Q-> P-' = (PQ
Enfin ai l'on prenait les facteurs de trois en trois on retrouverait le quadrilatère proposé parcouru en sens inverse. On pourra en déduire différentes propositions, qui auront leurs analogues dans le quadrilatère rectiligne. Nous citerons seulement la suivante :
« Si les diagonales d'ioi quadrilatère sphérique se coupent en parties égales, les arcs opposés sont êgaiia; et les arcs adjacents sont supplémentaires. »
On pourrait donc l'appeler un parallogfamme spliériqne. Eu eflet, soit PQRS = 1, le contour polygonal de quatre verseurs pris dans leur ordre, et soient
D = PQ — [R3]-', et D' = QR = (SP)-', les deux diagonales, nous aurons
PR-' = RP-', d'où P — RP-'R-S qui exprime une rotation de P autour de R d'un angle double. (Voir plus loin Rotations coniques.)
54. Polygones étoiles. — Si nous avons une suite de verseurs formant un polygone sphérique, savoir :
98 CALCUL TECTOBIBL
PQRSTetc... — + 1, cette suite sera périodique; en désignant pi périodes, nous aurons
PQRS. TPQR. STPQ etc... =
car cela revient & multiplier les deux mem binôme par [4- 1) à chaque période. On ei déduira pour l'équation binôme versorielle les mêmes couséquences que pour l'équal iiaire s^ + l =0, qui n'est qu'un cas par mière, où les arguments et les ternioustous égaux.
En joignant par des cordes les points d plans verseurs sur la sphère-unité, on ai gauche, qui jouit de la propriété d'être in sphère. Si tous les arguments deviennent i polygone régulier gauche. Nous devrons tous les théorèmes sur les racines versoriet ont été si bien étudiées dans le cas où les v dans un même plan, et où on suppose les i
cutifs égaux à —, m étant le nombre de
degré de l'équation binôme. Il suffirait dt User en observant que, dans le cas génén l'unité imaginaire \' — 1, ne sont plus a déânies et données pour chaque verseur.
On aura, par exemple, ce théorème. « f avec m et plus petit que m, on obtien polygone de m côtés satisfaisant à 1' H,n (z) -f- 1 = 0, en prenant les facteurs c l'équation de n en n »- Il y aura donc aut de m côtés satisfaisant à l'équation binôme y a de nombres premiers à m et plus peti
CALCUL VECTORIEL 99
leurs en prenant les sommets de ii — 1 en n— l,on aurait les mêmes polygones, mais parcourus en sens inverse.
Dans le cas où n n'est pas premier à m, on obtiendra uu polygone de nombre de côtés inférieur à m, tel que ce
nombre soit d =; — . Ce qui revient à cette proposition :
« Si dans une équation versorielle le contour comprend plusieurs contours partiels fermes, l'équation se sépare en autant d'équations qu'il y a de ces contours, puisque cela revient à multiplier les deux membres de l'équation par
% n. — Rotations Coniques
55 , Théorème . — « L'expression U Q U-' exprime une rotation conique de l'axe d'iin quaternion Q autour de l'axe du verseur de U d'un angle double de l'argument de ce verseur, n
Le produit de deux verseurs exprime que l'on fait tourner le second autour de l'axe teniion du premier d'un angle indiqué par son argument. Quand le plan verseur d'un quaternion tourne ainsi antourde l'uxe d'un autre quaternion, la perpendiculaire à son plan verseur ou son âxc teniion décrit un cône droit, et exécute une rotation conique. On peut d'ailleurs supposer que la perpendiculaire est menée au point où le plan rencontre l'axe de rotation, qui est le sommet du cône droit. Nous aurons à considérer le cas où l'angle du cône est droit ou nul, c'est-à-diie le cas où les axes des deux facteurs sont rectangulaires ou parallèles. Dans le premier cas on a une rotation équatoriale et dans le second une rotation méridienne qui ne change pas la direction du verseur, et les arcs s'ajoutent algébriquement.
100 CALCUL VBCTOBIEL
Considérons d'abord l'opération algébrique.
Le quatcrnion résultant Q, — UQU-', d'une rotation conique a même module, puisque par définition on a U U~'=l, même argument, et par suite mémescalar. En efièt toute ératioii circulaire ou de rotation ne peut altérer ni le xlule ni le scalar, et il suffira de déterminer le ternionlité de Qi dans sa nouvelle position . Si donc nous posons Q^g + lq- V^p-{-3p' réduisant U à nu verseur pour simplifier, noua aurons Q, = UQU-' = g + UIiU-V = î + Il ff".
En développant directement le produit U I TJ-', nous pons la valeur du temion-unitéli,
I,= TIIU-' = [p* — {JI— U) pp- 4- JIJ-V".
I désignant par K l'axe teniion periiendiculairo au plan I), nousavons trouvé [u" 42.)
(.II— U} = 2 K sin (U) = 2 K sina>", nM5
JIJ-' =— I -f 2 J C08U)",
comme nous avons
p'—p'^ = C032œ, 2 pp' ~ sin 2a, désignant par a l'ai^ument du verseur U, nous pouvons rire *■
Il ^ I cos2« + Ksin 2a sinu" + 2 J 3in*a cosm". Si les deux verseurs sont rectangulaires, et seulement dans cas, on a co3û>"=o, IJ— K, ouIJK^I, et l'on a lasinyure relation
I, = I cos 2a + K sin a« = I (cos 2a + I sina) = ID*. Nous avons donc dans le cas d'une rotation équatoriale s 6 29
lu'^uiu-' o\i]^ u~i! = ijir>
CALCUL VECTORIEL
en posant = 2a . Ainsi une rotation perpendicula autour de J d'un angte 3« transforme I en Ii = UIU^ U importe d'observer l'ordre des facteurs, car nou par une rotation inverse
I = U-' I, U, et dans le cas d'une rotation équatoriale nous avons 9 29
U*I = J— ï II j; — I, J1Ï"!
mais on n'a pas généralement 1 U* = UIU-'.
Si nous développons le résultat d'une rotation
U-' [Q) U, en désignant par Q'i le résultat, nous aun
l'i = I cos 2a — K sin 2a sin«i" + 2 J sin*a cos
et nous voyons que sa valeur diffère de celle de Ii par
du ternion K .
56. Construction géométrique. — Soit OB l'nte. A des plans U et de Q, l'arc BCest l'argument de Q et celui de U, et nous avons par addition versorielie
