de Irais ternions-unité Ire eux est égal à l'unité réelle nêga -
66 CALCUL VECTORIEL
tive OU positive suivant que f ordre cycti ou inverse. »
Ainsi OD a, par exemple,
(15) yfi=:— 1 etft^i=l, etc.
En effet, puisque ij=k, on peut écrire en deux membres parft, i//c=fc'=— l. De môme en multipliant les deux membres par i, il vier
Corollaire II. — « Quand on intervert facteurs du quotient de deux ternions-u laires entre eux, on change seulement le tient, et le quotient est le troisième tern
En effet, si nous observons que pour une n l'unité imaginaire, nous avons les relatioi
