COS<.)"COS
A K sino)'' -
1 COS(t)" COSO)'
ce
►Sco" 1 (
^..^ , , ^^-^ ^-- ^^-. ^^.- -,...., ^ , .^. , . 5;— . - T --ï;^',.^;:^ ; :: >'^Mr^^
CALCtJL VECTORIEL 77
Nous pouvons aussi les écrire sous la forme
iA J = I sinw + J sinw' cosb" + K sinw" cose',
A I = I sincD cos«" + J sinco' + K sinco" cose,
A K = I sinw coss' + J sinw' coss + K sinw".
Enfin, les équations (42) ajoutées après les avoir respectivement 'multipliées, une première fois para, a', a", une seconde fois par b, b\ b'\ et enfin une troisième fois par (?, c', c'\ on aura
iA I zzi I sineo + J sinw' cosw" + K sinw" cosw',
A J = I sinw cosw" + J sinw' + K sinw" cosw,
A K = I sinw cosw' + J sinw' cosw + K sinw".
NoijLS pourrions obtenir d'autres formes en employant le sinus-triedre A' du conjugué polaire. Parmi ces équations les plus importantes sont les formules (43) et (44), qui permettent d'exprimer les composantes d'un trièdre en fonctions des composantes parallèles aux directions du trièdre conjugué polaire.
44. Théorème III. — « Un verseur quatemion gtcelconque s'exprime par une puissance de son verseur quadrant. »
Nous avons déjà posé pour l'expression d'un verseur les
formules suivantes
(45) U = cosô + Isinô = e^^=I^ ,
comme le résultat du développement de l'exponentielle linéaire ternion et la séparation des parties réelles et imaginaires. Ces formules résultent également de la formule de Moivre, car si nous posons 6 = ma, nous aurons
(46) U = cos ma + I sin ma = (cosa + I sina)";
le premier membre exprime un verseur qui produit une rotation d'un angle ma autour de Taxe ternion I, landis que
sa,
78 CALCUL VECTORnSL
le second membre exprime m rotations saccessives d'an angle a autour du même axe et le résultat est évidemment le même.
Si nous posons a = !!, la formule de Moivre prend la
forme
cos - m + I sin - m = I",
et exprime un verseur qui opère une rotation de m angles droits et suivant que m sera entier ou fractionnaire, on aura un verseur-quadrant ou un verseur quaternion ; dans le premier cas toutes les puissances paires donneront Tunité scalar +1, et toutes les puissances impaires donneront Tunité teruion + 1, de sorte qu'en donnant à m toutes les valeurs consécutives (0, 1, 2, 3. . . m) on reproduira continuellement la période (1, I, — 1, — I).
Dans le second cas, où m est fractionnaire, on pourra
trouver un arc 6 =— m, et 6 sera l'argument du verseur.
Dans le cas où m est incommensurable, l'arc sera indéterminé, mais on pourra toujours en trouver une valeur approchée en plus ou en moins, et la formule subsiste toujours. Mais si m est périodique on a une nouvelle fonction hyperciculaire, à moins que m ne soit de la forme p -|- I q» petq étant des nombres rationnels et I étant le même dans la base et l'exposant (Ch. u, 32),
45. Théorème IV. — « Le produit de trois iernionsunité obliques est un verseur quateymion défini, et en général celui de m ternions-unité quelconques est un verseur quaternion défini. »
En effet, puisque le produit de deux verseurs quadrants est le verseur qui ferme le triangle sphérique biquadrant formé par ces deux verseurs, le produit de ce dernier verseur-quaternion par un nouveau verseur-quadrant est le
^tr^:-
CALCUL TBCTORIEL 79
verseur qui ferme le triangle sphérique formé par les deux verseurs facteurs, et ainsi de suite de proche en proche.
Pour obtenir l'expression du produit de verseurs quadrants I, J, K, formant le trièdre (I J K), nous pouvons exécuter directement leur produit dans Tordre indiqué. Or, nous avons déjà trouvé pour le produit des deux premiers verseurs, le verseur défini
IJ = — cosw" + K sinw".
Si nous multiplions les deux membres par h, ou mieux par A/c, et si nous substituons dans le second membre sa valeur tirée des formules (43), en fonction linéaire des (S, J, B) nous aurons
A IJK r=— A K cosco" + K sin« ' (I sin« ' cos« +
J sin«' cos« + K sin«'),
et d'après les formules (28), en observant les changements de signes dans Tordre des facteurs nous aurons
A IJK = — (sin* w" -f- tt" cosw' + '^ cosw)
— A (I COSw — J COSw + K COSw"),
et en supprimant le facteur commun A, dans les deux membres, il reste
(47) IJK = —A — I COSw + J cosw' — K cos«".
De sorte que la partie scalar est égale au déterminant des trois facteurs, ou au sinus-trièdre de ces facteurs, savoir :
S (IJK) =— a a' a" = aA + &B + cC, etc.
ce'
Quelque soit Tordre de la permutation des facteurs, on voit facilement que le scalar ne change pas de valeur, mais seulement de signe pour une permutation impaire ou noncirculaire»
80 CALCm. VECIOtUBL
Quand an temioD, il suffira de matntei 1 .et l'on trouvera par exempla
(49) T (JIK} =— J co8«' + ! cos» — K ce On voit que les termes extrêmes étant de [ peut les échanger entre eux, c'esirà-dire, qn l'ordre des termes,
T (JIK) ^ T (KIJ), etc.
Corollaire I. — Si l'on prend le troisiè au premier, nous aurons des formules tel!
vantes :
MKI = K — 2 Icosw', IIKI-'=— 1
(50) j JKJ = K — 2 J COS.-. JKJ-'=-I (etc., [ etc.
On a donc IKI =— IKI"',
« qui doit être, puisque Ton a I = — I-'
Ces formules seront utiles pour cxprimi conique. D'ailleurs le déterminant A dévie ayant deux lignes ou deux colonnes idei exprime que le ternion résultant est dans l< t«mions des facteurs.
Si k devient perpendiculaire à I ou à J, l'a ralt et l'on retrouve les formules relatives quadrants rectangulaires.
Corollaire II. — Le produit de m ver: consécutifs, IJ K L..., se ramène au produi
de - verseurs quaternions successif, ou à -
quaternions par un même verseur-quadrant est pair ou impair. On pourra avoir ainsi i nombre quelconque de ternions-unîté, i donné.
CALCDL VECTOBIEt
% m. — Trièdres non conjugués
46. Systèmes trirectangulaires . — Nous avons considéré jusqu'ici le produit des verseurs appartenant à un même trièdre, et nous avons vu qu'à chaque trièdre, et plus généralement à toute pyramide de vecleurs ternions-unité correspond un trièdre polaire ou plus généralement une pyramide conjuguée polaire de la proposée. Mais quand on considère deux trièdres, donnés en position relative {t, j, R) et (I, J, K), ces deux trièdres ne sont pas les seuls que l'on peut considérer ; car en prenant deux, ou une des directions du premier avec une ou deux directions du second, on aura autant de nouveaux trièdres, dont les verseurs sont déterminés. Mais ce n'est pas tout encore ; si les trièdres donnés sont obliques, à cliacun d'eux répond un trièdre polaire conj ugué et l'on pourra former de nouvelles combinaisons de trièdres non conjugués. Chacune de ces combinaisons est définie algébriquement par le calcul vectoriel sans ambiguïté. Considérons d'abord deux trièdres trirectangulaires donnés en position relative. Il suffira de se reporter aux formules (1) et (2) de ce cliapitre et de substituer la valeur de l'un des facteurs en fonction linéaire de l'autre aistèmc, et nous trouverons immédiatement les formules suivantes :
I i 1 =— a + ka' — ja" — — a -\- ic — Kb,
hj=— 6 -\-W~ib"=~-b -j-Ka— le,
(iK=— c -\-nc' —je" =—c -\-\b ~ia;
j I ~— a' + ta" — ka =— a' + Je' — K*'.
(1) ■ ji ^—V +ib- ~kb =—b' +Ka'— le',
^K =— c' -j- ic" — kc =-r d + W — Ja' ;
ft I— ^ o" + ja — id — — a" -f Je" — K6",
A J=;— b" -\-Jb — ib' =— b" + Ka"— le",
ftK=— c" +je — ie' =— c' + !&■' — Ja".
CALCUL VECTORIEL
3ii voit qae les neuf cosinus (a, b, c. . .) sont les scalars produit de deux vecteare pris dans chacun des systèmes, ]ue les tentions sont dans le plan verseur communs à c«s IX facteurs. Cela est évident, puisque la direction de ce nion est la ligne d'intersection des deux plans verseurs Ëictenrs qu'on appelle aussi ligne des nœuds, et ces 9 ardections jointes aux 6 directions données ("i, j, k, I, J, K) inent les 18 intersections des plans deux à deux.
17. Cas où Vun des systèmes est obHque. — Les projecns orthogonales où les scalars seront toujours les neuf linnsfa, ô,c..J,qui assignent la position relative des IX trièdres et donneront d'après la théorie des détermiite:
~BC" — B"C = A +B C08w" + C
= B C — B' C = A" + B" cos»" + C" cos«'
1A6 =Ç'A" — C'A'— i C0Sm"+B +C cosu,
A&' = C"A — C A" — A' cos»" + B' + C cos«,
i&" = C A' —C'A =A"cos»" + B" +C"cosu;
{iic = A' B" ~ A"B' — A cosu' +B cosu +C, lie' = A"B — A B"= A' C03«' + B' cosw + C, fAc" = A B' — A' B =A"cosu' +B"cosu +C".
Si nous multiplions les équations (41), qui expriment les uposantes des i,j, k, en fonction linéaire des I, J, K, on tiendra les valeurs des produits I^, etc., deux à deux, et us aurons .
( i I =— o + C J sinu' — B K sin»>", jïJ=-ô +AKsintt" — G I sinu, ( ïK=— c +B Isinw - A J sin»;
ij I — — a' + C J sinu — B' K sin»", ji=—V +A'Ksin»"— C Isinu, j^=— c' +B'Isinu —A' Jsinu';
ï:^vy:»s > : : ; \ .. •; ''•.•/, ' - ' '■■'■' ' ' ." ' *^- ■ ...r'^'
CALCUL VECTORIEL 83
h I =— a" + G' J sin«' — B"K sino," (3) {KJ =— &" + A'' K sin «" — C' I sin «,
/iK =— c" + B" I sinco — A" J sin c^'.
Enfin si l'on voulait avoir les //, etc. du trièdre polaire, il suffirait de remplacer dans les équations précédentes les petites lettres par les grandes lettres et vice-versa.
48. Produits des vecteurs des systèmes polaires. — Nous pouvons encore trouver directement les valeurs des quaternions II, IJ, IK. .. etc., en observant que les trois produits II, JJ, KK, sont seuls des verseurs quaternions, tandis que pour les six autres, étant le produit de deux ternions rectangulaires entreux, leur scalar est nul.
Si donc nous prenons les équations (42) ou les équations (44) en multipliant les secondes respectivement par I sinco, J sinw', K sina>",et les premiers par I, J, K, nous obtiendrons les valeurs cherchées.
I I sincD HT— A + K tt" sinco" — J tt' sinco'
=: — A + *^ COScù' — K COScù",
I J sinco' =: "{- K sin^co sinco" — J tt sinco'
= -\-K — • I COSco',
IK sinco" =1 + K 7c sinco" — J sinVsinw'
= -\- l COSco' — J;
J I sinw = + I '^^ sinco — K sin*co sinco"
= + J COSoo" — K,
,^v , J J sinco' =— A + I 7c sinco — K tc" sinco" (3) (
' ' =z— - A 4- K COSeo" — I COSco,
JK sinco" = +1 sinco" sinco" — K tt' sinco"
= +1 — I COSco";
K Isin» = + J sin^ sinco' — I tc" sinco
= + J — K COSco,
IK J sinco' = + J it" sinco' — I tc' sinco
=: + K COSco' — I,
KK sinco" = — A -}- J t^' sinco' — I sinV sinco
= — A + I COSco — J COSco'.
CALCUL VRCTORIEL
m divise tous les membres par sini^, sinu', sinu", vement on aura les valeurs demandées. Od peut rs s'assurer que les seconds membres ont leurs î divisibles par ces factfiurs en se reportant aux s des trièdres, et que les ternioas sont des ternioDS-
7as général. — Considérons maiotenant le cas de deux trièdres obliques quelconques (I, J, K)et Kl), et désignons comme précédemment par s") et par («i, «/, u,"), les angles de leurs faces, irons à considérer deux trièdres conjugués polaires :) et (II, Ji. Kl).
avons vu que l'on a pour le produit de deux vecun m>nic trièdre les relations :
=— cosiu" + Ksinio", jl| Ji = — c08|"-(- Ki sinuii", = — cosoj' + J sintu', jJiKi=— cosi'+ Ji simui', — — cosw + I siucu; (Kili =— cosi 4- Il sinon. us désignons comme précédemment par (a, b, c. . .) f cosinus des angles qui forment entre eux les 1 de deux systëoies différents et qui assignent leur relative; savoir :
= cos (I II], 6 = cos (J II), c = cos (I Kl), = cos (I Ji), &' = cos (J Ji), c' = cos (J Kl), = cos (IKi), 6" = cos (JKi), c" = cos {KKij, f quantités, et les 6 quantités (», ui) sont les de la question. Comme il s'agit de ternions, les (a, b, c.) expriment les projections orthogonales in d'eux, sur chacun des autres de l'autre système, idérant chacun des vecteurs d'un système comme la vectorielle de trois autres directions parallèles aux ide l'autre système, et en désignant par(Ar, B, G...) lies de ces progressions obliques, qui sont des fono-
CALCUL VECTORIEL 85
tioDS linéaires des composantes orthogonales et des angles des faces, nous pourrons poser
{ Il = lA + JA' + KA", [a) j Jl = IB + JB' + KB", (7)
( Kl = IC + JC + KG",
et nous aurons d'après la théorie des trièdres :
( A«A = a sin«co + a' «" + a" «', ' A«A' = a iç" + a' sin«(o' + a" tt,
A«B' = ô sin^co + b' ^" + &" «',
(8) { A«B' == & tt" 4- V sin«a>' + &" tc, A«B" = & 7c' + ô' TT + ô" sin'o)";
A«C = c sin^co + & t!' + c" t! , A«C' = c tt" + c' sin«(o' + (?" TT, A»C" = c 7c' + c' 7t +0'' sin'o)" .
Réciproquement les composantes octhogonales s'exprimeront en fonction linéaire des composantes obliques, et s'obtiendront en résolvant ces équations linéaires par rapport aux neufs cosinus (a, b, c, . J, et dans lesquelles les (A, B, C) n'ont pas la même signification que dans les équations (2) ; savoir :
a = A + A' C0Sa>" -f- A." COSco',
a' = A costo)" + A' + A" coso),
a" = Acosa>' + A' cosot) + A";
b =B + B' coso" + B" coso)',
(9) \b' =B cosa>" + B' + B" coso), ô" = B cosw + B' COSO) + B'';
c =C + C COSO)" + C" COSO)',
& =C COSO)'' + c + G' COSO),
c" = c COSco' + c COS(o + C".
Cela posé, si nous eflFectuons les carrés des équations (a)
86 CALCUL VECTORIEL
ainsi que leurs produits deux à deux, ou ce qui revient an même si nous les multiplions respectivement membre à membre par les ternions (I, J, K) et que nous fassions les substitutions convenables, en tenant compte des valeurs précédentes, nous aurons premièrement les relations scalars :
l ka + k'a' + k"a" = A,
(10) Bb + B'ô' + B"&" = A,
f Ce + G& + G'C" =: A;
I Ba + B'a' + BV = kb + k'V + A"&" == cosa)i",
(11) Qa + C'a' + C'a" = kc + k'c' + A"c" = costo/,
I Cô + GV + G'b" = Bc + B'c' + B"(?" = cosa)i ;
et ensuite pour les valeurs ternions :
Kl sina>r== I sinco (A'B"— A"B') + J sina>'(A"B— AB")
+ Ksin(o"(AB'— A'B), Ji sin(oi'= I sinco (C'A"— C'A') + J sina)'(C"A— CA") * ^^ +Ksin(o"(CA'— C'A),
Il sinwi rz: I sino) (B"G'— B'C") + J sinco' (B"C— BC")
+ K sinco" (BC— B'C).
Nous pouvons maintenant effectuer les produits de deux vecteurs de systèmes différents, en ayant égard aux relations (10 et 19) pour la partie scalar, et aux relations (12) pour la partie ternion et Ton obtient les valeurs suivantes en fonction des composantes, suivant les directions du vecteur conjugué polaire.
I II rzi-. a + J sinco' A" — K sinco" A', I Ji =— a' + K sin co" A — I sinco A", IKi =— a" + I sinco A' — J sinco' A'; J II m— ô + J sinco' B" — K sinco" B', (13) { J Ji =— &' + K sinco" B — I sinco B", jKi zzz- b" + I sinco B' — J sinco' B^;
KIi =— c + J sinco' C" — K sinco" C, KJi— — 6*' +Ksinco"C — I sinco C", KKi=— c"+ I sinco C — J sinco' C.
CALCUl, VECTORIEL 87
On voit que les ternions se trouvent dans le plan des ternions conjugués à chacun des systèmes, de sorte que nous pouvons prévoir une seconde expression des parties ternions, non-seulement en fonction des composantes suivant les (I, J, K), qui s'obtiendront en substituant les valeurs des I, J, K en fonction de ces dernières ; mais nous pouvons encore les écrire de deux autres manières suivant les (II, Ji, Kl) et suivant les (Ii Ji Ki) du second trièdre et il suffira de poser le système inverse
r I=:iiA, +J1B1 +K1C1, {b) Ij = Il A/ + Ji B/ + Kl Cl', (U)
( K = Il Al" + Ji Bi" + Kl Cr,
pour en déduire un système d'équations semblables aux précédentes, dans lesquelles, les (Uy 6, c....) restent les '[ mêmes et que nous nous dispensons de transcrire.
En effet, puisque les systèmes {aj et (bj sont linéaires, ils résultent Tun de l'autre par la transformation linéaire, de telle sorte que les (Ai, Bi, Ci...) sont respectivement les déterminants mineurs du système des (A, B, C...), et réciproquement ces derniers sont les déterminants mineurs du déterminant des (Ai, Bi, Ci. . .).
Si Tun des systèmes devient rectangulaire, les (a, b,c..J se réduiront respectivement aux (A, B, C...), puisque les sinus w' deviennent égaux à Tunité, et les cosinus égaux à zéro. Le trièdre polaire se confond avec le trièdre rectangulaire. Il sera facile de compléter ces conclusions dans le cas où les deux systèmes deviennent rectangulaires.
CHAPITEIE IV
CALCUL DES VERSEURS QUATEHNIONS
S I. — Equation binôme versorielle H {s]-+
50, Théorème I. — u Le produit de m verseurs temions, formant un contour polygonal sw la sp unité et fermé, est égal à l'unité réelle posltîv négative. »
Si H désigne le produit consécutif de m verseurs do on a l'équation binôme versorielle
Nous avons vu (Th. I., ch. 111) que le produit aigéb' de deux verseurs-quadranls quelconques est un ve quaternion déterminé, et que réciproquement tout ve est le produitdesdeux temions qui le limitent. Nous poi; donc écrire
(2) z = (Il U) =— cos (1, h) + I sin (I, I,) ; en observant qu'il s'agit d'une multiplication algébr prise dans le sens général. C'est-à-dire, que l'on aurai exemple, pour des valeurs négatives des ternioiis ■
( I, ir' = V = cos (I, h] + I sin (Il h), (ai ) '^
- cos (Il h)— l sin (Il U), etc.
CALCtFl. VECTORIEL
posé, si l'on considère que te produit de (m — 1), verseurs lans un certain ordre, est égal au m" verseur qui forme ■ntour polygonal sphérfque, pris en signe contraire, on
en multipliant les deux membres de l'équation versoi par le conjugué de ce m' verseur, dans le premier ibre un produit de m verseurs consécutifs, et dans le id membre l'unité réelle positive ou négative, suivant le ï de ce m* verseur.
lur le montrer directement, soient (Ii, I|.. , lo) les 18 de la pyramide polygonale formée par les intersections icutives des plans verseurs, prises dans l'ordre de b iplication indiquée par la proposée, et soient [It, Ii,.. I„) teriiions-unité perpendiculaires au plan de deux ters consécutifs {U. Ij), les termes du produit algébrique kiuation (1) seront :
(— cosui + Il sinoii) (— cosiui + 1^ sinw»)... .
(— C0So)„ + Im C03 a>J = -[- 1 ,
ous pouvons écrire, d'après l'équation f2| le premier bre sous ta forme
contour est fermé, le m' tarnion coïncidera avec le lier et en écrivant autrement les parenthèses, sans jer l'ordre des termes, on aura évidemment .
supprimant le facteur commun ( — 1)", on aura l'équa-
iquatioa versorielle (1) n'est autre chose que l'argument
txponentielle linéaire
e(+ Il">l + InUi+ ... + Io,Wm)__^l^
CALCUL VECTORIEL
d'oà en prenant le logarithme, on aura l'éqnation lir versorielle
qui exprime que le contour des verseurs est fermé. L' pourra changer l'ordre ou le signe de chacun des terme pour les permutations qui permettent d'écrire la pr par couples de temions identiques au signe près. Telle ( particulier la permutation circulaire, puisqu'elle ne fai changer l'origine du contour fermé. La règle algébriqu générale et donne le résultat sans ambiguité.
51. Théorème II. — «Le produit de deux vers quelconques est nécessairement le troisième verseu ferme le triangle sphérique formé par l'interseclic leurs plans verseurs ».
Ce théorème est un corollaire du théorème précédei nous considérons i'équatiou générale dans le cas de facteurs et que nous supposions les axes teruions positifs, savoir :
(9) e~ ï'"*' — •'•'"î — K fc)ï =^i^
Cette équation linéaire exponentielle tern'ton est équivs au produit
(10) [ — coswi + I sin»oi) [ — costoï + J BÏnwï)
(— cosu.3 + K sincua) = — 1, et nous pouvons l'écrire d'après le théorème précédent la forme
(11) (JK) (Kl) (IJ) =-1,
et en écrivant autrement les parenthèses, ce qui ne et rien à l'ordre et au signe des facteurs, il vient
