CHAPITRE n

NOTIONS GéNÉHALES SUR LES VECTEURS

$ 1. — Définition des vecteurs

17. DéfinilUm d'un quatemion. — On appelle imaginaire toute quantité affectée du symbole V — 1 d© Tunité circulaire. On appelle réelle toute , quantité qui n'est pas

affectée du symbole sj — !•

Cette opération y/— 1 se présente dans les calculs toutes les fois que l'on veut extraire la racine carrée d'une quantité réelle négative ; 6lle est par suite une conséquence d'opérations exécutées conformément aux règles de l'arithmétique .

Par extension, beaucoup de géomètres ont appelé imaginaire, une quantité complexe, formée par l'addition d'une quantité réelle et d'une quantité imaginaire proprement dite, liées entre elles par la relation de continuité, telle que

(1) Q = A + B sj—i

C'est la forme sous laquelle se présentent les racines imaginaires conjuguées d'une équation algébrique à coefficients réels. C'est aussi sous cette forme que se présentent les racines de l'unité dans les équations binômes à forme cartésienne z^ il = o. Cette dernière n'est elle-même qu'un cas particulier de Téquation binôme versorielle II (;î) + 1 = o. Ce qui montre qu'il y a une inanité de nombres j, qui peu-

r. 32 CALCUL VECTORIEL

vent produire ruiiité par leur puissance soit rationnelle, soit vectorielle, ou autrement dit, que l'unité réelle ou inaaginaire ont une infinité de valeurs distinctes.

Hamilton a donné à cette quantité complexe (1) le nom de quaterni07i. Il appelle scalar la partie réelle A, et vecteur

la partie imaginaire B V— 1. Comme nous considérons qu'un scalàr est tout aussi bien un vecteur dont l'argument est déterminé comme celui de la partie imaginaire simple, nous

appellerons tet^nion la partie imaginaire B \/ — 1, et vecteur scalar ou simplement scalar la partie réelle A. et la quantité Q sera un vecteur quaternion.

En eflet, dans une équation quelconque à forme cartésienne, c'est à dire, à forme réelle implicite, et même à coefficients réels explicites, la variable étant une quantité implicite, on ne sait pas à priori, si elle doit être réelle ou imaginaire, c'est à dire, scalar, ternion ou quaternion. Il est vrai que dans le cas particulier des équations algébriques rationnelles, et àcoeflîcieutsréels,la théorie de ces équations nous apprend qu elles se présentent sous la forme d'imaginaires conjuguées à plan verseur unique, d'ailleurs arbitraire. Mais il n'en est plus de même pour une équation à forme rationnelle et cartésienne dont les coefficients sont périodiques circulaires, ou sont des quaternions donnés. Or si llnconnue est périodique, son verseur est variable aussi bien que son module, et elle est tour à tour quaternion, ternion ou scalar, suivant la valeur de son argument.

Un quaternion est un nombre circulaire, ou une quantité qui a la même valeur sur tout cercle formé par toutes les

valeurs que Ton peut donner au signe v^ — l, perpendiculaires à Taxe scalar, et qui assignent le plan verseur de cette quantité.

Dans un quaternion-plan, c'est à dire, à plan verseur fixe,

la valeur de runité imaginaire V — 1 a une direction déter-

■■^AjM.

CALCUL VECTORIEL

minée de son plan-verseuF, ou du tableau des q réelles, qui lui est perpendiculaire et qui en as: direction. En effet toute direction perpendiculaii plan ou à tout plan parallèle possède une direction au signe près, qui est celle de l'unité imaginaire Mais dans l'espace, cette direction, que nous dési Iwrl, a une infinité de valeurs différentes comprises formule

(2} l = t COSa + j COSp + h C03Y,

où t, j, k, expriment trois valeurs distinctes de I'ue ginaire v' — 1, de directions arbitraires, mais ce assujetties à être perpendiculaires entr'elles, ou c liées. De sorte que l'on a la condition algébrique rée

(3) cos'a + cos'p + cos*-r = 1

et cette dernière équation montre que l'unité réelle aient une inflnité de valeurs différentes.

18. Principe fondamental. — « Toute valei l'unité circulaire \/ — 1, a pour caractère fondame produire l'unité réelle négative par son carré ».

Ainsi l'on a généralement

(4) (v/=ï)' = - 1, c'est à dire,

1» = — 1, i* = - 1,/ = 1, fts =: — 1, et

19. Vecteurs et verseurs. — On appelle aussi une quantité formée de deux facteurs, l'un nui nommé module, l'autre angulaire nommé verst verseur est géuéralem,ent un quaternion-uuité, t forme générale

(5) U = C0S& -|- 1 sin&.

34 CALCUL VECTORIEL

De sorte qu'un vecteur quaternion s'écrit aussi sous la forme