CHAPITRE V
MULTIPLICATION VECTORIEL
S I. — Deux vecteurs ten
61. Règles de leur produit. — Les règl( vecteurs donnés se déduisent de celles doni ment pour le produit des verseurs, quand d donnés sous la forme versorielle Q = RU ( facteur modulaire R par un verseur U, puise la multiplication algébrique des modules calcul numérique ordinaire, et comme ces a se mettre en facteur commun ou est ramené verseurs .
Toutefois quand les vecteurs sont donné* vectorielle Q = A + BI, comme somme scalar et d'un temion, il sera utile de repn de la multiplication sous cette dernière form
Considérons d'abord le cas de deux vectei noua désignerons par « et p. Leur produit ei quaternioD.
(2) (« = fec + j-y + U, ?=iay+jy nous aurons, en affectuant les calculs,
F 110 CALCUL VECTORIEL
K ,o\ \ S«P =— (xx' + yy' + z z') ;
f ^ ' }ToLo== i [yz' — y'z] + j [zœ' — ^'a?) + h [xy'- x'y).
L'on voit que le ternion du produit peut se mettre sous la forme d'un déterminant
Tap =
Nous trouverons, comme au ch. III :
1° c( Si Ton intervertit Tordre des facteurs, on obtient le quaternion conjugué ». C'est-à-dire que Ton a
(5) Sap=:Spa, Tap=— Tpa.
Ce que Ton pourrait déduire directement de la forme du ternion, puisqu'un déterminant change de signe sans changer de valeur quand on change une ligne avec la suivante. On en conclut les relations algébriques
(6) ap -f- pa = 2Sap, ap — pa=^2Tap.
2« c< Le scalar et le ternion du produit sont deux vecteurs perpendiculaires entre eux, et il en est ainsi, par définition, pour tout verseur quaternion .
*' En effet, si nous écrivons.
(7) ^^^=ioc'-^jy" + kz\
nous aurons évidemment, d'après l'expression (3) du ternion de ap,
(8) XX" + yy" + zz" =zo, œ'œ" + yY + z' z"= o.
Si nous considérons maintenant le quotient de deux ternions et que nous posions
a =^p, et g ^— co + ix' + jy" + kz",
nous aurons, en effectuant directement les calculs et comparant entre elles les diverses espèces d'unité,
CALCDL VECTORIEL
f + Z'-Si + 3''iC"=:î/,
3' =\la;'* + y'^ + z'" =\Ja:^ + 1/' + z*
i — z'x xy' — x'y a;'' + y'^ + «'* quotient de deux vecteurs ternions
un produit, que par la partie positive du
égfative du teniion, divisées par le carré
linateur.
i quateniion conjugué du quaternion ap
-(Sa?)' — (T ■!?}' = r'rr
lait dedeux vecteurs conjugués est égal
s des modules. »
l'ideiitité de Lagrange, en remettant les
ques des vecteurs :
s facteurs modulaires on aura la forme
•}"'f + la'b" — a"h'f + [a"b — ab") + {ah' ~ a'b)*=\.
j te produit de la somme de trois carrés en une somme de quatre carrés.
• se déduit de la môme manière du pro-
CALCUL VECTORIEL
+ (vy'+w'y+zx'—z'œf +(vy+wz +xy'^x'y]\
qui montre qae la somme de quatre carrés esf égale au produit de la somme de quatre carrés.
62. — L'équation Sap = o expriuie que les deux verseurs a et p sont rectangulaires, et leur produit est un vecteur ternion, perpendiculaire à leur plan, et Ton peut poser Tap = Y, de sorte que cette dernière équation est équivalente à la précédente. Si au contraire, on avait Tap =: o, cette équation exprime la condition pour que les deux vecteurs soient parallèles, et en désignant par œ le rapport de leurs modules, on a Téquation a = a;p, qui est équivalente à la précédente. C'est-à-dire : que le produit de deux vecteurs parallèles est un scalar.
§ II. — Trois vecteurs temions
63. Scalar de leur produit. — Trois vecteurs, transportés parallèlement à eux-mêmes en un point pris pour leur origine commune, forment un trièdre et le plan qui passe par leurs extrémités détermine un détraèdre.
Soient les vecteurs tenrons définis :
(14) ti=ix+jy + hz,^-^ icc'+jy' + hz', y==ico''jY+hz%
Leur produit est un quat rnion dont la partie scalar est le déterminant des quantités numériques des scalars coordonnés, ou le produit des modules par le sinus Irièdre de leur angle solide.
— S(a/âY) =
x''y'' z"\ =rrY'^.
CALCUL VECTORIEL
On voit de suite, parla tiiéorie des déterminants, qu'une permutation circulaire des facteurs n'altère pas le signe (lu scalar, tandis qu'une permutation impaire change le signe du scalar, sans altérer sa valeur numérique. On aura donc facilement le signe qui convient aune permutation quelconque.
64. — L'équation Sa^y — o, exprime que le volume du tétraèdre formé par les vecteurs (a, jS, y) cointiaux est nul. Alors les trois vecteurs sont, ou bien tous trois dans un même plan, ou bien deux' d'entre eux sont parallèles. En désignant par A le sinus-trièdre de ces trois vecteurs on a, par la théorie des trièdres,
A = sino) cosc = sincù' cose' := sinco'
•^ti
"cose",
et l'on aura, par exemple S (a /3 y) = rr'r"sinoD"cose". Or, r"coss" est la longueur de la perpendiculaire abaissée de l'extrémité de y sur le plan (a/3), et le produit rr'sinw" est le double de Taire du triangle compris entre les vecteurs aet/3. L'équation S (a 13 y) donnera donc, soit sinw" == o, soit cosw" = 0. Dans le premier cas les vecteurs a et p sont parallèles, car soit (x.-=œ^^ on aura en substituant cette valeur
et comme p^ est égal à r'^, et que y est un ternion. son scalar est nul par hypothèse. Cela résulte du reste, de ce que le déterminant [x y' z") ayant deux lignes qui ne diffèrent que par un facteur constant, il est par suite égal à zéro. Dans le second cas, y est coplanaire avec a et jS, et l'on pourra écrire
Sa^y = Sai3 [xcl -\- y^] = x Sa^a + î/ S a/32 .-= o ;
et pour les mêmes raisons le scalar est encore nul, car le déterminant a une ligne qui ne diffère des deux autres que par la somme de ces deux lignes respectivement multipliées
114 CALCUL VECTORIEL
par des facteurs constants, et par suite il est nul . L'on voit du reste qu'une permutation circulaire donne Sa^a = Sa*p qui font rentrer les deux scalars dans le même cas.
65. Le ternion de leur produit. — Pour trouver l'expression de la partie ternion du produit de trois vecteurs ternions, on aurait qu'à se reporter aux formules du produit de trois verseurs quadrants. Nous donnerons ici la méthode de Hamilton. Ecrivons
puisque le produit de deux ternions est en général un quaternion, il restera à trouver la valeur de Ta Tpy. Or, nous avons
2TpY=pY-rP»
d'où
2TaTpY=rTapY — Tayp ;
si nous ajoutons et si nous retranchons la quantité Tpay ou second membre, nous pourrons l'écrire
2Ta Tpr = T(apY + paY) - Tl^ay + arp) =T(ap+pa) y --T(aY + Ya) p= 2y Sap — 2p Say.
Cela suppose que l'on ait démontré que Ion a TayP = — T^ay. et par suite que l'on suppose connue la forme du produit de trois vecteurs ternions. Cependant, comme on ne prend implicitement que la partie ternion, on aura en écrivant T (ya). p =:— Tp. Tay, résultat valable parce que l'on a Tya = Tay, et une seconde inversion donne le résultat admis . Toutefois cette intercalation de deux vecteurs de signes contraires dans une addition vectorielle n'est pas sans objection, et cette intercalation est complètement arbitraire. Enfin en supprimant le facteur 2 commun et substituant la valeur de Tapy, on aura
(16) TaPy -= a SPy — + p Say + y Sa?.
Nous voyons que y et a peuvent être permutés san; la valeur du second membre. Daiiteurs en considén jours comme négatif le terme du milieu, on aura I de toutes les permutations. On trouvera, par esemp
<n) Tpay=TT«p-pS<.ï-«SpY + TS«p, .
On pourra en déduire diverses relations algébrique que
2S«pT=«PT-TPa, 2 T «py = afl^ + ypa, e
Comparez avec les formules du produit de trois v quadrants formant un trièdre (Ch, III) ; car en suppr facteur commun tr' r" des modules, ou n'a en réallt» relation entre les verseurs des vecteurs, et comme I du produit de deux vecteurs lemioiis positifs est n< faudra en prenant les valeurs numériques changer de tous les ternions.
66, Ternions conjugués polaires. — Les tro verseurs des trois ieruions («, fl, y) se coupent deux suivant trois autres directions qui forment un trièi jugué polaire du proposé. Si donc nous multiplious deux les vecteurs ternions donnés, nous aurons troi ternions qui forment un nouveau trièdre, savoir :
A=Tpy = |0' ^ iB=TTa = IO' ^ |C = TaP =
(18) \z2' z"\, \xcc'x"\,
SI l'on supposait les trois directions, a, p, y, r laires entre elles, le sinus trièdre devient l'unité nég le ternion de leur pi-oduit trots à trois devient id ment nul, puisque chacun des scalars Sap, spy, S nuls, et les ternions A, B, C forment un trièdre r» lîûre qui coïncide avec le proposé.
116 CALCUL VECTORIEL
$ m. Vecteurs qiiatemions
67 . Forme versor telle. — Si nous considérons la forme versorielle, nous retrouvons les formules que nous avons données précédemment pour les produits des verseurs quaternions. Soient
(19) Q=RU=R(cosa)+Isincà), Q=R'U'=R'(cos«'+rsina>'), et posons
Qi = QQ' = R, (cos wi -j- Il sin toi) ;
nous aurons en effectuant directement les calculs :
!S UU' = cos(Di = cosox coso)' — sin<o sinto' cos 0, TUU' = Il sin (01 = I sino) cosw' + V sinw' cosw + r' sinw sino)' sin0,
où V est un ternion-unité perpendiculaire au plan de (I V) et 6 est Tangle dièdre compris entre les arcs w et w, dans le triangle sphérique
(21) UU'Ui =—1 ;
car nous avons vu que le verseur Ui est le troisième côté du triangle sphérique formé par U et U' sur la sphère unité.
Dans le cas de deux plans verseurs rectangulaires ^ = ô> Ton a
(22) QQ' =z RR' j COS(0 COS(o' -I- Il yjl — COS^co COS*(o' (.
Dans le cas de deux plans verseurs parallèles, 6 = 0, Ton a
(23) QQ' = RR' I cos ((o + (o') + I sin ((o + (o') j .
On retrouve le cas particulier des quaternions plans, dont les règles de calcul sont bien connues.
La condition pour que. le produit de deux quateriiioiis
CALCUL VECTORIEI. 117
donne un ternion simple, ou quelescalar soit nul, est !ii = ^, ce qui donne
(24] tangui tangiu' = cos9,
qui est une formule connue des triangles sphériques rectangles.
68. Forme vectorielle. — Considérons maintenant la forme vectorielle, et soient
(25} Q = A + BI, 0' = A' + BT,
et posons
