Et

lÎT. caft: lie. sucre liv. café liv. sucre.

6 : 20 :: 12 : 40 D'où l'on conclut que 9 liv. de ihé v.ilent 40 livres de sucre.

Solution par la règle conjointe.

Distinguez les divers termes en antécédens et conséquens, de la manière suivante:

1° Placez à droite la somme donnée, ou le terme sur lequel vous opérez (ce terme dans la question actuelle est î) liv. de théj, on l'appelle le terme de la demande.

2° A gauche de ce terme, et un degré plus bas, placez le premier antécédent, lequel doit être de la même espèce que le terme de la demande, et de la même valeur que le conséquent suivant. Ainsi, dans l'exemple ci- -dessus, 3 liv. de thé = 4 liv. de cale.

3° De même ayez soin que le second antécédent soit de la même espèce que le second conséquent, et de la même valeur que le troisième consé^ (juent, et ainsi de suite, quel que soit le nombre de termes. Ainsi, G liv. d.e café = 20 liv. de sucre.

4" Les termes étant ainsi disposés, divisez le produit des conséquens

INTRODUCTION. ^ij

par celui des antécédens. Le quotient sera la réponse, et il sera de même espèce que le dernier conséquent. Ainsi

0 Hv. ilic.

3 liv. Ihù = 4 liv. café.

G liv. café = 20 Hv. sucre.

D ou — „ ^, , — - = — 5" = lU hv. de sucre, — la réponse, o X 3 iS ' '

Par l'exemple ci-dessus, on voit que dans rarrangement des antécédens et des conséquens chaque article est entré deux fois, excepté celui qui est de même espèce que la réponse. Ici le sucre est ce terme , et la réponse doit être de cette espèce.

On doit remarquer aussi cpic dans la même colonne il n'y a jamais deux articles de la même dénomination. Comme les quantités sont placées en forme d'équation, il est évident que celles qui sont égales de part et d'autre peuvent être supprimées, et par conséquent le quotient ou la réponse doit être évidemment de la même espèce que le dernier conséquent.

Preuve de la règle conjointe.

I>a preuve de cette règle se trouve dans l'opération inverse, c'est-à-dire en faisant de la réponse le terme de la demande, et mettant en rapport le dernier conséquent avec le premier antécédent, .\insi,

^..^^ 40 liv. sucre.

20 liv. sucre '^—-—>* G liv. café.

4 liv. café r-""^ 3 liv. Ihé.

D ou -r- — = — —. — ^=. y liv. (le llie.

L'opération peut être abrégée en supprimant les nombres semblables qui se trouvent dans les deux colonnes, ou en les réduisant à de plus simples quand ils ont un diviseur commun, conune cela se pratique dans la réduction des fractions à leur plus simple expression.

Dans la recherche d'un commun divisctu-, il est utile de se rappeler les propriétés suivantes des nombres.

Un nombre est divisible par 2 quand son dernier chiffre est divisible

* Ce zigzag sert quelquefois à unir les termes de la règle, et s'appelle l.i cliaîne. Son ulililé est évidente.

viij INTRODUCTION.

par 2 ; il se divise par 4 quand ses deux dernières figures jouissent de cette propriété; enfin il est divisible par 8 quand ses 3 dernières figures sont divisibles par 8.

Un nombre est divisible par '<i quand la somme de ses cliiffres est divisible par li; il est divisible par (5, quand en outre son dernier cbiffre est pair; il est divisible par î) quand la somme des chiffres peut être divisée par 9. Tout nombre est divisible par 5 quand son dernier chiffre est un 5 ou un zéro. Tous les zéros peuvent être supprimés en nombre égal dans les antécédens et les conséquens.

Exemple de la règle conjointe , 1 ° dans une opération de réduction ; 2° dans

une simple rcgle de trois.

Exemple IL — On demande de réduire £ 2 en fartliings, en admetlant que la livre =

20 schillings, le schilling = 12 pence, el le penny = 4 farlhings?

2 livres, — terme de la demande.

1 livre ^= 20 schillings.

1 schilling =12 pence.

1 penny = 4 farthings, — dernier terme.

D ou 1 y, i ^ i ^^ lyM farthings.

Ces farthings peuvent être réduits en livres par l'opération inverse: c'est-à-dire en faisant de 1920 le terme de la demande, et de £ 2 le dernier terme.

Exemple III. — On demande la valeur de 7 yards de drap, sachant que 3 yards valent

45 shillings?

7 yards , — terme de la demande.

3 yards = 45 shillings, — dernier terme. D'où ^^^ == 105 s.

TiCS exemples précédens expliquent le principe de la règle conjointe, qui peut être démontré par ime équation algébrique.

Supposons que j: ;= le nombre de shillings cherclié.

Alors or =: la v.ileur de 7 yards. Ou ainsi, ^

Et 3 yards = 45 shillings. 3 : 45 :: 7 : jc.

D'où 3 X = 45 X 7 = 315 D'où 'i x = 315 et x = 105 s.

INTRODUCTION. ix

La démonstration suivante de la règle conjointe est encore plus évidente.

Soient A, B, C, D, etc., les diverses espèces d'objets, m, n, p, q, etc., les nombres donnés; les valeurs de ces objets sont :

Antèccdens Conscqneo»

rn A. = n B

Cherchons quelle quantité de la dernière espèce est égale à une quantité donnée de la première, et réciproquement.

Supposons que z fois la dernière = j fois la première ; c'est-à-dire que i E = v A.

Multiplions ces équations entre elles; les premiers termes par les premiers, et les seconds par les seconds. Alors nous aurons :

mA. X /?B X rC X 'D X 3E = «B X qC X fD X tjE X jA. D'où mprtz = nqxvy.

, ... ••iii.. • Il 1 nqxry.

Par conséquent si c est la quantité de la dernière espèce qu on demande, z = ' ■,

. , , .11 mprtz

mais si c'est la quantité de la première espèce qu on cherche, y = ~ — -'

D'où l'on déduit cette règle générale, qui est, en substance, celle que nous avons déjà donnée.

jRègle générale.

Placez les termes sur deux colonnes, de manière qu'il n'y ait pas deux termes de la même espèce dans une colonne. Divisez le produit des nombres de la colonne qui contient le terme de la demande, et le dernier terme par le produit des nombres île l'autre colonne. Le quotient est la quantité cherchée, et il est de l'espèce du dernier terme.

Il faut remarquer que dans la démonstration ci-dessus il n'y a pas de terme de demande, comme dans les exemples précédens; car ce terme est supposé être l'unité, et on peut le placer sur l'une ou l'autre coloinie suivant les conditions de la question, en observant que le produit des termes de cette colonne doit être toujours le dividende.

On peut aussi remarquer que le terme de la demande est place par quelques auteurs au-dessous des conséquens, au lieu d'être en tête, comme dans cet ouvrage. Mais le résultat est toujours le même. En le plaçant en tête, il y a cet avantage qu'il sert à déterminer le premier antécédent qui doit être toujours de la même espèce.

T. II. h