I- =1, la fonction versorielle binôme P - (m

nous avons ébauciié les propriétés, si de plus à un ur plan de la variable indépendante, nous substituons jntour fermé arbitraire sur une surface du champ, int contenir un ou plusieurs points critiques, la méthode uchy devient immédiatement applicable à la théorie oints racines el des points critiques d'une fonctio

^t^« ../..-NÇ^^

CALCUL VECTORIEL 155

vectorielle à forme algébrique ; mais elle nous montre eu même temps la multiplicité des solutions communes à quatre fonctions cartésiennes de quatre variables, réelles, dans la fonction linéaire

u=X + iA+jB + hC,

à laquelle il sera préférable de ramener sa solution.

89. Forme linéaire vectorielle. — D'une manière gênéraie, une fonction explicite

(11) it=:F(i;),

d'une variable quaternion v, peut toujours se décomposer en une somme linéaire de la forme

(12) w = X + iA +iB + hc,

où les X, A,B, C, sont des fonctions scalars des variables réelles, â?, a, ô, c, des composantes du vecteur de point

(13) v = x+ ia +jb + hc.

En effet, puisque toutes les opérations algébriques que Ton peut exécuter sur les coordonnées ternions i, ;, k, reproduisent soit Tunité réelle, soit Tune des unités imaginaires /,j,ft, il est toujours possible de ramener une fonction explicite à la forme ci-dessus.

Si donc nous posons

(U) ( X = Fo [Xy a, &, c), A = Fi [x, a, &, c), f B = F2 (x, a, b, c), C = F3 [x, a, b, c),

qui,ajoutées vectoriellementjdoi vent reproduire la fonction w et que nous supposions que ce système simultané soit résolu par rapport aux variables x, a, b, <?, abstraction faite des difficultés de Télimination, ainsi que des valeurs multiples résultant du degré des équations algébriques, nous obtiendrons quatre fonctions

196 CÀIXJtft VECtÔRlEL

qui, ajoutées vectorîellwïient, devront reproduire l'une dèS valeurs de la fonction inverse

Les points critiques s'obtiendront algébriquement par la résolution des solutions communes

ce qui donnera généralement mnp q valeurs de v pour lesquelles la fonction u s'annulera, en désignant par m^ n, p, q, les degrés respectifs des équations (17) . Les paramètres de ces deux systèmes (14) et (15) ne sont pas arbitraires. Ils sont liés entre eux par des relations algébriques qui expriment, d'une part la perpendicularité des trois paramètres temions A, B, C entre eux, et d'autre part la perpendicularité du paramètre scalar x, au ternion résultant

Ly = îA + jB + KG, et il en est de même pour les quatre paramètres x, a, b, c, considérés comme des fonctions des X, A, B, C. Ces relations constituent la théorie des paramètres différentiels, et donnent les conditions d'intégrabilité d'une quadrature vectorielle

(18) Y = r(u)dv,

que nous étudierons dans la troisième partie^

Les X, A, B, C sont donc de nouvelles coordonnées, en général curvilignes, qui expriment, soit les fonctions de point F, soit la valeur numérique des paramètres de quatre surfaces particulières du champ, soit enfin les coordonnées des fonctions inverses /", sans que cette extension, coitiiné l*a montré Lamé, donnée à un même symbole, occasionne de confusion. Leur interprétation se rattache d'ailleurs aux trois points de vue analytique, géométrique et cinétique de la connaissance scientifique.

Il semblerait qu'il faudrait 6 variables indépendantes, 3 pour déterminer la grandeur et la direction du vecteur scalar, de même qu'il y en a 3 pour déterminer la grandeur

CALCUL TECTORIBI. " 15T

1 du yecteur ternioa d'un quaterniott. Mais tes es de perpendicularité, que nous venons de qui caractérisent une quantité vectorielle, variables à 4 distinctes, nécessaires et suflléterminer un quaternion.

Jsumé, la résolution d'une fonction vectorielle forme algébrique, c'est-à-dire, ne renfermant xplicite d'opération périodique, se ramène à Va 1 de quatre fonctions réelles de quatre variable»' sèment, pourque l'on puisse exprimer une foscvectorielle u, en fonction ïilgébrique d'une I vectorielle v do la forme w = F [v] et de parants, aucune des fonctions X, A, B, G ne peut rbitrairemenl et elles doivent satisfaire à un inditions algébriques, qui constitue la théorie de point.

ons de point . — On appelle fbnction de point lérique réelle d'une grandeur, soit analytique, lue, soit physique, déterminée en chaque point uitéou indéfini, laquelle valeur change d'un tre du champ, et change aussi avec le temps point d'une manière continue ou discontinue données curvilignes).

ité de la fonction est exprimée par une relation ïlle, sans qu'il soit nécessaire de recourir à une indéfinie. D'un autre coté, la discontinuité issurée par la méthode même du calcul infinimoyen d'un coefficient de masse ; car de même st l'élément de discontinuité géométrique, de le est l'élément de discontinuité physique infini analytique de point a'exprime en coordonnées 1. Egalée à une constante ou paramètre, elle

ivr .

représente une surface ou un lieu géométrique des points du champ pour lesquels cette valeur numérique reste constante, quand on fait varier les coordonnées. Une fonction de point est une fonction scalar, et par suite une fonction de plans, et peut toujours être considérée comme intersection ou enveloppe de ses plans tangents. Telles sont en particulier toutes les grandeurs scalars, comme la densité, la pression, la température, et généralement un potentiel, dénotant un état physique déterminé de masse. Leur lieu géométrique prend, suivant les cas, les noms de surface de niveau, surface isotherme, surface iaodynamique, isentropique, isostatique, et généralement de surface potentielle, suivant la nature de la grandeur que cette fonction de point définit.

Autrement dit : « Une fonction de point égalée à une constante représente une surface dont cette constante est le paramètre. »

Si Ton donne à cette constante une série de valeurs successives, on a une série de surfaces, qui forment une famille de surfaces, dont la forme peut changer beaucoup avec la valeur numérique du paramètre, et dont les formes successives définissent un champ.

Une fonction de point des coordonnées et du temps donne à chaque instant une nouvelle famille de surfaces, que l'on peut considérer isolément en regardant le temps constant. Si le temps varie en même temps que les coordonnées, on a une famille de surfaces d*ondes dont le temps est le paramètre ; le temps est alors une fonction de point déterminée. Réciproquement le paramètre d'une fonction de point peut toujours être regardé comme une fonction implicite du temps, ou comme la dernière variable qui rend la fonction homogène, de sorte qu'on peut toujours considérer le temps comme la variable scalar d'un quaternion.

La famille de surfaces que Ton considère, ofiï'e générale-' ment plusieurs paramètres géométriques distincts, toUs

nécessaires à la, déânition complète du liea. £ie puisse les exprimer tous en fonction de l'un d'entre est souvent utile et préférable d'exprimer chacui

séparépient, principalement pour niaintenir la symd formules et faciliter les éliminations. Ainsi, le pai . d'un plan, qui est la seule surface du premier degrf longueur de la perpendiculaire abaissée de l'origine pian et eu assigne la direction par son verseur, et sa | par son module. Dans les surfaces du second ordre, i] général trois paramètres distincts et conjugués ent qui sont les valeurs des axes de ces surfaces. Dan: particulier de la sphère, ces paramètres se réduise seul qui est le rayon de la sphère.

Soit une fonction vectorielle « = F (y) du premier chacune des fonctions X, A, B, G du quatemion

u = X + iA-\-jB-\-liC

sera une fonction du premier degré à quatre variablei géométrie nous apprendqnedeiix plans se coupent suiv droite, et que trois plans se coupent en général en un Mais c« que te calcul vectoriel nous apprend de plu qu'un quatemion linéaire et du premier degré, dél non seulement le point d'intersection des trois plan; vecteur ternion, mais que ce point se trouve de plus quatrième plan directeur, qui est le plan scalar X quatrième coordonnée vectorielle. En donnant à la v scalar X une valeur arbitraire on aura une suite d parallèles perpendiculaires à leur axe scalar directif tandis que la série des plans scalars se meut paralli à elle-même, la série des plans A, B, C rectangulaire! eux, forme un réseau dont l'intersection sera toujou valeur de la coordonnée ternion p = ia -^jb + Se, ( leur de point v, et cette extrémité (pj se trouvera ti sur la valeur correspondante scalar lo.

cktcm. TWîToiiitt, KMons qa« la fosction X soit seule du second ordre, les fonctions {A, B, C) soient du prenaier degré, noua pour rextrémité p, l'intersection commune des plans C), tandis que cette intersection sei-a sur une surface <ad degré, et il y aura deux valeurs du scalar qui ■ont à la question. Vlu3 généralement les fouctions 3, C seront des fonctions algébriques des d^rés m, , et le nombre des solutions de la fonction ti ^ F(c) I mnpg au plus. Si l'équatioii est liimiogèDe et de n, on aura m* valeurs distinctes de u pour chaque de V. Si, par exemple, les trois fonctions (A, B, C) Dis surCaces homofocales conjuguées du second ordre,, iuite octhogonales, la quatrième surface X homogèn» surface réglée du second ordre, ou le parabokMde olique sur lequel se trouve le point teraioo des trois s homofocales, et complétera le champ vectoriel du ordre.

l'il Importe d'observer dans le mani^uent desi coor- 9 vectorielles, c'est que la partie teroiott

iA+jB + /cC,

artie scalar, bien que pouvant varier d'une madépendante, sont liées entre elles par la continuMé nction M. On pourra toujours au moyen de la partie î., supposée nulle ou constante, éliminer la variabtefc s fonctions (A, B, C), et retrouver lo système, des, inées de Lamé dans uue de ses positions particnlièrea. ne on pourra, an moyen des trois fonctions A, B, C, r de la fonction X les coordonnées a, b, e, et obtenir lation en os seul, qui donnera les positions correapoale l'axe scalar ou du paramètre scalar.

iroquement si les quatres surfaces (X, A, B, C) vlauibanger de forme, Ids coordonnées vectorielles d'ita ' du champ changent suivant un trajst I

IL VECTORIBt 161

ant sur les quatre surfaces. Si le surfaces, le paramètre de celte celui-ci disparaîtra de la difféit-à-dire que le trajet sera consent à cette surface. SI le trajet de îux surfaces, X et A par exemple, igné d'intersectiou, et l'on aura d d'une trajectoire plaue de la i est constant, système qui a été uet, et ainsi de suite.

R^. — Le point se détermine de , soit comme intersection com- , soit comme addition Tectorielle

nt simultanées représentent les ;ux surfaces représentées par les Réciproquement tout trajet vecôtre considéré comme l'intersecec la première. Trois fonctions de itent un ou plusieurs points comspoint. Enfin quatre fonctions de priment le vecteur de poiini de la t de ces quatre fonctions, [[uatemion c'est trouver Tintersurfaces octliogonates (A, B, G} I intersection se trouve sur une fonction w = F (r). Réciproqueu plusieurs vecteurs de point, il mme l'intersection commune de :oordonnées vectoriellement, par t n'a qu'une détermination rela-

i les plus simples et auxqudles se

162 CALCUL VECTORIEL

ramènent toute? les autres sont exprimées par les paramètres de quatre plans conjugués vectoriellement et qui déterminent un iK)int vecteur v = x -\- in -\- jb + hc. Los paramètres sont les normales aux plans coordonnés, et sont appelés coordonnées rectiligncs ou cartésiennes. Mais de ce que le système cartésien soit fondamental, il ne suffit pas à donner toute la généralité qui convient à un système de coordonnées quelconques. En effet, quand on a égard à la dualité du nombre circulaire, on -voit que le système cartésien a pour conjugué ternion ou imaginaire le système sphérique, qui est tout aussi fondamental, et qui de plus est lié au système planaire par la dualité de l'unité réelle et imaginaire.

Descartes dans sa géométrie (1637) imagina de déterminer la position d'un point sur un plan en menant par ce point des parallèles à deux droites fixes qui se coupent à Torigine ; l'une ordinairement verticale est Tordonnéc, Tautre horizontale est Tabcisse. Pour déterminer un point il faut tenir compte non seulement de la grandeur numérique (module), mais encore de son signe (qui est un verseur). Ces distinctions de signes ne présentent aucune difficulté aux personnes familiarisées avec les principes de la trigonométrie et les règles de l'addition des vecteurs .

Le système des coordonnées vectorielles est une généralisation des coordonnées curvilignes de Lamé, et il n'en diffère pas, quand il s'agit d'une fonction linéaire ternioti ou dont le scalar est nul ou constant. Plus généralement les fonctions de point curvilignes (X, A, B, C) étant toujours considérées comme de nouvelles coordonnées, dites vectorielles, sont assujetties comme les coordonnées cartésiennes ou rectiligncs fx, a, by c) à des conditions qui établissent entre elles des relations géométriques nécessaires.

La géométrie vectorielle à quatre coordonnées indépendantes, conséquence de la dualité réelle et Imaginaire, est

CALC0L VECTORIEL 163

îométrie tétraédrique. Dans cette dernière 3 sont pas iudé pendantes, et leur rapport lé, de sorte que la quatrième variable est en lesure ou l'échelle de construction de la quations sont essentiellement homogènes, ie vectorielle, la quatrième variable est la ou scalar relativement à la résultante con- ■eou ternion des trois autres coordonnées, quième variable arbitraire pour rendre une lie homogène. Nous pouvons déânir leur anière suivante : Les coordonnées tétraéi plans de rcféreuce fornoent généralement ù vient leur nom, et il y a toujours une 3 de la première, c'est-à-dire, à laquelle des lière répondent des points de la seconde, et à remière répondent des plans de la seconde.

m des plans de référence s'éloigue à l'infini, lystème cartésien. Or il y a toujours nu iférence conjugé anharmonique du premier ; ipproche de l'origine, l'autre s'en éloigne à (trouve le système vectoriel proprement dit.

ntrevu la nécessité de ramener les coores ou curvilignes à un système triplement l avait abordé le système général des coor- , mais lia reculé devant la multiplicité des st trouvé ingénieusement ramenëau système jugués polaires, ou des composantes norelles, conséquence inévitable de la dualité

rlable kodogrnplie. — Le choix de la phe, ou de la trajectoire d'un vecteur de fonction explicite m = F («), n'est pas qu'on pourrait le croire. En effet, d'après

i-^vfïts^a

164 CALCUL VECTORIEL

la nature de la connaissance rationnelle ou des lois objectives de la pensée, on ne peut avoir à considérer que trois points de vue du concret des choses, savoir : le nombre, la figure et la masse. Au point de vue du nombre, ou purement analytique, la variable paramétrique est un coefficient réel de mesure de quantité, ou une telle somme vectorielle de coefficients réels, qui sont au nombre de trois au plus pour une sommation de ternion, et de quatre pour un quateriiion.

Il en résulte que la somme vectorielle d'un nombre quelconque de vecteurs se ramène à un vecteur de point coordonné, qui ne peut dépendre que de quatre indéterminées, de sorte qu'une sommation de plus de 4 indéterminées scalars n'a plus de signification géométrique définie. En effet, soit généralement n = ^ w Q^oà les w sont des indéterminées numériques et les Q des quaternions donnés, et de la forme Qi = Xf + ^'^i + J^i + KCf, elle prendra la forme linéaire

u = W + iX+jY + kZ

où Ton a posé pour abréger

W = 2wD, X = SwA, Y = HwB, Z = JlwC,

et comme nous n'avons que quatre équations, nous ne pouvons déterminer que quatre des indéterminées numériques en fonction linéaire des autres, qui restent arbitraires. Ce qui s'ac<x)rde avec les conditionnés géométriques des polygones, car, au-delà du quadrilatère gaiiche, la composition se ramènera à une suitelinéairede tels quadrilatères plans ou gauches, et en définitif la figure géométrique la plus simple est le tétraèdre, comme nous aurons occasion de le montrer.

En second lieu, au point de vue géométrique la variable hodographe est la trajectoire réelle du point vecteur, quelle que soit sa multiplicité, et chaque élément rectiligne donne la trajectoire rectifiée. Quand on considère, par exemple, un vecteur de point ternion comme fonction de

ItCl'L VBCTORIÏ

strémité mobili

les fi satisfasi

rr. «]' + [/

lérivée de A C

on carré est l'i au moyen de iir principale \ lement. Soit, p ise pour une v; ecteur, nouspt

A = &smQ

ctions paramé it l'équation ^ hélice circulaii

j-j'èsiiiQH

, au point de vu mps des dépla

I indépendaitt^e irest une fond finitif la variai fait iamesurei pas de représt "ique est forcén nsidérés dans 1 oire d'emplcyt

166 CALCtn, vt

quand il s'agit de l'équation d'i prise dans son contour réel et valeur Dumérique de ses param tantset réels; de même qu'il n'es le calcul difiérentiel quand il s'aj ou de transformer en exponen nelles ou implicites, tandis qu'a est de ramener {far la substitut dantes au calcul alg^ébrique, et i systèmes de plans et de droites

• rx'

fK.

168 CALCUL VECTORIEL

W = DoW + Dix + D«y + D3Z,

X =AoW + AiX + A2y + AaZ, Y =BoW + BiX + B2y + B8Z,

Z = Co w + Cl X + Cg y + Cs z,

et si nous substituons ces valeurs dans Téquation (1), en mettant les w, x, y, z, en facteur commun, nous pouvons récrire sous la forme

(4) F (u) = w Oo + X Oi + y O2 + z Os,

que nous appellerons la forme cartésienne^ parce que l'on peut considérer la forme vectorielle des Q comme implicite. Nous avons posé pour abréger