AB + BC + CA

tion est de signe contraire pour les deux derniers

ar suite de celte construction ou du choix dn signe

s ternions des verseurs, les arcs BC et CA sont vemeiit égaux aux dièdres Ai et Bi, tandis que

t est supplémentaire du dièdre Ci, Nous aurons donc

sr?5*7

ji*r^<

CALCITL VECTORIEL

OBi

OCi

= CiBi = cos A

+ a sin A

OCi A

— - = AjCi = cos B

OAi

+ i8 sin B = py,

et en multipliant membre à membre on aurait d'après Hamilton

ou d'où

OB, OCi A^

y-* =z COS (tu — C) + Y sin (tu — c), a^ ^y y' = 1.

Mais en fait Hamilton ne tient pas compte de Tordre des facteurs, et il traite ces rapports comme des facteurs scalars,

^ , , .X OB' OCi ^^.^, ^^ j .xOCi OBi

Or, le produit ttttX r-r- est diflerent du produit 777- X -;r^

0\j\ OAi OAi OOi

et c'est précisément le second ordre seulement qui permet le résultat demandé, savoir jb^ a* y* — 1 • En effet, contrairement à ce que dit Hamilton, la permutation

(cos«i + I sinwi) (cos«2 + J sinwa) (cos«3 + K sinwa)

ne peut pas donner Tunité réelle, et le produit est un verseur étranger au triangle (ABC), comme on peut le vérifier directement en effectuant les produits indiqués. Mais on peut vérifier que Ton aura pour un ordre diflerent des facteurs, les permutations

(cos (01 + I sin«i) (cos «3 + K sin «3) (cos «2 + J sin «2) (cos Us + J sin «g) (coswi + I siûwi) (cos m 3 -[- K sin «3) (cosco8 + K sinws) (cosca2 + J sincos) (coswi + I sinwi)

96 CALCUL VECTORIEL

qui sont trois permutations circulaires d'un même arrangement tel que

(JK-^) (KI-») (IJ-^) rirl.

Ce qui montre une fois de plus que la règle algébrique des signes est générale et sans ambiguïté.

53. Quadrilatère sphèrUiue. — Nous pouvons encore considérer, comme exercice du théorème général, le produit de quatre verseurs quelconques formant un quadrilatère sphérique fermé, où les arguments et les ternions-unité ont des valeurs données, qui ne sont pas toutes arbitraires. Nous aurons alors cette proposition, résultant de l'application du théorème I :

« Le produit consécutif de trois verseurs est le verseur ou Varc de grand cercle qui ferme le contour du quadrilatère commencé par les trois autres ».

C'est une conséquence de la règle versorielle ou des arcs de grand cercle, ayant Tanalogie la plus complète avec Taddition vectorielle des verseurs linéaires dans l'espace plan à Tinâni.

Soient P, Q, R, S, les quaternions-unité formant un contour fermé, quand on les prend dans leur ordre cyclique. Désignons toujours par (Ii, I^, I3, I4) les intersections consécutives de leurs plans verseurs deux à deux, de telle sorte que Ton ait

P z= I, l„ Qz=z h Is, R = I3 14, S = I4 II ;

nous aurons

PQRS = l et FQR = S-»,

en désignant par S""^ le réciproque de S et non pas seulement son conjugué; c'est-à-dire que l'on a SS"*^ = 1. Le signe de l'unité réelle dépendra évidemment du signe des facteurs. Comme nous les avons tous pris positife, te résultat est ici l'unité positive.

CALCUL VECTORIEL 97

Si nous considérons le conjugué polaire (LMNT), nous aurcms un nouveau quadrilatère déOni, oii l'on prendra.

L — Il I,, M ^ I, I„ N = hh, T ^ 1. 1„ et

LMNT= I.

Mais nous arons de plus à considérer les produits des verseurs de deux en deux ou les verseurs diagonaux, savoir :

PQ = I, Is, QR = I, !.. On en déduit les relations compiémentaires RS — (PO)-', SP = (QR)-', car OQ a généralement