CALCUL

ion qui est évidente, d'après la propriété fondamentale nité imaginaire.

ist facile de vériâer ces résultats en efiectuaot directele produit des deux verseurs du premier membre, avons trouvé [Théor, II.,ch.III) JK = — 008(01 -f- I siniuij Kl =— cosiu, -f- J sintui, aurons par suite,

(JK) (Kl) = cos<oi cosù>i— itj + (—1 ainun cosoj*

— J sinuj costtii + ift), multipliant les deux membres par le conjugué de signe aire

(IJ) = — cosws + K sin«ï, le résultat demandé.

peut énoncer autrement ce théorème : « Si trois ter- -unité forment un trièdre, dont les faces sont (ui, ut, <*»] lous désignons par [I, J, K) les trois ternions-unité du ■e conjugué, on a la relation versorielle,

IiOl -j- Jui + K»3 ^ o

u que l'on observe l'ordre et le signe de ces six quan-

effet, le trièdre positif proposé (I, J, K) n'est pas le ue l'on puisse former par les intersections mutuelles de plans verseurs dont les directions sont assignées par axes (I, J, K). A chacun des trois pôles (I, J, K) répon- [uatre angles dièdres, deux à deux égaux, et supplô- Lires. On a donc, parmi les combinaisons de quatre ités trois à trois, à conserver celles qui permettent un jr triangulaire fermé, et il y a en tout huit triangles iques distincts de valeur et déposition, sur la sphèredéterminés par les huit permutations de l'ordre et du dans réqoation linéaire (15), des angles des f^ces&,

CALCUL VECTORIEL

et des t«rnions-uiiité (I, J, K) de manière qao le prw consécutif des trois verseurs puisse s'écrire sous la fornif parenthèses satisfaisant à la relation d'identité (6|.

Tout arrangement qui ne satisfait pas au groupement ternions (I, J, K) répétés deux fois, d'une manière consé tive et circulaire, donnera un verseur étranger aux triani de [I, J,K]. Parmi ces arrangements extrêmement nombr nous citerons les suivants :

i(IJ)Ki', (IJ)K(JI)K, (IKI| (JKJ), etc.,

qui, d'après le théorème IV, ch. III, donneront uuliouv verseur quaternion et non l'unité réelle.

Corollaire. — On aura relativement au |trièdre poli conjugué (I, J, K] les mêmes relations déduites do l'équat linéaire versorielle

(H) If, + J., +K., ^o, ■

où les («) sont les faces du trièdre polaire conjugué, et I aura de la même manière les différentes formes de ci équation versorielle linéaire, pour lesquelles les coQclusi sont les mêmes, savoir :

!{— costj + I sinti) { — costï + J sinu) [— cosi3 + Ksin.3) =—\.

ou (JK) (KJ) (U]=-l.

Nous voyons que nous pouvons considérer ces théorèi comme résultant de ce que les arêtes d'intersections des pi verseurs deux à deux, formant un contour polygonal fei sur la spliére-unité, sont précisément les arêtes de la pj mide polaire conjuguée et il y a réciprocité. De sorte c tout contour spliérique répond nécessairement un eonb conjuguu poliirc.

CALCUL VECTORIEL

iemargue. — La démonstration du théorème II, par Hamilton et reproduite par Tait (Ëlcmeiits des ions), est particulière à la méthode de fraisonnenaenl t'sique de cet illustre géomètre. Bien qu'elle ne soit èrement exacte, et qu'il ne l'ait pas étendue à un polygonal quelconque, nous croyons devoir la r ici .

dérons le triangle spliérique (ABC] en projection Qale sur le plan du grand cercle qui passe par l'arc

tout l'axe polaire se projette en 0, au centre. Soient li, les rayons de la sphère-unité, respectivement perlaires aux plans des grands cercles, déterminés par

A A : autres arcs BC et CA du triangle (ABC), et qui sont lions-unité de ces verseurs. Ils sont choisis de : que le triangle spliérique conjugué (Ai Bi Ci) soit port à chacun de ces plans verseurs situés dans la opposée où se trouve le rayon perpendiculmre au

AB. Ainsi 0A| étant au-dessus du plan'de BC, et de

A iBi étant au-dessus du plan de OA, le rayon OCi au ■e est mené en sens contraire.

oit qu'en appliquant la règle algébrique des signes contour fermé