II. ii

talions. Selon. Niewentyt, « la méthode du calcul différentiel et intégral est sujette à la même difficulté que les autres ; c'est que l'on y supprime des quantités infiniment petites, comme si elles étaient nulles (1), » ou qu'on regarde comme égales des quantités qui ne le sont point; car, dit-il, «les seules quantités égales sont celles dont la différence est nulle, ou égale à zéro (2). »

Leibnilz répond qu'il juge égales, non-seulement des quantités dont la différence est nulle, mais celles dont la différence est tellement petite, qu'elle ne peut être comparée avec aucune d'elles, ce qu'il explique ainsi : « Il faut concevoir, par exemple, (i) le diamètre d'un petit élément d'un grain de sable, (a) le diamètre du grain de sable même, (s) celui du globe de la terre, (4) la dislance d'une fixe de nous, (5) la grandeur de tout le système des fixes, comme (1) une différentielle du second degré, (t) une différentielle du premier degré, (5) une ligne ordinaire assignable, (4) une ligne infinie, (5) une ligne infiniment infinie (3). » « Car au lieu de l'infini ou de l'infiniment petit, on

(1) (I Metliodtim cakuli differentialis et summatorii, laborare commuiii ciim alits diffictiltale, quod scilicct qiiantitaies infinité parva? aI)jiciaiUur quasi essent niliil. » LeibnUzU oper.^ t. III, p. 327

(2) « Sol» ex quaniiiates squales sunt, quarum diflereniia nullacst^ seu nihilo «qualis. » lUd^

LE CARTÉSIANISME. iG3

prend des quantités aussi grandes et aussi petites qu'il faut pour que Terreur soit moindre que Terreur donnée (1). » On yoit qu'il ne satisfait nullement à la difficulté de Niewentyt. Dans la courbe NMB, la sécante RS ne devient réellemen

la tangente TP que lorsque le point M coïncide avec le point N, autour duquel elle tourne, et par conséquent que la différence MO des deux coordonnées, et la différence NO des deux abscisses sont rigoureusement nulles. Newton les suppose telles : « Par dernière raison des quantités évanouissantes, dit-il, il faut entendre celle qu'ont entre elles des quantités qui diminuent, non pas avant de s'évanouir, ni après qu'elles sont évanouies, mais celle qu'elles ont dans le moment même qu'elles s'évanouissent (2). » Il est clair que la raison ou le rapport de quantités qui s'évanouissent, s'évanouit avec elles.

Voilà une alternative d'où il ne paraît pas aisé

(1) Ibid., p. 370.

(2) Princ. math,^ llv. 1, sect. i, lem. xi, scol.

164 LE cartësumsme.

de sortir. Si, comme Newton, l'on s'oblige d'anéantir les diflférentielles, il ne reste rien à considérer; si, avec Leibnitz, on leur attribue une valeur, on ruine l'exactitude du calcul.

Gomme dans le développement d'une fonction en séries, par rapport aux puissances ascendantes de l'accroissement donné à la variable, le coefficient du second terme est le coefficient différentiel du premier ordre, et qu'abstraction faite des dénominateurs^ les coefficients des termes suivants sont les coefficients différentiels des autres ordres, Lagrange s'est avisé de considérer les propriétés de ces termes, sans s'inquiéter comment ils les ont (2). C'est ce qu'il appelle avoir dégagé le calcul différentiel de la considération de l'infini, et c'est ce qu'il faut appeler l'avoir détruit. Précisément on ne peut connaître les propriétés de ces termes, auxquels il donne le nom de fonctions dérivées, que par la considération de l'infini. N'est-ce pas par cette considération seule que je sais, par exemple, que ce qu'il désigne par fonction prime représente dans une courbe la tangente trigonométrique de l'angle que la tangente à la courbe fait avec Taxe des abscisses, et, dans le mouvement accéléré, la vitesse? Il paraît que Laplace tombait dans une semblable méprise (2). Rédui-

(1) Fonctions analytiques et Leçons sur le calcul des fonctions.

(2) Essai phil sur les probabilités^ p. 56.

sant ainsi les principes du calcul différenliel à un grossier mécanisme, on conçoit qu'ils en attribuassent l'invention à'Fermat. Cependant les fonctions dérivées ont conduit Lagrange à étudier les fonctions en elles-mêmes, indépendamment de toute application , ce qui n'avait point été fait avant lui, du moin^ comme théorie expresse.

Carnot croit qu'en négligeant les quantités différentielles on commet une erreur, mais que cette erreur est ensuite compensée. Qu'il s'agisse, par exemple, de trouver la sous-tangente TP, il raisonne ainsi : « Par un point R, pris arbitrairement à une dislance quelconque du point M, soit menée la ligne RS parallèle à MP, et par les points R et M soit tirée la sécante RT'; nous aurons

évidemment TP : MP :: MN : RN, et partant

MN T'Pou TP + r T = MP ^^,. Cela posé, si nous ima-

RN

ginons que RS se meuve parallèlement à ellemême en s'approchant continuellement de MP, il

est visible que le point T' s'approchera en uiènie temps de plus en plus du point T, et qu'où pourra par conséquent rendre la ligne T'T aussi petite qu'on voudra, sans que la proportion établie cidessus cesse d'avoir lieu. Si donc je néglige cette quantité T'T dans l'équation que je viens de trouver, il en résultera à la vérité une erreur dans

l'équation TP = MP ^ à laquelle la première sera

alors réduite ; mais cette erreur pourra être atténuée autant qu'on le voudra, en Faisant approcher autant qu'il sera nécessaire RS de MP : c'est-àdire que le rapport des deux membres de cette équation différera aussi peu qu'on voudra du rapport d'égalité.

Pareillement, d'après l'équation du cercle y* =

MN 2y+RN

2ax — x\ nous avons ï^it = -z — —^ rn^ , et

' RN 2a — 2b? — MN' ,

cette équation est parfaitement exacte, quelle que soit la position du poiit R, c'est-à-dire quelles que soient les valeurs de MN et de RN. Mais plus RS approchera de MP, plus ces lignes MN et RN seront petites ; et partant, si on les néglige dans le second membre de cette équation, l'erreur quien résultera

dans l'équation ^^ = — - — à laquelle elle sera

réduite alors, pourra, comme la première, êlre rendue aussi petite qu'on le jugera à propos.

Cela élant^ sans avoir égard à des erreurs que je serai toujours maître d'atténuer autant que je le voudrai, je traite les deux équations

TP = MF :=r=ri Bt :=rzr, = — ' — , que je viens de trou- RN RN a—x'^ ^

ver, comme si elles étaient parfaitement exactes

i'une et l'autre ; substituant donc dans la dernière

MN la valeur de — tirée de l'autre, j'ai pour résultat