S (IJ) = S (JI

^^^ ?T(lJ)=r~T(JI).

L'on voit que dans le produit, comme dans le rapport de deux verseurs-quadrants quelconques, le résultat dépend à la fois de l'ordre des facteurs et de leurs signes. Ainsi, à chacun des angles au pôle K répondent quatre verseurs ayant même valeur de l'argument et du ternion-unité, mais avec des signes différents. Us répondent aux quatre valeurs

(39) ij^-.e-Kco", ij^ç-KcD",ji^eK« ,— jlrzzeK«".

La règle algébrique est donc générale et comprend tous les cas.

Br.:f^:.F^> '^'T-i^:"" »-5t- ^ *;

CALCUL VECTORIEL 75

Corollaire. — On déduit immédiatement la valeur du quotient de deux verseurs-quadrants quelconques en appliquant la relation fondamentale s/"^ = :=: pour une

même valeur de l'unité imaginaire dans les deux membres. En se reportant à l'observation sur la généralisation de Talgorithme de la division, on trouvera

X = \. = — K J =r cos (0 + I sin 0)

=:el"

yC = V = — IK = cosco' + Jsina)'=e V = "^ =:: — JI = cosw'+Ksinw'rne

= — JK = costo — I sino) = e—

lo)

.j = ^ = — KI=:=cos(o'— Jsina)'=:e— J^«*',

43. Composantes vectorielles obliques. — On peut demander d'exprimer les vecteurs ternions d'un système oblique, en fonction des composantes parallèles à son trièdre conjugué et réciproquement ; ainsi que les composantes des (ij J\ ^J en fonction des composantes parallèles aux deux trièdres obliques (I J K) et (I J K). La transformation linéaire y conduit directement.

Soient d'abord les expressions des (i, J, h) rectangulaires. En résolvant, comme à Tordinaire les équations linéaires (23) et (26) par rapport aux i, ;, h^ nous trouverons les systèmes inverses ;

/ A^ = lA + JB + KG,

(41) ^j = lA' + JB' + KC,

Si-

CALCUL VECTORIEL

que noas pouvons mettre sous la forme de déterminants en remettant les binômes des moments composants, savoir :

ùki = la sinw + Jô sin w' + K c sin a>",

(42) I A ; =: I a' sina> + J ô' sinco' + K c' sin a>",

A /J = I a" sin o) + J &" sin a)"+ K <c?''sin co";

At =

ÙJi:=

ll=z

I sin 0) J sin <o' K sin " \j A' B' C

I sin o) J sin <o A" B" A B

I J K abc a' b' d

K sin "

I sin (0 J sin <ù K sin u'' ABC A' B' G

Soient maintenant les composantes des (I, J, K) en fono tion des (I, J, K) et vice versa. Il suffira de substituer dans les équations (26) les valeurs des (41) ou ce qui revient au même d'ajouter ces équations (41) respectivement multipliées une première fois par A, A', A", une seconde fois par B, B', B", et enfin une troisième fois par C, C\ C", ce qui donne.

A I sin (0 =1 sin* w + J 'ï" + K it' A J sino)' = 1 7t" + J sin«<o' + K tt, A Ksinco" = I tt' + j tu • + K sinV

ou bien sous la forme de déterminants.

fAIsiiio) =::

AJsinw'

COSw" 1 COSo)

COSio' COSû) 1

COS(o' COSw 1