XV
nous aurons en multipliant chaque membre ternion différent, en convenant de prendre le comme multiplicateurs, et les dénominateurs
De là résulte cette remarque importante qi le
7=jx* = -^'
est différent du rapport
(19) sxj=i = -w.
De sorte qu'intervertir l'ordre des facteur;
que hmi
et !liq
est
lia
lei ese
le !
le,
CALCOL YECTOBIBL
\-k = o, n'a pas de sens analytique ou est imposair soit que l'on suppose les vecteurs-unités i, j, h, 1 coinitiaux, soit qu'on veuille les additionner vectoent, en leur donoant pour scalar l'unité réelle +■ l,il lent que la diagonale du cube ainsi formée ne peut ille, à moins que chacun des côtés ne soient nuls sépa- .. D'un autre côté, ils ne peuvent pas être tous nulsà donc l'équation vectorielle î +j + k = oat fausse, ncile de voir que sa vraie valeur est i+j-i-k = V^ I. t la direction de la diagonale du cube-unité. Mais il s'agit d'une équation versorielle, l'équation - {i-i-j-\- , donne sans ambiguïté la position des huit triangles t les permutations de l'ordre et du signe des termes
arque — Un ternlon-UDité pouvant toujours être ré comme le produit par facteur ou par quotient de itres ternions-unités rectangulaires dans son plan ', il en résulte que facteur scalar exprime le cosinus jrpendiculaire au plan des deux autres, et l'on a par e
[ =i (6'e" t,"c) + j {b"c — bc" + k(bc'— b'c) . a conclut qu'on ternioii peut toujours s'écrire sous le d'un déterminant, tel que
l = \i j k]= {ib'c\ etc.
6 b' b"\ \c d c'\ tte forme le calcul analytique des quantités imagiprend une forme symétrique très propre aux substilinéaires.
- Théorème III. — « Trois ternions-tmtté trirecaires ont respectivement' pour verseur le produit 'seurs des deuœ autres lemions. »
r;^:T\ ^-k "' • •• "^ •>- " ■- ^ -- - "; ; v yv^^;^.
•Al
CALCUL VECTORIEL 69
Ce théca*ème, qui au fond est identique au théorème précédent, a été démontré directement par Hamilton. Il suffit d'observer que les trois verseurs quadrants forment sur la sphère unité un triangle sphérique trirectangle, et que chacun de ces verseurs est respectivement perpendiculaire à chacun des ternions-unité correspondant. Or comme multiplier un verseur par un autre, consiste à faire tourner le second autour de Taxe ternion du premier d'un angle égal à son argument, on aura en faisant tourner i autour de /c, la valeur dey ; c'est-à-dire que cette opération change i en J ; une nouvelle rotation de j autour de i change j en k, et enfin, une rotation de k autour de j change k en ^, et ramène au point de départ. Il en résulte que chacun des ares verseurs décrits est celui qui a pour ternion-unité le troisième ternion du système trirectangulaire.
Cette identité d'un verseur-quadrant et du ternion-unité qui exprime son axe, permet d'exprimer un arc circulaire réel par une quantité imaginaire, et réciproquement. Autrement 'dit : une valeur quelconque de l'unité imaginaire exprime une valeur réelle d'un arc circulaire quadrant ; ce qui montre que la véritable nature de l'opération V—1, est une exponentielle linéaire et n'est plus algébrique, mais transandante et périodique circulaire.
S n. — Verseurs qiiadrants obliqiies
39. Formules d'un système oblique . — Nous désignerons désormais par (I, J, K) un système de trois ternionsunité, formant un trièdre oblique quelconque, et nous réserverons la notation {iJ,JiJ pour un trièdre-trirect angle.
Posons
l = ia+ja' + ha'\
(23) {J = ib +jV +}ib\
K = ic +j& +Âc".
|r les 9 quantités réelles {a*, ô', cy étanl des projections ortho-
1^ gonales sont toujours les cosinus des angles que forment
^ respectivement chacun des vecteurs I, J, K, avec les vecteurs
{iyj^ k) et qui assignent leurs positions relatives. Mais leur ^ déterminant n'est plus l'unité positive, ni réciproque du
déterminant des mineurs. Sa valeur A ^=(aV c") s'appelle le *^ sinus-trièdre des axes obliques et le déterminant des mineurs
- donne [a V c") = A', en posant pour abréger
(24) \ hl = V'c — hc'\ B' ^d'a'—ca'^ C =a"b --ab\ A" = &c' — Vc, B"=ca' —c'a, G'=ab' ~a'ô.
40. Théorème I. — « L^ produit de deux temions-unité obliques entre eiuv est un verse^ir^uaiemion dont le temion-unité est perpendiculaire à leur plan, et dont Vargument est V angle compris entre les deu^ verseursquadrayit donnés. »
Réciproquement « Tout verseur-quatemion est le produit des deux temions-unité qui le limitent. »
Ces verseurs temions peuvent d'ailleurs prendre une position quelconque dans leur plan commun, ou dans tout autre plan parallèle, puisque Taxe et l'argument conservent la même valeur et par suite le verseur-quaternion ne change pas de valeur.
Si donc nous multiplions les équations (23) deux à deux et membre à membre, en ayant égard aux notations (24), nous aurons une partie réelle scalar donnée par les relations algébriques suivantes :
I bc + b'd + b"c" = cosw, 25; I ca + &a' + c"a" = cosw',
( ab + a'V + d'b'' = cosco".
et une partie ternion, donnée par les relations
;^f»iJir.''.^; «»-«-"-« r^^- -^
. .^^^^^^.^„^.^.„ •; -: "t,^sj;//\\^^^f
CALCUL VECTORIEL 71
fA +;A' + ÂA" = Isiiia>, (26) \iB+ ;B' + hB" = J sinco',
*'C +iC' +;tC'' =:Ksin(o".
Donc nous aurons
iJK = — coso) + I sinw = — e'^^^y Kl = — cosa>'+ J sin(o'=: — e— J ^'' IJ z= — cosa>"+ K sina)''z= — e- K w".
41. Trièdre polaire conjugué . —Les angles w, co', w" expriment les arguments compris entre les deux ternions facteurs et le signe — du scalar qui provient d'ailleurs de la propriété fondamentale des valeurs de Tunité imaginaire,
[sj — 1)* = — 1 est aussi une conséquence géométrique provenant de ce que Tangle des plans verseurs est supplémentaire de Tangle de leurs normales, ou de leurs ternions respectifs, quand ceux-ci sont de môme signe, et égal à leur angle quand ils sont de signes contraires.
Les ternions-unité (I, J, K) forment un nouveau trièdre conjugué polaire du proposé, de telle sorte que, chacun d'eux étant perpendiculaire au plan de deux vecteurs du système (I, J, K), réciproquement les (I, J, K) sont perpendiculaires au plan de deux vecteurs du système (I, J, K).
En effet, si nous désignons par («, e', e") les angles des faces du second trièdre, nous aurons de la même manière
JK
— COSf
+ I sin e
KJ
— ces %
+ J sin %
IJ
— cos «'
' + Ksint"
Pour le montrer, faisons directement le carré et le produit des équations (26), nous aurons pour la partie scalar les formules suivantes :
^ «fi
72 CALCUL VBCltNUBL
1 A« + A'» + A"» = sîrf«, l BC + B'(y + B"Cr=ic,
(29) B* + B'« + F** = siii*u>', (30; I C A + C'A' + C'A" = ic', ( C« 4. C'» + C"« =aiii*«"; ( AB+ A'B'+ A"B" = tc";
en posant pour abr^r
11C = cos ci>' cos w" — costo = sin w' sin to>" cos t, ic' =co8«"coSû> — coscrt' = sin w" sin 0) cost', , ic" =1 cosù) ces w' — oosto" =: sio u> an w' cos t".
Puis nous aurons pour la partie teraien, qui se réduit par la théorie des déterminants aux quantités suivantes
t i (B'C"-B"C' +j ,B"C— BC"; + h (BC— S'a) = AI, (32; j i îCA"— C'A' +j »C'A— CA") + k (CA'-«CA) = AJ, ( i (A'B'— A''B')+i ;A"B— AB") + k (AB'— A'B) = AK,
et nous aurons d'abord les expressions
[ JK sin û>' sin w" =r — ic + I ^>
(33) I KJ sin<o" sino> == — ^' + J A,
( IJ sin 6> sin û)' =1 — -x" + K A,
enfin, en ayant égard aux relations suivantes de la théorie des trièdres
(34) A — sin to> sin û>' sin «" =: sinw" sin w sin t' =
= sin <o" sin i«> sin «",
nous aurons, en supprimant les facteurs communs sin »' sin «y^, les équations (28), qui montrent que le trièdre proposé (I, J, K) est bien le polaire conjugué du trièdre (I, J, K).
Gomme nous Tavons montré, nous pouvons écrire les formules 26^ et î32) sous forme de déterminant, tels que
i AI = (1 BC"., A J = i CA"), AK = (i A'B") ' ' ( I sin (o = (i Vc"), J sin w' = i c'a''], K sin a>" = (i* a'ô")
Remarque. — Les angles dièdres des verseurs, que l'on prend pour les angles intérieurs du trièdre oblique formé par les directions positives des (l, J, K) sont sappiémentaires des angles des directions I, J, K entre elles, ou des
CALCUI. VECTORIEL 73
arguments respectifs de leurs produits deux à deux. Si donc du sc«nmet d*un trièdre quelconque on élève une perpendiculaire sur chaque face du trièdre et du même coté de ce plan que la troisième arête, on forme un trièdre supplémentaire du premier, qui est le trièdre a«^o;?o/aer^. En effet si Ton opère sur ce trièdre de la même manière que sur le premier, on obtient pour son trièdre polaire précisément le trièdre primitif, et Ton dit qu'ils sont conjugués polaires ; c'est ce que nous enseigne la géométrie élémentaire. Mais quand il s'agit de verseurs quelconques, cette définition doit être généralisée en tenant compte du signe de Taxe ternion et du signe de l'argument. Il peut arriver que les axes du trièdre conjugué du proposé soient situés tous trois au-dessous du plan des faces par rapport à la troisième arête, et les deux trièdres sont opposés ; les angles de l'un sont respecti venaient égaux aux angles de l'autre. Enfin il peut arriver qu'un ou deux axes du trièdre conjugué laissent le trièdre proposé au-dessous de leurs plans, ou bien que deux ou un des axes se trouvent au-dessus par rapport à la troisième arête. Or il est facile de voir que tous ces différents cas tiennent aux signes que peuvent prendre les arguments et les axes ternions d'un verseur quaternion. L'opération algébrique du produit de deux verseurs quelconques est donc générale et donne sans ambiguïté la valeur et la position du troisième verseur.
Ainsi à tout trièdre oblique quelconque répond nécessairement un autre trièdre oblique qui est le conjugué polaire ; qaand le trièdre proposé devient trirectangulaire son conjugué coïncide avec lui. C'est une conséquence de la règle ij=k, et par suite ÎJ = K = h. Si donc on voulait étudier la position relative de deux trièdres quelconques (I, J, K) et (II, Ji, Kl) non conjugués, il en résulterait nécessairement un système de deux autres trièdres conjugués polaires (I, J, K,) et (II, Ji, Kl). Si Ton rapporte chacun d'eux à un
f ' ir
74 CALCUL VECTORIEL
système fixe coordonué {i,J, /c), on obtiendra pour chaque système des relations semblables à celles que nous avons définies. En éliminant les (i, j, k) on obtiendra les relations demandées sous formes symétriques, comme nous le développons plus loin .
42. Théorème II. — « Quand on ititervertit l'ordre des facteurs du produit de deux teignions oNiques^ on obtient le verseur quaternion conjugué. »
C'est-à-dire, que le scalar du produit reste le même, tandis que le ternion change de signe sans changer d'argument. Cela résulte immédiatement du théorème I (34) du produit de deux ternions rectangulaires, savoir y =—jï, puisque l'on effectue la multiplication dans un ordre inverse. On a donc
(36) IJ = — cos 0)" + K sin a>", JI = — cos w" — K sin co".
On en déduit des relations algébriques importantes dans le calcul des quaternions, savoir :
/ IJ + JI =z 2 S (IJ) =: — 2 cos(o" = 2 S (JI),
(37) IJ — JI = 2 T(IJ) = — 2 Rsinco" =— 2 T (JI),
