A A A AB + BC ^ AC = (UQ

Si nous prolongeoi

A AB eu sens invers

--..^ qoantité égale AB', ^''i A

ACd'unequantitéég \ '.■ /«^K \ j A

\ ; / ■-., ■■-,, / noua aurons AC =

Xi:-'' J:!^ A A

■^- — . '■'^ AB — B'A, puisqu

A pris dans le même sens. L'arc AB' est l'argument d* nous aurons :

102 CALCUL VECTORIEL

C'A + AB' = C'B' = Qi = (U«U~»)

Les deux triangles ABC et AB'C sont égaux par construction comme nyant deux cotes égaux et un angle compris

égal, et Tare B'C est égal, en grandeur à l'arc BC, c'est-àdire, que l'argument de Qi est égal à l'argument de Bi et

l'arc BB' est le double de l'argument de U. Quand à la position de Qi, elle est celle que prend le plan verseur primitif de Q, en tournant autour du pôle de U, de manière que le point B reste toujours à angle droit de ce pôle, en se déplaçant d'un angle double de l'argument de U.

57. Composilion des rotations coniques. — Pour composer des rotations coniques autour d'axes différents, il suffira de considérer la variation du ternion. Soit donc un vecteur ternion p et posons

U étant un verseur quelconque. Si Ton opère une rotation conique autour d'un autre verseur V, nous aurons

p,:zzVpiV-^^(VU)p(VU)-^

car Ton a TJ-^ Vr^i^ (VU)-^ Si l'on avait opéré d'abord la rotation V on aurait eu

p'. = (UV)p(UV)-^

et le résultat sera en général différent, puisque le produit VUestdiff'érentdeUV.

Si l'on a trois verseurs tels que

UVW = i, d'oùUV = W-^

nous pourrons eff*ectuer la rotation (UV) au moyen d'une seule rotation et nous aurons

CALCUL VECTORIEL 103

P, == W p W-' et p'ï = W-' p W.

Si nous voulons produire «ne rotation conique qui soit

t fois le double de l'argument d'un verseur V, nous aurons

Q, — U' Q U-* et une rotation conique inverse donnera un vecteur différent Q\ = U-' QU'.

Nous avons d'ailleurs

Q = U-' 0, U' = U' Q', U-', on en déduit la relation

58. Corollaire. — Si Q exprime une somme vectorielle de quaternions tels que

= SA + SKB, une rotation conique UQD~' = Qi n'aura aucune influence sur la partie scalar, puisque l'on a par hypothèse UU""'=I et le ternion résultant sera

Ni ^ U (SKB) U-' = SB (UKU"").

En effet la partie scalar exprime la projection des vecteurs sur l'axe de U, et il suffira de considérer la rotation conique du ternion résultant N — S K B, d'où N, — UNU^'.

59. Rotations d'Euler. — Considérons trois directions rectangulaires [i, j, ft), qui, par des rotations coniques, auront pris les nouvelles positions (I, J, K) également rectangulaires. Soient [fi, fi, Q) les angles d'Euler ; savoir : les longitudes respectives de ^ et / par rapport à la ligne des nœuds N, intersection commune des plans verseurs (y) et (IJ) des directions k et K respectivement, et l'angle polaire

NK ; cette ligne des nœuds est elle-même l'axe ternion du verseur (NK).

104 CALCUL VECTORIEL

En eflTet, Euler a montré le premier que les nœuf cosinus (a, I), c.-.) des angles que forment entre elles les directions des trois directions d'un système avec celles de l'autre système s'expriment au moyen des trois variables angulaires ci-dessus, et indépendantes entre elles. Les nœuf cosinus sont, comme nous l'avons vu, les scalars des produits qualemions [ilj //...) de deux ternions des deux systèmes pris deux à deux. Comme la dénomination des axes est indifférente, on peut prendre l'une quelconque des trois lignes des nœuds (N, N', N") d'un plan verseur de Tun des systèmes avec l«s deux autres, et il y a 9 intersections de cette espèce.

Mais le choix d'un axe polaire détermine une de ces intersections.

Chacun des angles dont les cosinus sont (a, b, c. . .) forment alors le troisième coté des triangles sphériques ayant tous pour sommet l'axe N choisi, pour côtés les valeurs correspondantes de (p et (pi, et pour angle compris la valeur correspondante de l'angle . On a par la trigonométrie la formule générale des trièdres

a = cosç coscpi -\- sin^ sin^i cos ô,

A en considérant l'angle ô =: kK) comme obtuis.

Lorsque l'angle cp sera donné, on le portera à partir de l'axe i sur le plan (ij), ce qui donne la position relative de N par rapport à cet axe. L'angle 91 étant aussi donné, on le portera en sens inverse à partir de N et le faisant tourner d'un angle 6.autour de N, on aura la position cherchée de I, puis celle de J dans le plan (I N) par une rotation d'un quadrant en sens inverse, et enfin la position de K, perpendiculaire au plan (IJ). #

Si nous voulons maintenant exprimer les rotations d'Euler en fonction des rotations coniques qu'il faut exécuter pour amener le premier système à coïncider avec le second, nous

CALCUL VHCTORIBL 105

qnant les théorènics pr^ édents les rotations rotation d'un angle <p autour deKtransl^rme

= ft> t ft » = ) cosç + j sin <p,

ueN est un ternioii-nuifé dans le plai: {ij). rotation deft autour de N d'un angle 9, t. msavoir :

= Nrê A: N~ï= 7i [cos'J + N sinft]

me rotation de N autour de K, transforme . finalement

ression de N on aura en substituant

directement ï en I . Si l'on coosidère un ur R ïr tel que l'on ait

16 seule rotation autour de h d'un angle t

ppelle l'angle rectifiant et le plan de R est le

106 CALCUL VECTORÏFL

60. Coordonnés sphériques. — Poisson a donné une méthode, en partant toujours de la formule fondamentale relative au scalar du produit de deux verseurs ç etcpi dans le triangle ^ N I, qui donne la valeur de a, et exécutant ensuite des rotations de 90°, autour de A ce qui donne a', et transforme i en y, de même une rotation de 90« autour de ft transforme I en J et ô en 6\ et ainsi de suite. Cette méthode est donc au fond une méthode versorielle.

On obtiendra donc directement les valeurs des neuf cosinus (a, &, c. ..) en fonction des angles (9, (pi, 6) en prenant successivement les triangles sphériques ayant tous pour sommet Taxe Net pour cotés opposés chacun des neuf angles aux cosinus a, h, c, cherchés. La règle de Taddition versorielle des arcs permettra de contrôler les signes et de donner aux formules leur symétrie complète.

On se rappellera d'ailleurs les formules de la trigonométrie telles que ç étant un angle quelconque on a,

cos

cosç,

(—^ == cosç, cos i^— y = sinç, cos(7r— çj =—

sinf— çj =— sinç, sin f - — ^j = cosç, sinlTr— ij =sinç.

La formule fondamentale

a = cos(p coscpi -f- sin© sin(pi oosô,

suppose que Tare polaire 6 est obtus, ou que les arcs 9 et (pi sont ^ des signes contraires, ce qui revient au même, et ces nœuf cosinus sont les scalars des quaternions formés par le produit de deux ternions de chaque système coordonné (45;). Ils sont égaux au produit de deux autres quaternions ayant pour arcs les angles cp et cpi respective-

CALCUL VBOTORIEL 107

compte du signe de ces arcs. On obtient

s connues :

cos6 + cos? COS91, a' =^— cosç siiicfi

in^costpj, a" =— sin^ii slnS;

fi cos6 + cos^ sin ç, b' = cos^f cos^i cos6

sin^ sinçi, b" — — cos?, slnS;

c' = cosy sinfl, c" = œst.

jui paraissent au premier abord peu syméwpendant par rapport aux angles ç et fi et e 9 en yi ne fait que changer les lignes en isigne de sin 0, qui doit aussi chauger. En

ne s'agit que de ia détermination relative r rapport à l'autre, les formules ne doivent md on considère l'un ou l'autre comme fixe, [6 le sens de la rotation polaire étant prise !, l'arc e change de sîgiie.

les rotations autour de K, ou de k on transit f en j; quand aux arcs NKet Nft nous

étaient rectangulaires, et par suite leurs isent, et leurs sinus se réduisent à l'unité, de c, c' et de a", b".