OA = OC + CB + BA
et Oâ est le vecteur résultant de la somme vectorielle des trois vecteurs composants du second membre, et nous pouvons les considérer comme menés parallèlement à trois directions ternions flxes,f Oœ, Oy,
te que ce vecteur OA se trouve décomposé irnions coordonnés. Réciproquement, trois en grandeur et en direction se composent ur qui ferme le contour polygonal constitué î aux vecteurs donnés, et ajoutés à la suite isdans un ordre donne.
ans soustraction vectorielle, l'opération il vectoriel, qui consiste à transporter une î formant un contour fermé ou non, parai-
42 CALCUL TECTORIBL
lèlement à eax mêmes à une même origine. De même que Topération directe donne à chaque vectear un scalar, ayant un ai^ament défini par cette addition, et qulls deviennent des quaternions ayant un plan verseur défini, ce que nous développerons en parlant de la sommation des quaternions ; de même lorsqu'on considère une addition de ternîons, on doit les considérer comme ayant tous une origine commune, ce qui réduit leurs scalars à zéro, et il ne s'agit alors que d'une composition de vecteurs suivant trois directions coordonnées, qui peuvent être rectangulaires ou obliques entre eux . L'opération d'addition de vecteurs quelconques consiste donc à leur donner un plan scalar unique, d'ailleurs arbitraire ; l'opération vectorielle ayant eu déjà pour but de connaître un système de trois droites coordonnés rectangulaires, dont l'origine et la position sont entièrement arbitraires. C'est une conséquence de la relativité de la connaissance possible, d'après la définition des vecteurs (19) . En un mot Topération de l'addition vectorielle consiste à rendre comparables les vecteurs entre eux et à les ramener à un système ternion coordonné, et à un plan scalar unique, condition constituant la quatrième coordonnée d'un quaternion
Si les trois directions coordonnées sont rectangulaires eiitre elles, la géométrie nous apprend que chacun des vecteurs composants a pour grandeur modulaire la projection orthogonale du module du vecteur résultant sur sa direction, c'est-à-dire, qu'elle est égale aux cosinus de l'angle compris. Dans le cas d'axes obliques, les projections suivant les directions coordonnées sont des fonctions linéaires scalars des projections orthogonales, et des cosinus des angles des faces du trièdre des axes. Si donc le vecteur OA a pour mesure de direction l'unité imaginaire T, et pour grandeur l'unité réelle +1) nous pouvons écrire en supposant tous les vecteurs transportés à l'origine
(20j V =ilx + Jy + Kz,
CALCDL VECTORIEL 43
t les directions des trois vecteurs coordonnés.
is sODt rectangulaires entre elles, nous écri-
r — f eoso; + S cosp + ft cosf .
;un des vecteurs-unité 1, J, K, est de la forme
Dsons pour abréger
= d COS OL -f y COS «' + 5 COS a",
= a; CCS p + y cos p' + * cos P"> = a; ces f + y cos ï' + 5 cos y" ; prendra la forme
r=:iA-|-^B+AC, sont des fonctions linéaires des x, y, z, telles tuation de condition réelle
A* + B' + C'^l, condition de pcrpendicularité des directions
is coordonnées. — Nous avons considéré le mme ayant l'unité réelle comme module, et
coordonnée comme étant une valeur donnée l'ant pour module l'unité réelle, auquel cas les Ts sont des fonctions linéaires des cosinus,
OA peut avoir une longueur modulaire quelr=^ ce tcrnion, nous aurons généralement
5c = la;, CB ~ Jy, BÂ = Kz.
Tait diiiis leurs savantes recherches sur le ernions ne sonL pas toujours suffisamment i mesure modulaire des composantes ternions i l'emploi qu'ils font indiflércmment de vec- ■unité, qui sont de purs signes de direction, iellc pour module et celui de vecteurs coor-
44 CALCtIL VECTORIEL
donnés ayant nn module numérique donné est parfois une source d'obscurité dans le maniement des forniulef.. II semblerait même que ces auteurs aient considéré les ternions coordonnés comme pouvant avoir des valeurs numériques arbitraires autres que celle de l'uniié. C'eut été une confusion insupportable si leur perspicacité ne leur eut fait rétablir l'homogénéité par un facteur modulaire produit des modules coordonnés, ce qui ramène la question, par la suppression de ce facteur commun à une sommation de ternionsunité, multipliés respectivement par les modules des vecteurs composants. Pour le montrer, supposons que l'on exprime l'équation vectorielle ternion (19) sous la forme
f = C[X + ?y + y s, où les iT, y, z, sont des facteurs numériques réels, et les a, ^, Yi des ternions coordonnés, qui sont supposés avoir des modules constants donnés, etsoitalors leurs valeurs définies.
ia = I p = p {tcos a -\-J cos a' -f- ft C03 a"), p^J q = q II cos b -\-j cas b' + k cos b"], Y=Kr — r(ico8c -|-j'cosc'-|-ftcos c"), où \esp, g, r, conservent entre eux des rapports constants, et où les I, J, K, désignent des ternions-unité, obliques on rectangulaires entre eux. peu importe. Si nous substituons ces valeurs dans celle de o on mettra cette dernière sous la forme rectangulaire
p^iP-j-jQ-|-/cR,
avec la condition algébriijue P*-|-Q'-}-R*=S*, ou S doit être
le module du vecteur p, quelle soit sa direction, et où l'on a
posé pour abréger
iP^i^x cos a -\- q y cos 6 -\- r z cos c, I Q = p a; cos a' -|- ç y cos é' -f '' ■* "os c'; \K — p X CQ^ a" -{• q y cos b" -\-r z cos c";
nous aurons pour la valeur numérique du module S
CALCtn, VECTORIEL 45
2/" + r' 2* + 2 î)^' cos (IJ) + 2 ^r cos (J KH-
+ 2rpco3{Kl]; ernions coordonnés étaient rectangulaires, on
— O. 003 (JK) = 0, COS (Kl) — 0,
encore
prendrait la forme
p = I /w + J çy + K ra.
, étant ici rectangulaires entre eux, les px, pectivement les projections orthogonales du on f, et par suite les x, y, z ne peuvent pas ons, puisqu'elles sont accompagnées do facitiaque direction coordonnée, et comme la s coordonnésdoi t rester arbitraire, on aurait ■adictoire que la valeur du module du vecie cette direction. Ilfaut donc, puisque p conodule, quelles que soient les directions coorm ait p— g^r— 1, ou que «, p, y, soient des
plus de même, si les oo, y, z étaient des va- :t lesp, î, r des paramètres donnés, le veolécrirait un lieu géométrique ; on a alors néaire vectorielle, que nous étudierons en ;ions vectorielles.
ition des termes. — Quand on permute rmes d'une addition vectorielle, on change tion des vecteurs, et à chaque permutation l'eau contour différent du premier, puisque sont différents et le contour fermé pourra lire à l'équation linéaire qui résulte de ce
CALCTTL VECTORtEt
changement, puisque les vecteurs sont toujours ajou tes parallèlement àeux-mômes, et avec un même signe,
Ctiaque permutation circulaire donnera un contour polygonal de même forme, car cela ne fera que changer l'origine du contour, et non l'ordre de l'addition des vecteurs.
Si, donc l'équation an termes, et par suite le contour polygonal n cotes, il y auran permutations circulaires. Il restera donc (n-1) ! permutations non circulaires, qui se partagent en deux groupes de figures de même forme, mais non superposables eu général, en désignant comme à l'ordinaire par ni le produit l.â. 3... n.
Soit comme exemple simple, le quadrilatère plan ou gauche, peu importe, a-|-b-fc-]-d=o, où les a, b, c, d, sont des vecteurs donnés en grandeur et en direction, et soit flg (1) le quadrilatère modulaire vu en perspective plane, résultant de cette addition vectorielle.
Sur les 24 permutations positives, il y aura trois formes différentes, pour chacune desquelles il y aura i permutations circulaires qui ne font que transporter le polygone parallèlementà lui-même. Les trois formes différentes (1), (2), {3), forment deux groupes distincts de même forme comme (2) et (4), mais différemment placés.
CALCUL VECTORIEL 47
r le triangle il n'y a qu'une forme, foris symétriques qui complètent un parallé-
LF le même raisonnement qu'un pentagone niera généralement 12 figures difiërentes, s aura 5 permutations circulaires, et 24
