D = SA
« Ainsi le paramètre d'un plan scalftr (ÏHHqnateitiion formé par le le limilenl. »
On peut voir que la position du plan wlativenicnt à ces deux vecteurs, et le tourné iM:iinie on voudra, et transport qui est la prùprièté caractéristique d'il quantité vectorielle.
202 CALCm, ■VECTORIEL
(P) et qni, comme on sait, a la forme d'un l'origine, savoir (11) A [œ^c-] + B {y-y'] + C [z- Cetta équation vectorielle scalar expr toute droite fo — p) comprise dans le plan e au vecteur normal ou paramétrique de { vecteurs ternions (A, ;>, p) ont nne même que complètement arbitraire ; c'est-à-dire, peut être transporté où l'on voudra.
1 15. Le quaternîon total de (A p) est d'
' ' i =— (SAp -f t SîAp -hj Sj où nous avons posé, pour abr^r, (13) L = Bi— Cî/, M = Ca;— A^, N-
Ces équations sont celles de la proje droite sur les plans coordonnés, et cette d pendiculaire à D, est comprise dans le plai l'on veut ce sont les équations de trois plat droite parallèlement aux axes coordonnés.
équations simultanées montrent que ces parallèles à une mSme droite, et cette d par deux quelconques des équations (13), .
une suite des deux autres, c'est-à-dire, entière dans le plan exprimé par cette troi
Les relations scalars
(Ht Lx + Mu + Nz = o, et AL + montrent que le vecteur i L -\~j M -)- A T laire aux vecteurs A et p. On a donc pour conque de (?) quatre plajis qui passent par tersection des trois plan8(L, M, N) se tro sur le plan D. Les scalars variables (a;, y,
204 CALCUL VECTORIEL
un point, et leur point commun d'intersec constamment sur le quatrième plaji Li.
En effet si nous désignons par i/, le déte plans L, M, Net par des i>etites lettres coi mineurs premiers, nous aurons pour leu d'intersection
/ d;fc = rti L + <j, M + «3 N,
(21) I (ïoy = i)i L + ô, M + ôs N,
Si nous sukstituonsces valeurs dans le pli en posant pour abréger
( flt Ao + ft, Bo + Cl Cfl = du
(2ai Oî Ao + ft, Bo + c, Co = dt,
1 as Au + bi Bo + Cî Co = ils, l'identité
(23) d, D = d, L + ./. M -{- rîj t
qui exprime un plan qui passe par l'intei plans ( I., M, N,) on plus 'généralement 4 le m^me point.
D'ailleurs les valeurs numériques (</., ( déterminants des quatre équations (16) pi c'est-à-dire que l'on a
(23i do = - SA.AîAj, di.=— SA.
d,=— SA1A0A3, di=—SK
117. Considérons le système de deux plai à la même origine ternion fixe, et soient
(25) W, ^SAip— D = o, Wi^SA^ les équations de ces deux plans. Nous savo
(26) a Wi -i- 6 Wî = o, est celle d'uu plan, qui passe par la droite
âOd CtLCCL VECTORIEL
„.„ ( TA,A, = f (BC'-B'C) +jXCk'-Gl '■''"(ouA"=il+Jm + Sm; la droite d'intersection des deux plans sera
<^'/oa.= ip+j,+Sr.
Les 6 quantités (1, m, ii) et (p, (|. r) or 6 coordonnées d'une droite (Wi. Wi), ou tantes spécifiques de cette droite. Il n'y en traires, car elles sont liées entre elles par J acalars [35) pT + qî/ + r2 = Saa = o, Iv + my-
qui montrent que a el A" sont deux vecte perpendiculaires as.
L'angle de deux plans est mesuré i»ar ce mètres normaux respectifs, Ai et Ai, et no
iSA,Aj^=-(AA.' + BB+( ^ ' } TAiAï= A'- = lk sine,
eu désignant par I la direction du vecteur tf
Si les deux plans sont parallèles, on a '
donne les conditions connues du parallélii
(37) BC— B'C = o, CA'— C'A = o, Le rapport - exprimera toujours le rap
tance à un troisième plan parallèle aWi -|- Si les deux plans sontperpendiculaires, c c'est-à-dire, la ^condition connue
(38) AA'+ BB'-i-CC' = 0.
Le vecteur A" est alors un troisième i lairo sur les deux autres paramètres Ai ment un trit;dr^ rectangulaire satisÊiis.
roim
rM:
uep
ppoi oorc
f(AI inan
se pi t D'
ipai
lun»
lide
208 CALCPL VECTORIEL
(45) — SAïA^j ^ lAB'C") -
Les trois plans sont parallèles à une r
a SA: A. As — o ; car alors tes coordoin»
viennent infinies, puisqu'elles sont doon
(DB'C" ; (AD'C'i
^ (AB'c")' ^ ~ .;ab'C")' ■^ ■
Si l'un dos numérateurs est nul, alors i parallèles et les trois plans passent par lèles. Si îiucnn des numérateurs n'est parallèles à une même direction se coi suivant trois droites parallèles, et l'une d dans le premier cas, où l'un des numérat
Enfin si deux numérateurs s'annulent, nulle nèuessairemeiit, et les trois plans p:
droite. Si les trois plans sont respectivcc à un axe coordonné, nous rctrourons avons examine 3 u n° 115. Enfin nousavoii vons considérer quatre plans passant ps en co:isidérant un quatrième plan scalar plans rectangulaires ; c'est la questioi examiné au n" 116.
119. Si nous considérons maintenant I d'u[i plan déterminé par trois vecteur; SA 3= D. léquation du plan cherclié. Co doit satisfaire à chacun des vecteurs dont devront satisfaire à trois valeurs différei point ternion ;=!, sauoir :
(17) SA?, — D =o, SAa, — D= O,
Nous pouvons éliminer les A, B, C
métrique A = ÏA -}- jB -f ftC, entre (
simuit-tnées, et n
CALCUL VECTORIEL
( Si ces points sont ceux où le plan cherché ren
axes coordonnées rectangulaires (t,J,h), nous posant (49j pj = ia, fa = jb, p3 = ftc,
(50) A= ibc -\-jca-\-hnb, —li—abc et le plan prend la forme cartésienne
L'équatiOD du pian, mise SOUS cette forme, expr somme algébrique des pyramides partielles du formé par un rayon vecleur variable p assujetti è le plan de la base du tétraèdre est égale à la pyrai tante formée par les axes fixes .
Nous savons que l'équation cartésienne d'un pla à passer par trois points fixes s'exprime sous la 1 déterminant nul
œ'" y'" z'" 1 où les [a:,i/, z) sont les coordonnés courantes d'ur sant par les trois points [3i,y' , z'), {œ",y",z"), {as' C'est-à-dire qu'elle exprime que le volume du tétra par ces quatre pointsjeat nul . Les A, B, C, D, q déterminants mineurs relatifs à la première lig ment pour les A, B, C les doubles surfaces des sur les plans coordonnés du triangle formé pai points fixes, et pour le scalar D, 6 fois le volume formé parles vecteurs donnés (oj, p^, pjj, et exprir double de la surface du Iriangle des trois poii par la longueur de la perpendiculaire abaissée di sur leur plan .
§ n. — Plans mobiles
Vous avons conskléré jusqu'ici le point D, rapport à l'origine, ou ce qui revient au même l'orîime fixe par rapport au point D du contact delà icui aire abaissée de l'origine sur ie plan fixe, pouvons maintenant considérer plus généralement
des coordonnés teniions, comme variable suivant ction fixe ; delà une quatrième variable scalar u. I un paramètre quaternion donné,
0=D + tA+JB + fcC, ), A, B, C) sont des constantes numériques réelles !es el soit le quaternion linéaire variable
^ = u-\- ix +iy + As, îteur courant d"un point vecteur mobile (E), assujetti ; un plan, nous aurons
SQ e ^ D» — (Aœ + By -\- Cz) = W.
ic nous supposons que le paramètre d'un plan s'an-
que son équation se réduise à la forme ordinaire ;y + Cz + D ^o, c'est que le plan passe par l'oriimune des vecteurs Q et E, [n" 4), etque le vecteurï tament perpendiculaire au vecteur normal Q qui en cteur directif.
jE projection du vecteur ç, ou d'un point quelconque sur la direction fixe Q est constante et égale à W. ir numérique de cette constante est proportionnelle iuce du plan à l'origine. En effet, en désignant par M-B'+C'+D= ™ v'0=+DS le module de Q où G
IL VECTORIEL
es valeurs numériques du
rODS
ff cos « siii a, B ^ M cos I Mcosy siua, Ira la forme
' cos p + « cos t) siii a -|- P
e SQS = VV, peut être ran =0, oi U cstle verseur de Q ?? — W peut être identiftt rpendiculaire abaissée de 1'
et qui fait avec les direcUo
[ont les cosinus sont resp B C
tsin.
.tégaia^
oint vecteur variable (5] esi sais ce point (ç) est pour c ion de trois plaiis qui se c<
A(( + Dx + B2 — Cy, Bm+ Dy + Gx — As,
Cu-\- Da + Ay — Byï;
hjM + ftN.
1 résulte trois équations = o, qui expriment que ces teraion, et l'on a l'égalité m
212 CALCUL VECTORIEL
c'est à-dire, les 6 condi'tions qui annulent les binômes
{Bz — Gy =^ o, Co) — Az = o, Ay --Bx = o, ^ ^ ( A7i+Dz =: 0, Bu + Dj/ = 0, Cu + Dz =0.
Si, au contraire, nous avons W := SQç =r o, ou
(10) Ax + By + Cz =: Du,
la substitution de cette valeur de h dans les équations (6) permettra d'éliminer (îctte variable, et ces équations prendront la forme
r DL == (A* + D«) ;X + [CD—AB) y + {BD + AC) z, (11) ] DM = (CD + AB) X + (B2+ D^) y +.(AD— BC) z, ( DN = (BD — AC) o; + (AD + BC) y + (C^ + D^) ^.
En désignant toujours par M le module de Q, le détermi • nant des seconds membres des équations (11) a pour valeur D* M* et en supprimant le facteur commun D^M^, il vient
l M-^ = DL + CM + BN,
(12) I Wx r= CL + DM + AN,
