D8 + «'A2+^B,+ AC
O3 = D3 + ik^ + JB3 + AC3. '
Q'o==Do-(iDi+JD2 + ftD3) 0\=Ao-(îA, +iA2 + M3) Q',= Bo — (iBi .+ ;B2 + /^Bs),
Le système (6) constitue ce que nous appellerons le système conjugué inverse du système (5) considéré comme direct. A l'aide de ce système nous pouvons écrire Téquation (1) sous la seconde forme
(7) F (u) = S0> + i SQ\u + j SQ'zU + = Â SQ'zu,
que nous appellerons plus spécialement la forme vectorielle, parce que les coordonnées vectorielles (i, ;, U) y sont exprimées explicitement. Elle donne la forme linéaire (3) des fonctions scalars de point W, X, Y, Z de Téquation (1).
94. Théorème,— W résulte de la comparaison des formules précédentes que, si la forme cartésienne est exprimée en fonction des quaternions directs 0, la forme vectorielle
La-»^*^.t.:<:iiLi<"
-. . ^^ >lfel
ent en fonction des conji
léral el. indispensable dai [uaternions. Nous voyoui 1 un système à ternion pt lU négatif. De plus ils st s' mêmes 16 coefflcienta e e les lignes de leur dét mes et réciproquement, e ces 16 coefficients dévie coefflcienta distincts, ot lystèmc des Q quant nu s conjugués, et ils ont itraires. Nous dirons qu' igués d'eux-mêmes.
par Q le conjugué de module- Tandis que noi de 0, de telle sorte que 1' nfusion nous écrirons I
et toute quantité scalai
termes semblables. r degré à forme entière à forme cartésienne imt!
finie de termes de la
uconnue, et lesp et lesç istants, qui peuvent se r e à des ternioiis ou à d de l'inconnue peuvent la Ibnction F (ttj, car
CALCUL VKCTORIKI.
sir convenablement l'origine commune des vecteurs, de îère qu'elle soit commune aux deux variables initiales
t Ui ce qui est toujours permis. D'abord parce que tout unie de vecteurs peut être transporté comme on voudra, lite parce que la relation analytique donnt-e exprime une tion définie de piisitiou.
i nous opérons directement sur l'équatiou proposée (8), 1 aurons évidemment d'après l'équation (4).
Qt=Spq, Qi = Spiq, Qt^T.pjq, Qt = ^phq.
jsons
p = g -i- il -^ jm + kn, q=g' + il' -j-jai' + ftn' s aurons par la règle du produit de deux quaternions
iD» = ï ! gg' — (11' + mm'+ nn' t = S Spq, Ao = S ! gl' + g'I + mn' — m'n i =— S Sipq, Bo = S I gm'+ g'm + n'I — n'i ] =— 2 Sjpq, Co = ï I gn'+ g'n + Im' — l'm ; =— S SIcpq; etc. insi de suite pour les autres coefficients. Nous aurons i le tableau suivant, où nous avons supprimé le signe me pour abréger et qui montre comment et pourquoi les aeflîcieiits sont distincts, savoir :
I Dg=Spq, T)i=Spiq, Dt=SRJ7, T)i=Spkq, A»==—S'pq. Ai=— Sip)?, Ai=—Sipjq, As=— Sf'pftg, B^—SJi>g, B,=-S;p(î, B>=—Sipjq, B^^-SJpkq, [ Co=— Sft/.7, Ce^—Slqiiq, Ci=— Sftpj?, Cg=—Slcphq. F (uj est un quaternion constant, nous voyons par la iction des termes semblables, que l'on a pour chacune 4 inconnues \V, X, Y, Z, une valeur unique, et par î la valeur du vecteur de point cherché et unique
w = w + (X + jy + ftz.
iffit pour cela que le déterminant du second membre des ttions (3) ne soit pas nul. On a donc en déllnltif un sys-
CALCUL VECTORIEL
ire quelconque de cette variable. En effet, cela revient sidérer les Q' oomme des fonctions linéaires de même ;, en fonction des huit quateriuons donués ou du sysdes p et des g, savoir :
,y. = /'(?j) = Sp'o9i +iSp',qi-i-jSpfq, +ftSp'39i, ■ Q\= r{p\)=^ Sqap\ + i S?iP'i + / Sqip'i + fi S?ap'i.
i relations donnent la forme vectorielle des Q et des Q\ nction des trente deux coefficients des p et des q. En c'est comme si l'on décomposait arbitrairement les Q tit les quatre composantes des quateriiions p et les Q .nt les quatre composantes des quatemions q' sons
ipo = 8« + ïlo + i m* + A n», Pi = Si + i II + / mi + ft ni, P« = S( + f U -i- j dî + /( n*, P8=S3+ïlï + ;m, + ftn3;
9o = d« + /afl4-j"bo + ftco, = d, + ïai+>b, + Ac„ = d, + f a, + j b( + ft c,, = d, + ïas+j bs + ACa.
us aurons pour la forme cartésienne des Q et des Çl,m quant directement le théorème du n» 94 aux for
iÇtt = dûPo + aopi + btfJt + Cop3, Qi = dip» + aipi + bi/i, + Cipj, Qî = dtpo + ai^i + bîpi + c^Pj, Qi = dap» + aaPi + bsp^ + CaPs,
i(;^o =Sû$'o + Siiy'i + Stq't -f- SîS'a, 0'. = Wo + !:?'« + Wt + 139».
C'î =mo^'i, + miç'i+ mîÇ')+ œag's, t^'a = U050 + Hip'i -f- atQi + naffs.
174 CALCUL YECTORIBL
poserons poar ces scalars des 16 quantités numériques, données par les équations (29), les notations suivantes
Po= So + / Lo +j Mo + k No, Pj = Sa + i U +j M« + k N2,
P'o=So -(eSi +JS2 +/cSa), P\ = Lo — (i U +JL2 +h L3), P'2 = xMo — (i Ml + j M2 + A: M3), P'3 = No - (i Ni + j- N2 + ft N3) ;
et TappIicaLion du théorème du n° 94 donnera pour leurs formes cartésiennes implicites les formules
( Po = SjQo + lo^'i + m&q2 + no73,
1 Pi = Si^o + li^i + mi7j + ni^s,
Pt = S2qo + I271 + ni272 + n2g'3, Ps = S370 + 13^2 + m372 + n3g3 ;
P'o = do2?'o + àiP\ + d2p'2 + àsp'z, P\ = ^p'o + aip'i + aap't + aaP's, P\ = bo/y'o + bi??'i + hip'2 + b32?'â,
P's = CoP'o + Cip'i + C2P2 + C3p'3.
Ces formules nous conduisent directement à la théorie des fonctions linéaires conjuguées.
% II. Fonctions linéaires conjuguées
98. Définition. — On dit que deux fonctions linéaires vectorielles sont conjuguées quand elles résultent de rechange réciproque des systèmes de quaternions coordonnés. Elles sont par suite formées des mêmes coefficients numériques, mais dans un autre ordre. Telles sont les deux formes
CALCUL VBCTORieL
ni) t F ("1 = P" S7> + T'i S-y'i» + )>. Sq'îU + ;
* ' I F'(") = '/« S/v.' + q\ Sp,'^- + 9ïSw' + < Les deux foiicUons F et F' sont deux fonctions
■pou von s appeler fonctions conjugm^-es réciproque? la forme de ces deux fonctions, nous voyons inaméi que nous pouvons considérer deux autres fonctioi guécs n^ciproques et conjuguées complémentaires veinent des précédentes, savoir :
l F [ti] = <fa Sp'ou + fn Sp\n + ?! Sd\u + ' F'{«) = p'oS'/tM' + p\ Sq\u' + p\SqtU' + ; Nous avons vu qu'une fonction vectorielle di degré de la forme la plus générale peut sexf fonction de quatre quaternions à ternions rectar Alors deux fonctions conjuguées réciproques dépe mêmes 10 coefficients numériques. Nous aurons forme cartésienne implicite des F et F' les formules
,„ \ F [u) = w Qo + X Oi + y 0. + z Qi,
et pour leur forme vectorielle explicite, nous iiun
manière inverse et réciproque
( F (») = S0'„« + i SQ'.iu + j SQ'iU + kSQ
* ' ( F'iti) = SQ,u'-\- i SQ,?i'-\~J SQtu -\- le SC3i Nous trouverons de la mi'me manière, pour les (
tions conjuguées F et F', en fonction des P pour li cartésicjuie rectangulaire
^ F Ut) = w/Po + xPi + y P^ + zP^, ^ ' (F'(M')=wn+xP'i+y/>, + zPa et pour leur forme [vectorielie explicite, par l'a théorème n" 94,
^ . i F (u) = SP> + iSP\n +j SP'iH -i If [a] = SPqU + i S/'itf' + J SPtU- 4
CALCUL TECTORIEL
y a donc quatre manières d'exprimer une foncfjon ire d'une variable vectorielle ii, eu fonction de huit eniions donnés, et dépendant des mêmes trente deux tantes iinmériques, savoir : deux fonctions conjuguées roques F, et F', qui dépendent des mêmes quaternions
deux autres fonctions' conjuguées réciproques F et F', Icpcndent des mômes quaternions /*, et que nous avons lé conjuguées des premières, iwrce qu'elles dépendent de ions complémentaires des \ et », ou den conjugués di- . des fonctions linéaires \, n.
% in. — Fonctions linéaires temions
. Définilion. — Si nous supposons maintenant que les 0' deviennent des tendons, la fonction U deviendra «ndante de la variable scalar w. Nous retrouverons irmules de Hamilton et Tait en supprimant la première et la pceniière colonne dans les formules à 4 termes, lis les quaternions se réduiront à des ternions. faut remarquer cependant qu'en faisant Q' = o les trois s restantes Q,',Qt', Qî restentdes quaternions tandis que donnentquatre ternions distincts. Donc une fonction F (p), en posant ? = ïx + jy + hz, qui se réduit à fonction de la variable ternion p est encore uu quaterde 4 scalars à trois termes, comme si l'on avait fait ', Si au contraire on a seulement Q=o les Q' se réduiàdes ternions et l'équation U = Fjfijest encore indépeii- ! de w,car la forme cartcsioiine se réduit à trois termes, [ue soit W, puisque par hypothèse 0„ ^o, et la forme Tielle est un quaternion dans chacun des termes duquel :alars sont de la forme SAf, où A est un ternioa
, VECTORIEL 1'
irielle quateniion (/ = F (ç) i vecteur (le point ternion p, se I les veeteiirâ donnés se rédu ïriable scalar w disparait eiicoi quesoit sa vateur. C'est ce qi remontant à la forme généra
'.on. — Désignons par a, p, y, i on supprime la première ligne i ;s formules (20). Désignons i evieiinent les ji. quand on suj t la preniière colonne dans li
f — to + Ji/ + ks, pour fait w ■^o, dans ii, et si noi lue devient une fonction vectj mêmes conditions, nous auroi inpUcite
i'. Y) ce que devieunent «, p, en colonnes, et l'on voitd'apr iout des ternious de signes coi.
jnction linéaire o est un ternit
fi, C ce q,ue deviennent les ( les ternions et par L, M, N f
les mômes conditions, nous oi ;s fonctions linéaires conjugué lomplénientaires en fonction < onnés. Pour plus de comniodi lies relatives à ce cas particulic
(. = a, +jb, + ftc„
.) p-.ia,+A + Sc, ! y = ïaj + jba + ftCî ; Nous aurons de la même mani
/^=iA, +>Bi + ftC, ) fl = iA,+;B, + ftC,
(c = iA, +>B, +kC
tL = iL, +jM, +ftN ) M=!Li+jM, + ftN,
( Jf=iL, +jM, +*N, Nous auroDS les deux fonctio et,'
Elles s'expriment en foncti( verses des A', B\ C, de la raan forme vectorielle explicite et r
"' l, = iSAt+j'.
. pour la forme cartésienne imp
Si nous désignons de même p notions conjuguées rêciprotiuea
(tu = a Sa p + p . nous remarquerons que ce t ous trouverons immédiatement iplicite rectangulaire
<io, !'='fft''
180 CALCUL VEOTORIEL
vectorielle du plan, qui est une applicatii:
la théorie vectorielle des équations du pi-ei
101. Exercices. — Deux fonctions U donnent deux vecteurs différents, qui, ajo vectoriellement, donnent les grandes et lef du parallélogramme construit sur chacun
Puisqu'une fonction linéaire et sa con s'expriment en fonction de trois fcniions o
nous aurons
a-a' ^x [A^A') + y (B-B-] + et comme ces qnatcniions ont par hypothi minant, tes termes de la diagonale dispa tion précédente, et en posant pour abrégei C— B3 = A, As— C, = B, Binous aurons simplement
1—a' = 1 i j h \ X y z I I ABC| .
Si donc nous considérons le vecteur con D = iA+jB +kC, nous aurons pour la forme cartésienne Im »— «' = X T(i> + y TjD + z L'on voit que la condition pour que le v jugué de lui-même, est que le vecteur D :
déterminant des A, B, C soit symétrii A', li', C ne diffèrent que par le signe de Le produit m' est un quaternion, qui se ù les fonctions sont deux vecteurs conjugi
182 CALCUL VRCTORIBL
d'équations linéaires simultanées se retrouve dans toutes les questions algébriques linéaires dont les seconds membres sont respectivement proportionnels à chacune des variables numériques d'un vecteur de point ternion, et il y a en général trois valeurs distinctes qui satisfont au même système simultané, soit qu'il s'agisse de la caractéristique de trois équations -différentielles linéaires à coefficients constants, soit qu'il s'agisse de la détermination des axes d'une surface du second ordre, soit qu'il s'agisse, comme ici, de déterminer les paramètres de trois fonctions de point conjuguées d'une fonction linéaire ternion.
D'après la forme d'une fonction vectorielle du premier degré, dépendant d'un vecteur de point *
(1) îi = w + ix + jy + hz,
l'expression générale explicite £/"= F (w^d'une telle fonction peut toujours se mettre sous la forme coordonnée vectorielle
(2) U = \\ + tX + JY + ftZ,
où les paramètres \V, X, Y, Z sont, comme nous l'avons vu, quatixi fonctions homogènes du premier degré, et qui dé^x^ndont j^r suite de 10 coefficients numériques constants au plus savoir :
' W = Do w + D, X + D, y + Ds z,
\ X = Ao w + Ai X + Aa y 4- As z,
^ Y = Bo w + Bi X ^ B, y + B3 z,
Z = Co w + Cl X + C2 y + Cs z.
CVst-à-dire, que nous pouvons écrire la fonction vectorielle sous les deux formes équivalentes
^ / r - w (?, ^ X Û, -r y <fc -4-2 Q^,
suivant que l'on oMonne rèquation suivant les coordonnées
CALCCL VECTORIEL
e applicable directement à une fonction quatârnioii. nélhodca l'avaiitafi;(> surcelle des fonctions répétées itrer les propriétés géométriques des vecteurs comainsi que le mécanisme purement algébrique delà n inverse du premier degré. Si donc nous posons, i le mode de notation précédente, pour les détermimincurs premiers, des petites lettres correspondant ■andes lettresdeséléments, et inversementdes grandes correspondant aux petites lettres des èlémenU, nous i relativement an système des huits quaternions qui t dans la forme générale d'une l'onction vectorielle du ir d^gro, et ^ue nous avons désigne parles pet les î, ^mc suivant
[ Po = a. + ; S, -f- j Sî + ft Sa.
j Pi = Mo+ / Mi+J Mt+ h Ms,
Iqi = Ao+ i Ai+ ; Aa + ft As, q, = Bo + i Bi + ^- Bt + ft a,
(qj = G,-j-ïCi+jGj+ft Ca.
observera que la substitution linéaire se fait par la tntion conjuguée inverse, comme il résulte de l'inspoc- II tableau précédent. Les clénionlsdes seconds membres îsiieclivement les déterminants mineurs premiers des ïs ?, que nous avons exprimé précédemmejit 1 1, (16 , par de petites lettres.
L posé, soit la fonction f = P (u), savoir :
/' = ^„ S'/«(( + l>i Sî'i» + Pi Sq'iU + )\ S'i3'L. roiiverons immédiatement pour la fonction inverse pi^t* = q„ Sp'o^-' + q, Sp'if; + q? Sp't(/ + qs Sp'jf/. eSet si nous multiplions l'équation proposée (10) par
CAUIDL VECTORIEL ioo
is prenions les scalars, trois termes dispaétant nuls et il reste
IS^'oU = ip Sq'aii, Sp'i(/=ipSlï'iM.
Sp'3l/= ApS/s". ?1
DUS ajoutons les équations [12) respective- %
i.par les q, en observant que par la théorie '-j
a nous avons J
qi Sq'iU + q* Sg^iU -f q» S-j'ai* = i,»(. -^
nière d'exprimer une fonction réciproque -[(,
us trouvons la relation (11), qui résout '",\
la question de la fonction inverse. *
que l'on obtiendra pour la fonction inversa r
■fférentes, eu prenant pour la fonction directe . '
s fonctions conjuguées F, F' et F, F', que lies précédemment. /
le passer du cas général d'une fonction quas particuliers (l'une fonction teniion, en «mière ligne et la première colonne des p et ' :
. disparaître la première ligne et la première desq, et qni rédnit ces derniers éléments à inomes, qui sont les tornions conjugués lions des p et des q.
le la- m^me manière, qu'il y a quatre maria fonction inversepd'une fonction ternion, [uatrc fonctions conjuguées que nous avons s' et îT, ît', qui sont ce que deviennent les t F, F' quand elles se réduisent à des fonc- 1 vecteur de point p.
is au lecteur le soirl de développer ces cas
186 CALCUL VECTORIEL
$ V. — Fonctions Unâaires
104. Cas des vecteurs temions. — Ue du premier degré la pins générale étant pi
(It S = /'(p) = *SVp+pS[t> +
comme le vecteur de point p est complè bien que nous verrons plus loin, que la mier degré (1) l'assujettisse à se trouver trois plans dont les paramètres sont donm donnés et constants, nons aurons, en preo de point, la même équation
(2) . = /-(S) = r{p) = «Si'! + pS[t où nous avons écrit f* (p) pour f. (f p)poui
Substituons la valeur de & tirée de la | nous trouverons, tous réductions faites,
(3) . = /-l«)SV? + /'(p)Sf.> + /-.
que nous pouvons écrire sous la forme
(4) . = 0.1 S^'f + ?, S;/p + Ti i OÙ les vecteurs ai, Pi, yi sont détermi liJiéaires de la même forme des vecteurs X', il, v, de la manière suivante
(0) ^i = /-(^) = aSVa + ^S[x'a-
et ainsi do suite pour les autres vecteurs.
Nous trouvons en opérant de la même
m ;=/^w=/'M?}=rwsvp + /*(p
que nous pouvons écrire
(7) ç = K, SX'p + p, Sfji'p + yt i
en désignant suivant la même méthode ps linéaire
CALCOL TBCTOEIBL 187
aent
Œn SX'p -f- P« S[^'P + T" ^'? ■
ainsi déterminés eii fonction des 6 vecnés, comme paramètres, ue Ion peut exprimer une fonction linéaire n de trois fonctions répétées consécutives, nple
le système linéaire simultané
,/'(«) + m,rW + m,/-»(a) = m,«,
-\- rsti M -\- m» «3, :/-(p) + m.r(p) + ra,r(P)=mip.
+ m» ^ + ma Ps, ,, /'(Y) + m./»(r) + m3r(ï) = m,Y.
+ ni! Y' + ™3 ï»' ; valeurs des wisontdéterminéesetuniquas, aire quelconque npreudra la forme xoSVp + poSa-p +Y.S»'p.
isons
= *o SXp + Po Sit? + > Svî, er T[L, TvÀ __ TV
effet
= Ttui. SXp + TvX. Sfji.? + TX|x. S«?.
iprimant les modules et on faisant les terres, elle est équivalente à la forme.
Isa CALCUL VECTORIEL
puisque ijh = —1, et ijh = i, etc., comme nou! dans la première partie.
Nous aurons alors l'équation, dite cubique, (
Mais encore une fois, elle suppose que l'on i
forme (13| qui est un cas particulier de la fonc
105. Cas général. — Il sera facile, d'après l fonctions inverses, de passer dn cas particulier d linéaire ternion, à une fonction linéaire vect conque. La marche est absolument la même numéro précédent.
SI nous avons généralement (15) U — jaSq'tU + PiSq'iU-\-peSq'tn -\-p où \c8p et les 1/ sont 8 quaternions donnés, n< poser de la même manière -{lG)Ui^F{u) = p<,S>i'aU-\-p,S(i-iU+j:'iSq'tU
En substituant la valeur précédente (15) i trouverons (1T; (7> - F* (-) = F (>,) Sfl'oH + F in) J
+ F ipi) Sq\u + F (pa) Sq\u, et généralement
(18) V„ = F"+' (-1,1 = F" (j)o) Sv'o» + F" {py
+ F" (pa) S'i'iU + F" (p,) Sq\n.
On en conclut que l'on peut exprimer une foni vectorielle en fonction de quatre fonctions réj cutives, en posant par exemple
(19) Dû = nu L\ + m* r, + ma U^ + m^ et nous aurons, jjour déterminer les ni, un syst simultaué '•
CALCUL VECTORIEL
F'ip,] + m«r»(p.) + maF^lp.) + m,F*{pi),
isons U—ît, nous aurons d'après la formule he précédemment les valeurs nécessaires :
(F'pi) =pi, etc., ce qui donne la valeur de e conjuguée d'elle-même :
ip'«u + p, S^'iif -|- Pi Sp'îU + Pi Sp'sM,
[/) + m^T^iU) -j- ma P (t/) + m, P< [U), erminés par le système simultané des (20).
fois, cette formule suppose que l'on ait e la fonction inverse, dont la forme (21) rticulier ou ie système des g devient le syss p, et en supprimant les modules et sup- ^er les vecteurs pi p» pj rectangulaires, on mule
5m — {i S/w + j SJu + liSku), d'un vecteur de point quelconque, quand iposantes scalars coordonnées.
èmes sur les vecteurs du premier degré
/, —De l'équation 2 m (U-Q) =o. «Quand suite de vecteurs donnés Q proportionnelntité numérique m, ie vecteur résultant U, îctorieUe s m Q, de tous ces vecteurs sera ugmenté proportionnelleiuent à la somme : ces nombres. »
IdO CALCUL TECTORU
Considérons d'abord le cas de dei rapporlés à une origine et à u» plan .
mot Liés entre eux par une relation ai
P est le vecteur qui joint l'extrémité i
Menons de l'origine no troisième
le vecteur P en deux segments P' c
nii et â m«, de telle sorte que l'on ait
où 7») et mi sont des quantités modu rapport des modules de deux vect avons d'ailleurs par définition
d'où 1" + P" 1^ ^ fi
Remplaçant P par sa valeur vec aurons
Mais nous avons par construction vec
(5) u = Qi - P" = Q, d'où en éliminant P", il vient dcAnili
mi -j- nii
Si nous considérons un troisième v
point 0, et que l'extrémité de U non
R, nous en déduirons un vecteur U
. , ^rrii-i- mt . ,
dans le rapport , et nous t
manière
VECTORIK.
h ma Q» + fa Q»
+ mi + mî '
l'on obtienne un dernier pouvons, écrire cette équa
^i;e des masses m situées à lepar U le vecteur détert ictrémité duquel se trouve ;entre de gravité de ces ma:
pour origine on aura l'équa
toriclle exprime que le con
ugmentés proportionncller
et un terme quelconque e les autres.
i somme vectorielle f ~ Sj
ées numériques, ne peut
ninées indépendantes, »
iable U ne peut dépendre
les.
lener cette somme ànine soi
ie la forme
iU+JSP'ew + kSP'3U,
oint vectoriel
X +Jy + hz.
eut se décomposer suivant
I et nous aurons
'i + m* i*» + mj Pï,
192 CALCm, VECTORIKL
oà les m sont détei'minéa. Il en résu) condition
(12j w = S ra»a;, x = S niiir, y ~ i:i Cesquatrc équations Jélermiiienl. quatre c qui ue sont plus arbitraires. Il en résui linéaire U ~- ^xQ reste iiidé terminée q ses termes est supérieur à quatre. Oeli nombre de conditions nécessaires pour < tour polygonal, et au-delà d'un quadr d'un tétraèdre, ia forme |>olygonale peut de positions satisfaisant à l'équation lim
108. ~ Equalions de la foi-me SmO 1" Equations à deux termes. - mi Q, Si m, et mj sont des iiidébrminoiis nous avons l'équation
X Oi + y a = o, cette équation exprime simplement que sont parallèles. Bn effet puisque leur rap
une quantité réelle, les deux vecteurs ce rapport e^t celui de leurs modules .
Si l'on a la condition mj + m, =o, Ûi = Qt. quelles que soient les valeurs dt
Si ce rappo.-t, au lieu d'être l'unité, a un k, on a l'équation linéaire
0, 4- AQï - o.
qui n'a rien d'arbitraire, et qui exprimi leur, augmenté proporiionnellemeiit â k.
coiitraireau premier.
2" Equations homogènes â trois teniicf xQi + y Qî + zû.= -
CALCUL VBCTORIBL 193
Si nous avons la condition algébrique x + y -j- z — o, l'élimination de Tune des indéterminées, z par exempte, donnera réquation à deux termes
X (0,-G.) + y (Ch-Qz) = o, dans laquelle le rapport des inconnues est déterminé, et qui rentre dans le cas expripaé précédemment, car si nous posons
l'équation x P, + y Pt =o exprime le rapport numérique ou modulaire de deux vecteurs parallèles. On en conclut que les extrémités des vecteurs Q,, Q,, Qs, rapportés à une même origine et à un plan scalar commun, sont en ligne droite. Les quaternions donnés ne sont pas tous arbitraires.
Nous pouvons encore considérer l'équation homogène à trois termes, comme un cas particulier de l'équation 2rn ((/— Q) =o, où l'on a, soiÈ Sm =o, soit U=o. Nous venons de considérer le premier cas. Dans le second cas, elle exprime que les vecteurs augmentés proportionnellement à mi, m», ms respectivement formeutun contour polygonal fermé et sont par suite dans un môme plan.
3° Soit l'équation homogène à quatre termes w Qo + X Qi + y Qï + z Ga = o.
Si les quatre vecteurs sont coinitiaux, elle exprime que ces quatre vecteurs ont leurs extrémités sur un même plan.
Si nous avons la condition algébrique x + y + z + w =o, le rapport des inconnues est déterminé, et nous pouvons la mettre sous la forme
x [Qi-Q») + y iQ^-Qo) + z [Qz-Qo] - o, que nous pouvons écrire
X /"i + y /"s -h z Ps = o, et les trois vecteurs, respectivement multipliés par x, y, z, sont dans un même plan .
194 CALCUL VECTORIEL
Nous pouvons considérer cette équation comme le cas particulier de Téqu alioii £m (U—Q) =o. Nous ve»ons d'examiner le cas de 2m = o ; et dans le cas de f7 = o, elle exprime alors que le quadrilatère gauche des quatre vecteurs est fermé.
Enfin réquation linéaire à 5 termes exprime Téquation géjiérale du premier degré, dans laquelle le rapport des indéterminées est déterminé. Dans le cas contraire, elle exprimera un contour polygonal fermé, quelque soit le nombre de ses termes, en faisant 6^— o dans Téquation générale 2m (t;—Q)=30.
109. Lemme. — Si nous désignons par F (uj une fonction du premier degré du vecteur de point m, etparFY?f>^ la fonction conjuguée réciproque, c*est-à-dire résultant de la permutation des quaternions coordonnés ; soit v un autre verseur de point tel que Ton ait
^U z=z w + 2x + jy + fez,
nous aurons évidemment
( Sn F (v) = Su F' (m) et de même | Sv F (t*) = Su F' (v),
comme il est facile de s'en assurer directement, en exécutant les opérations. En effet, bien que Tordre des opérations soit distinct, comme il s'agit de scalars, Tordre est indifférent, et le résultat est le même dans les deux membres. Il en serait de même pour les fonctions conjugués réciproques F et F' définies précédemment, et Ton aura de la môme manière
[ Su F (v) = Sv r (w),
l Sv F [ti) = Su F' (v).
Il sera facile de passer du cas général des fonctions quaternions aux fonctions ternions, eu supprimant dans les ternies
.^:iA^
CALCOL VECTORIEL 195
teura^ de point « et v, un des quaternions les q. C'est le seul cas qai ait étd examiné
consfitue pas une nouvelle relation analyiement une identité. Son emploi est très s transformations linéaires, mais nous ne u'il puisse conduire directement à la trans- •e inverse. M. Piair en a fait une application la réduction d'une fonction vectorielle du
le II f. — « Quand les iadétcrminées scalars
■ectorielle sont données en fonction d'un
le point, on peut toujours ramener cette
mme de quatre termes coordonnés, dans le
ion quaternion, et à une somme de trois
as d'une fonction vectorielle ternion. »
: cas d'une somme ternion, tel qu'il a été
'lair.
ne linéaire ternion
= aSpp 4- ai Spip + ■■■ =SaSpp,
I, p..., sont donnés. Nous pouvons toujours ne somme vectorielle ne dépendant que de ans constants :
p) = 1 Siip + ;i S/iip 4- ï Syip.
tratlon est fondée sur la relation identique
Saf (p) = SpyW.
rons identiquement
ll;tï := X S/lwp + n Sïlp -(- Sï/fp,
des vecteurs ternious arbitraires, posons
196 CALCCt, VI
1 s^v ? (f) = Sp ç' n
(5) Svi ç (f) = s? ?' (T
( Slj. ?(?;.= S? =p'(T
Nous aurons en définissant le les formules
( h SX;.». ^ f' (Tv
(6] ;., SV = ?■ (Tv
( V, SV ^ f ■ (Ti
et cela quelque soit le nombre i
signes. Nous aurons ainsi I
vecteurs i, u, v, sont arbitrai
de ces trois vecteurs et des vec
suivant des relations dctermin*
11 n'est pas diflicile de voir q
diatemcnt. applicable à une ;
forme
. (7) F (M) ~ P, SO'i u+ ^
et nous pouvons toujours rame tion linéaire quat^rnion à quat de 8 quateroions et delà forme
(8) F [u] = p„ Sq',u + p, S en nous fondant toujours sur li
(9) S(> F' (w) - Nous avons également la rel
(10) A, F (n) = po Spo F
+ p.Sp'.F{u}
en désignant par les p^, pi, ps
neurs de.??;, {§1V, 8), et en i conjuguée in verse- Si donc noas posons
