Q :== — A ± BI = — (A + BI
CALCUL VECTORIEL
OU an quaternion négatif, quelque soit le signe de la ) ternion, ou de son verseur-quadrant.
6° « On peut toujours transformer un t^rnion en un ternion, ouen un scalar et réciproquement. »
On transforme un ternion en un scalar, ou un ve imaginaire en un vecteur réel, eu le multipliant pai même valeur de l'unité imaginaire (i), ce qui revif augmenter son argument d'un quadrant dans le même et lui donne la direction d'un vecteur scalar-négatif. Si opère par division, ce qui revient à multiplier par la r valeur changée de signe, ou à changer le sens de la : tiou, on obtient la direction scalar positive. Réciprc ment on transforme un vecteur scalar en un vecteur tei en le multipliant par une valeur quelconque I de 1' imaginaire. Comme cette opération revient à effectue! rotation de 90* du vecteur primitif autour de la directi le rayon modulaire du ternion résultant dans sa sec position est à angle droit de la direction primitive. Si divisait par I cel& reviendrait à faire tourner le rayon teur dans le même plan perpendiculaire à I, mais en inverse, et cela revient à changer simplement le sign ternion en conservant le même sens de la rotation, à dire l'opération par produit, conformément à la : tion(12).
Cette transformation présente l'avantage de pouvoir tr une expression radicale telle que R = \/ A* -\- B* -\ comme une expression linéaire RI — /} — ïA + iB 4 Mais il faut observer, premièrement que la valeur de arbitraire, et par suite celle du plan verseur ou du bleau, secondement que la nouvelle direction modu est à 90' de la première dans le plan verseur perpendicu à I.
Pour ramener un verseur-quaternion à la forme ternion, il suffit de le multiplier par sou verseur corn
CALCUI. VECTORIEL
nlatre. En eflet, soit U — cose + I sine, le verseur da iternion, nous anroas ;
) Ui — C08 (^ — e j + I sin ( ^ — e J — sine + I cosS
= I (cose — I sine] ; ù
UU, = I et QU, = RI, est un vecteur ternion .
înfln pour transformer un quaternion en scalar, Il suffit le multiplier par son verseur conjugué. Cela revient à linuer l'argument dune même quantité, et le nouveau on modulaire sera dirigé suivant l'axe scaiar, '" « Un quaternion peut-être transporté dans son plau seur, on dans tout autre plan parallèle, et tourné comme voudra dans son plan h.
Sn effet, dans un quaternion i! n'y a de déterminé que la Bction du verseur ternion-unité I, et les grandeurs moaires A et B de deux droites rectangulaires entre elles et i direction 1. Or, en géucrai, il faut 9 quantités angu- ■es réelles pour déterminer la direction de trois droites tangulaires entre elles et 3 quantités numériques pour erminer leurs modules. Dans la question présente, l'une ces grandeurs est prise pour unité, et les quantités nariques se réduisent à deux, A et B. Quand aux 9 quants angulaires, il n'y en a que trois d'arbitraires, qui seront 'on veut les angles d'Euler (savoir les longitudes f et <pi la ligne des nœuds des plans verseurs, et l'angle po- •e 6 des axes ternions). Comme un quaternion n'en fait naitre que deux, car l'angle 9, reste Indéterminé, et les fies (tpi et e) déterminent la position relative de I. il en ulte que la position des deux autres droites A et B reste éterminée dans tout plan perpendiculaire à la direcfi I. De plus l'origine est com[)lètement arbitraire, car en
CALCUL VECTORIRL 39
transportant le quaternion parallèlement à lui-même, aucune des quantités (I, A, B,) ne change de valeur et par suite le quaternion lui-même ne change pas de valeur.
$ II. — Addition vectorielle
21. Définition de l'addition vectorielle. — « On appelle addition vectorielle, Topération du calcul vectoriel, qui consiste à porter à la suite les uns des autres, parallèlement à eux-mêmes une suite de vecteurs modulaires^ et dans un certain ordre. »
Le vecteur qui ferme le contour ou qui joint l'origine du premier vecteur à l'extrémité du dernier est le vecteur résultant pris en signe contraire.
« Dans tout contour polygonal fermée plan ou gau • che, la somme vectorielle est mille, »
Cette sommation s'appelle une équation linéaire vectorielle. Elle a été appelée addition géométrique (Résal), résultant géométrique (Coriolis) ; mais sans désignation explicite de la notion de vecteurs .
La règle de Taddition est la même que les vecteurs soient scalars, ternions ou quaternions, ou en un mot quelque soit leur verseur, puisque chaque vecteur y entre avec sa propre direction . Il faudra donc distinguer soigneusement une addition algébrique, qui ne peut porter que sur des vecteurs ayant môme unité de direction, d'une addition vectorielle qui exige une expression explicite de cette direction .
22. Règle des signes. — Soit trois points A, B, C, situés comme on voudra ; les trois droites qui les joignent deux à deux forment nécessairement un triangle ABC ; en parcou-
* ft
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rant le contour dans un sens déterminé pour revenir au point de départ, on a la relation fondamentale
(14) Xb + BC + CA^o
et généralement pour un contour fermé, plan ou gauche, on aura en en suivant le contour dans le même sens pour revenir au point de départ,
(15) ÂB + BCH f-XY + Yl = o.
Considérons dans Téquation (14) le cas où Tun des points C, par exemple, coïncide avec le point initial A., alors CA==o et BC, devient BA et il reste
(16) ÂB + bT^o, ouAB= — BA.
Ainsi « Changer le signe d'un vecteur revient à intervertir le sens dans lequel on le parcourt, »
L'équation (14) peut alors s'écrire
(17) ÂB + BC = AC.
EJle exprime que le vecteur AC est le vecteur résultant, ou la somme vectorielle des deux autres. La règle reste d'ailleurs la môme si les vecteurs sont sur une même droite, ou ont même direction verseur. Elle restera donc applicable à un contour polygonal de vecteurs dans le plan scalar.
On est tellement familiarisé depuis Descartes avec la règle algébrique des signes -\- des segments linéaires, que Ton s'étonne, dit Chasles, qu'on ne l'ait pas appliquée plutôt aux segments vectoriels . Cette application a débarrassé un grand nombre de questions géométriques principalement de l'obligation de considérer une suite de positions particulières, ou de cas particuliers, pour lesquels il fallait recommencer la construction et le raisonnement. Tel a été le sort du rapport harmonique quand on lui eut donné le signe — qui lui convient d'après la règle de l'addition des vecteurs. Chasles ajoute que la théorie de Tinvolution n'était abordable que
.f^-ii
CAl^ttL VECTORIEL 41
es juments vectoriels. Nous ajouterons, nême prévoir que la tliéorie du rapport ;par suite le principe général de l'homogralité au cas où la valeur de ce rapport est ique ou réelle.
coordonnés. — Considérons maintenant lelconques A, B, C, 0, formant un contour n ait l'équation
ÏÂ -(-*AB + BÛ + CÔ ^ ;
que sera la somme vectorielle des trois
18 prenons le point 0, par exemple, pour
