XX

ou 1665, par la méthode des fluxions, mais im-

' parfaitement, parce qu'ils ne peuvent être bien

faits l'un sans l'autre, et qu'il manque le second;

car il est impossible de reconnaître un symbole

1 12 LK CARTKSlANISMi!:.

dans les lellres pointées, x, Xj a?, ainsi de suite, employées pour désigner les divers ordres des fonctions différentielles.

Mais, entre 1074 et 1677, Leibnitz les fait tous les deux à la fois. Que dis-je? Il n'est pas même, comme Newton, jeté sur la voie par Barrow, car il déclare n'avoir connu le triangle différentiel de celui-ci^ qu'après l'avoir lui-même imaginé, et être parvenu à la découverte complète. « .\ peine je commençais d'aborder ces études, lorsque , porlant les yeux sur une démonstration relative à la mesure de la surface de la sphère, je fus soudainement frappé d'une grande lumière. Je voyais en général que la figure formée des perpendiculaires à la courbe, successivement appliquées à l'axe (dans le cercle les rayons), était proportionnelle à la surface du solide engendré par la rotation de cette figure autour de l'axe. Ravi de ce premier théorème, et ignorant ce qu'on pouvait avoir trouvé d'analogue, j'imaginais aussitôt un triangle que, dans chaque courbe, j'appelais caractéristique, et dont les côtés fussent indivisibles, ou, pour parler avec plus d'exactitude, infiniment petits, c'est-à-dire des quantités différentielles; d'où j'établissais sur-le-champ, et sans la moindre difficulté, une foule de théorèmes qu'ensuite je rencontrai en grande partie dans Grégori et dans Barrow. Je ne me servais pas encore du calcul al-

* LK CARTÉSIAMSMK. Ii3

gébrique; quand je l'employai, je découvris bientôt ma quadrature arithdiétique et beaucoup d'autres choses. Mais je ne sais comment le calcul algébrique ne me satisfaisait point; bien des parties que j'aurais voulu traiter par l'analyse, j'étais obligé de les présenler au moyen de figures, malgré leur embarras, jusqu'à ce qu'enfin je tombai sur le véritable supplément de l'algèbre pour les quantités transcendantes, je veux dire sur mon calcul des infiniment petits , que j'appelle différentiel, ou sommatoire, ou tétragonistique, et je crois, d'une manière assez convenable, Analyse des indivisibles et des infinis. Alors tout ce qui, dans ces recherches, m'avait paru étonnant, ne fut plus qu'un jeu. Non-seulement s'ouvrirent de belles voies abrégées, mais se fonda la méthode si générale qui tout à l'heure a été exposée, et par laquelle on détermine, autant qu'il est possible, soit les quadratices, soit les autres lignes algébriques qu'on propose, soit les transcendentes (1). »

(1) « Mihi contigit adhuc tironi in his studiis, ut ex uno aspcctu ciijusdam deinonstrationis de magnitudinc superficie! sphsricae, subito magna kix oboriretur. Videbam enim generaliler figurant factam ex perpendicularibus ad curvam, axi ordinatim ap])licalis (In circulo radiis) esse proportionalem superficiel ipsius solidi, rotatione figuras circa axem geniti. Quo primo tlieoremate (cum aliis talc quod innotuisse ignorarem) mirifice dclectaïus, statim comhûnisccbar triangulum, quod in omni curva vocabam cliaracterislicum, cujus lalera èssent indivisibilia (vel accuralius loquendo infinité parva) seu quantitates diiïercntiaies; undc sialim In-

\ïï LE CARTÉSIANISME.

Par celte exposition des degrés que suit la découverte du calcul différentiel avant Leibnitz, et de la manière doni lui l'emporte d'un seul coup, on voit avec combien peu de fondement Lagrange (1) et Laplace (2) ont proclamé Fermai le premier, le véritable inventeur. Aux yeux de M. Biot, Newlon même ne Test pas, Newton, qui non-seulement emploie les indéterminées comme Fermât, comme Barrow, mais qui , de plus, reconnaît dans toute fonction l'existence de la dérivée, fournit le moyen de l'obtenir, qui, par conséquent, se sépare d'eux, et qui ensuite franchit un intervalle immense.

Après avoir discuté avec autant de sagacité que dé soin l'accusation adressée, en 1699, par Fatio,

iiumera theoremata nulio ncgoiio condebain, quorum parlim postea apud Gregorios et Barrovium dcprehendi. Necduin vero algcbraicn calculo uiebar, quem cum adjecissem, mox quadraturam meam arithmeticam, aliaqucniuka inveni. Sed nescio quomodo non satisfaciebatniihi calcuhis algebraicus in hoc aegotio, multaque quae analysi vohiissem, praestare adhuc cogebar figuraruni ambagibus, donec tandem veruni algebrae simpiementum pro transccndentibus inveni, scilicet mcuincalculum indeliniie parvoruni, quem et differeniialeni, aut summatorium, aut tetragonisticum, et, ni fallor,, satis apte analysim indivihisilium et injinilorum voeo; quo semcl dctecto, jam ludusjorusquc vlsum est quidquid in lioc génère ipse antea fuerani admiratus. Unde non tantum insignia compendia, sed et metiiocium generalissimam paulo anle oxpositan) condere licuit, qua sivc quadraiices, sive aiiae quaesitae lineae algebraicx, vci iranscendentes, proul possibiie est, delcrminanlu»*, » Op.^ t. III, p. 193.

(1) Leçons sur le calcul des fo^ctions, p. 321, ëdit. nouv., 1800.

(î) Essai phil. sur les probahiUte's, p. 59, ëdit. 5', an 1825.

LK CARTESIANISME. l'iO

elen 1705, par Keill à Leibnitz, de piller Newton, après avoir prouvç, pièces en main, que si Leibnilz a eu connaissance des résullats que Newton devait à sa méthode, il n'a point connu la méthode elle-méine, M. Biot ajoute : «Si la mëtljode des fluxions existait seule aujourd'hui même, l'invention du calcul différentiel, avec sa notation et ses idées de décomposition en éléments infiniment petits, qui en sont l'essence, serait une découverte admirable qui ferait aussitôt éclore une multitude d'applications que nous possédons, mais qu'on n'aurait probablement pas obtenues sans son secours (1)... C'est d'elle que dépend l'application plus facile du calcul différentiel, la réduction de ses opérations compliquées à des règles générales trèssimples , enfin la possibilité de découvrir et de suivre les analogies indiquées par l'algorithme même, analogies si utiles à une science qui oxpritne les laisonnements par des signes. En résolvant les lignes, les surfaces, les solides, en un mot, toutes les quantités physiques ou numériques en éléments inBniment petits, on peut, avec la faculté la plus entière et la netteté la plus parfaite, suivre tous les effets, toutes les conséquences qui l'ésultent des caractères même les plus variables de ces éléments ; on peut apprécier ces résultais

(1) Birt/;. untr., art. Newton,! XXXI, p. 1*70

It. lu

avec lel degré d'approximation que Ton désire, sans perdre un instant de vue les principes qui les produisent, et qui se présentent toujours parfaitement dégagés les uns des autres. Et lorsqu'on les a ainsi évalués isolément avec sûreté et exactitude, il ne reste plus qu'à les rassembler. Mais en employant la considération des fluxions dans la génération des quantités, on la complique d'un élément étranger qui est le mouvement. Cette considération même introduit dans les applications une complication inévitable qui les rend beaucoup plus difQciles à établir, et surtout à suivre dans leurs détails variables. Quels efforts d'esprit n'aurait-il pas fallu, par exemple, pour concevoir nettement et calculer par cette méthode les attractions des sphéroïdes, les lois de leur équilibre, lorsqu'on les suppose en tout ou en partie fluides, et celle de l'équilibre et du mouvement des fluides élastiques, dont la disposition, produite par l'aclion mutuelle de toutes leurs parties, est encore modifiée l>ar la forme des vases où ils sont conlenus ! Ces problèmes et une influité d'autres, parmi lesquels il faut compter presque toutes les questions de physique, ne sont pour ainsi dire accessibles que par les considérations tirées des infiniment petits. Tellement que si la méthode des fluxions eut été seule connue, la découverte, je le répète, de cette heureuse simplificaiion eût encore été une

l.K CAUTBSIAKIS^IK. I V7

chose admii*able, et aussitôt universellement éludiée et accueillie. Ainsi, dans cette supposition même, assurément la plus favorable âux partisans exagérés de la méthode newtonienne , celle de Leibnilz eût été encore une améjioration capitale qu'il leur eût falhi nécessairement ^apprendre. Cette réflexion, qui réduit la question à un point dont toutle mondepeut être aujourd'hui juge, puis qu'il est indépendant de toute controverse fondée sur des titres littéraires, anéaulit complètement la question de priorité élevée entre Newton et Leibnilz, puisqu'il en résulte une différence entière et capitale dans le résultat de leurs découvertes (1)... Barrow, le maître de Newton, avait déjà donné depuis longtemps l'exemple de considérer la ^nération des lignes et des surfaces par le mouvement, et même par des mouvements composés de différentes vitesses, ce que Ton conçoit bien avoir pu naturellement porter Newton à considérer aussi en général les accroissements infiniment petits des quantités dans leurs rapports avec le mouvement ; tandis que, par une succession d'idées également continue, mais tout à fait distincte, et peut-être plus philosophique^ parce qu'elle était plus abstraite, et comme telle d'une application plus facile, Leibnitz a toujours été porté à considérer des diffé-

(\) Ihid., art, LeibiUlz, I. XXIH, p. ^638.

U8 LE CARTESIANISME.

renées, dans la génération desquelles il a ensuite découvert le véritable type qui distingue entre eux les résultats finis. Cette série d'idées séparéinenl. propres à chacun de ces grands génies, et suivie par chacun d'eux depuis ses premiers pas jusqu'au ternie de ses découvertes, nous semble oJïrir un caracière d'individualité qui suffirait pour qu on dût attribuer à l'un comme à l'autre l'honneur d'être arrivé au calcul infinitésimal par ses propices vues et par une route indépendante, si les preuves matérielles qui peuvent établir ce fait littéraire étaient perdues; mais il n'y a plus lieu de douter, lorsque la discussion, des titres authentiques, c' est-a-dire de ceux que la publicité donne, conduit à la même conséquence (1). » Nous renvoyons à cette discussion faite par Montucla(2), par Bossut (3) et par M. Biol, discussion trop étendue pour être rapportée ici, et assez bien présentée pour que nous ne songions point à en faire une autre. A ces considérations de M. Biot nous joindrons une remarque de M. Lacroix, qui les confirme.

« Les géomètres dit continent ne négligèrent point non plus l'emploi des suites; mais ils n'allèrent pas jusqu'à en abuser, comme firent les géo-

(1) Ihid., art. Leibnilz. t. XXIII, p. 631.

(2) HisU des math., l. III» p. 102.

(3) Hùt. des math., l. Il, p. fi2.

LE CARJÉSIANISMR. \k9

mètres anglais du second ordre, qui les appliquèrent souvent à des problèmes dont on pouvait avoir la solution par des équations finies, ainsi que le leur fit voir Jean Bernoulli; il eut même à cet égard un reproche fondé à faire à Newton, qui parutméconnaîtrelavraiedifficulté d'un problème (celui des Irajeciions orthogonales) proposé par Leibnifz aux géomètres anglais, après qu'ils lui eurent contesté ses droilsà la découverte du calcul diflérenliel. Ce n'était point dans la recherche do réqualion différentielle de laquelle dépendait ce problème, mais dans son intégration générale que consistait le mérite de la solution. Newton, possédant des méthodes pour résoudre par les séries, soit les équations algébriques, soii les équations contenant des fluxions, c'est-à-dire des équations différentielles, crut en avoir fait assez en in diquant la manière de trouver celle qui résultait du problème de Leibnitz; et c'est sur quoi Jean Bernoulli, profondément affecté de l'injustice des Anglais envers ce dernier, se récria beaucoup.

« L'école de Newton proposa à son tour un pro blême à résoudre aux disciples de Leibnitz : le choix de la question donne lieu à des remarques qui semblent avoir échappé aux historiens des nouveaux calculs, et qui jettent cependant quelque lumière sur le point qu'ils ont eu à débaltre. Quand on fait atlenlion au soin que Newton avait mis dans

150 Î.K CAUTKSrAXISMK.

In coinposition de sou immorte) ouvrage des Principes, pour le porter aussi en avant qu'il était possible de l'étal de la science au moment où il écrivait, qu^il y a même inséré des résnltais dont il n'a pas donné de démonslralioUy on doit êlreélonné de la manière incomplète dont il y traite le mouvement des projectiles dans les milieux résistants^ comme le carré de la vitesse, cas le plus conforme à ce qui se passe dans la nature. Il n*osè attaquer la question directe; et pour la première fois appelant à son secours l'analyse algébrique, il quitte la synthèse qu'il regardait cependant coumie la seule voie par laq^uelle il fût convenable de présenter une proposition nouvelle (1).

« Lors donc qu'on voit Keill faire de celle ((ueslion directe le sujet d'un déti qu'il porte aux géomètres du continent, n'est-on pas en droit de conclure que non-seulement il la regardai! comme un problème des plus difficiles, mais qu'en cela il était guidé par l'opinion qu'en avait conçue Newton luimême ? Quelle appai'ence que le promoteur de la querelle qui divisait les deux écoles eût osé s'aventurer contre Bernoulli, sans prendre ses sûretés? Il est bien évident néanmoins que le problème n'est pas le plus difficile de ceux qui ont été

(IJ « Ut tiieorema fiai conciununi el elegans, ae lumen^ puhlicum susiir nrrc ^aleat. » Opu^cul.^ t. I, p. 170.

proposés el résolus a la naissance du calcul clifférenliel; mais, pour le Irailer avec succès, il fallaii le ramener à une équation différentielle, car la méthode des séries n'y apporte pas la -facilité qu'elle donne pour l)eaucoup d'auCres, et c'est par celte raison que Newton n'en vint pas à bout. Quant à Keill, il ne pensait pas apparemment qu'une chose qui avait échappé à l'auleur du livre des Principes fût possible ; et il se trouva couvert de ridicule, lorsque Jean Bernoulli le somma de justifier sa provocation, en produisant la solution du problème qu'il avait proposé.

« On objectait en vain que, sous le rapport de l'application à la pratique, la solution de Bernoulli est à peu près inutile ; elle était trop remarquable du côté analytique et géométrique, pour que Newton eût négligé de s'en faire honneur, s il avait pu y atteindre ( ar sa méthode. Son défaut de succès à cet égard et l'exposition de ses tentatives prouvent, ce me semble, que c'était uniquement par le développement en séries qu'il était arrivé aux nouveaux calculs, à peu près comme il l'indique lui-même dans la proposition X du livré H de ses Principes^ et que cette voie ne lui donnait point un accès aussi facile à l'emploi des équations différentielles, que la considération immédiate des accroissemenls en eux-mêmes, à laquelle s'était attaché Leibnilz. Ainsi plus on rapproche toutes

152 LE CARTKSfAXrSMkV

les circonslances des premiers progrès du calcal différentiel, et plus elles me paraissent montrer jusqu'à révidence que Leibnhz n'en a pas^ moins que Newton, travaillé sur ses propres idées (1). » Et ces idées, qui sont celles des diflFérences, lui vinrent à Tâge de vingt ans, 1666, pendant 'qu'il s'occupait de l'art combînaloire (2)* L'emploi des suites conduisit à l'abus, non pas seulement les géomètres du second ordre, comme le suppose M. Lacroix, mais Newton lui-même. Dans n^ « I 1 ^w— 1) n 2 2 'r/(n— l)(n- 2)

2*"'o*+, etc. , OttO est Taccroissement infiniment petite qu'il appelle naissant,]! dit que la première fluxion ou différentielle de jz^ est proportionnelle

ft ( ift — ^— 1 \ à nz'^'^O'. la deuxième à —^ — — -^ ^""^o*: la ' 1-2

.^ , n(n — l)(n— 2) „,,.., troisième a ^ . J l ^ z"~'o'^ ainsi des autres (3). Or, la première n'est pas seulement pro-

(1) Traité du calcul diff. et iniégr<df parLacrofx, préf. p. 13.

(2) Op., t. m, p. 456.

(5) « Quantitatum fluentium fluxiones esse primas, secundas, tertias, aliasque diximus supra. Hae fluxiones sunt ut termini seriaram infinitaruni

convergentiuin. Ut si s" sit quantftas fluens, et ffuendo évadât z + o ,

. I *** — ^ deinde resotvaiur in seriem convergentem »»» + noM^—^ + — - — oo

. , ns — 3nn + 2n , , .

»"-* + 0» «w— 3 +, etc. ; terminus primus hujus scriei »♦•

portionnelle , elle est égaie. Quant aux suivantes^ les rapports variant pour chacune, est-il permis d'avancer qu'il y a proportion entre elles et les termes respectifs du binôme? n'est-ce pas les confondre, ou risquer de les confondre avec eux?

Une fois la géométrie analytique inventée, il ne restait plus rien à trouver, il n'y avait qu'à s'en servir. L'invention du calcul différentiel, au contraire, ne fut qu'une première découverte en appelant sans cesse d'autres, que le commencement d'une œuvre immense qui n'est poiût encore terminée, et qui peut-être ne le sera jamais. Loin de se reposer à l'entrée de la carrière qu'il venait d'ouvrir aux spéculations des siècles futurs, Leibnitz se ceint les reins , et s'y lance le premier. «Tantôt, c'est M. Biot qui parle, il étendait les usages analytiques de cette méthode, comme lorsqu'il découvrit le mode d'intégration des fonctions rationnelles par la décomposition de leur dénomi-' nateur en ses facteurs simples, soit réels, soit

erit quaiUitas illa fluens; secundus nax*^-^ erit ejus inçrementum pri-

nium^ seu difTerenlia prima, cui nascenti proportionalis est ejus lluxia

n' — n prima ; tertius oo sr»— *, erit ejus incrementum secundum, seu

différentia secunda, cui nascenti proportionalis ejus fluxio secuiida ;

n' — 3nn+ 2n . .

quartus o5 «»— s, erit ejus incrementum tertium, seu dif-

fercntia tertia, cui nascenti fluxio terlia proportiouaiis est, et sic dein-

ceps in inflnitum. m Opuseul., 1. 1, p. 241.

loi LE CAKTÉSIAMSME.

imaginai L'es; laiitolil gëuéralisail les principes du calcul, comme il le fit en imaginant de considérer les effets de variabiliië des quantités arbitraires ; d'autres fois enûn il signale avec la sagacité de la plus haute philosophie les inductions oiïerles par la notation, telles que sont, par exemple, les analogies des puissances et des différences, deux remarques, dont Tune, en étendant les idées de variabilité, et l'autre, .en étendant la signification des indices, sont devenues aujourd'hui des principes de découvertes les plus employés. Cette lumière nouvelle et si vive, qu'il jetait ainsi sur l'analyse mathématique, lui faisait saisir entre les diverses parties de cette science de nouveaux rapports jusqu'alors inaperçus, parce que le besoin ne s'en était pas encore fait sentir. C'est ainsi qu'il trouva le calcul des fonctions exponentielles, autre source également féconde en résultais, et dont Temploi revient à chaque instant dans la résolution de toutes les questions mathématiques et naturelles (1).)^ Il eut même l'idée des différentielles à indices fractionnaires (2), dont M. Liou ville a donné une curieuse théorie (3). 11 est presque inutile de dire qu'un homme qui perfectionnait de cette manière le calcul dif-

(1) Biog. univ. ,arl. Leihiiilz, l. XXIII, p. t>3i.

(2) Op., l. III, p. 105.

(3) Journal de l'Ecole polylhecnique^ calfiers 21, 2/i, 25.

LE CAUYÉSIAMSME. 155

(éreiiliel , « en développa la puissance avec une ardeur et une fécondité de génie inconcevables, ^ suivant les expressions du même historien. « On le vil presque aussitôt, dit-il, en montrer les applicaiions à la théorie des courbes, dans Jla recherche des tangentes, à celle des osculations en général et des intersections des courbes sous des conditions données, aux questions^de mécanique, dans la résolution des problèmes, tels que ceux de la chaînette, de la vélaire et de la ligne de la plus vile descente (1). » M. Biot peut ajouter, et a la théorie des (orces centrales, Newton n'y ayant employé que les séries. De Y Essai sur les causes des mouvements célestes sont parties les recherches postérieures, sur le même sujet, de l'Hôpital, Varignon, Bernoulli et des autres. Les Principes mathématiques de Newton n'ont fourni que des énoncés de problèmes.

Leibnilz fut heureusement secondé par Jacques et Jean Bernoulli, l'Hôpital et Varignon. Jacques, qui, le premier, adopta le calcul différentiel, en comprit l'importance en 1687, dans la recherche de la courbe isochrone. A l'occasion des spirales, dont il développait la théorie, il publia, en 1691, un essai decalcul différentiel et de calcul intégral^ spécimen calcul i differentialis (2). Dans le même

(1) Biog. univ.,art. Leibnilz, t. XXXIJI, p. 032.

(2) Op.. t. I, p./i31 el/iai'.

temps, son frère vient à Paris et écrit ses Lecliones malhematicœ de methodo integralium^ aliisque in usum Hospitalii (1), et l'Hôpital à son tour donne bientôt, 1694, r Analyse des infinimenl petits. En 1697, Jean traite des exponentielles. Trois ans après, Varignon se jette avec le nouveau calcul sur les forces centrales et sur les mouvements dans les milieux résistants, qu'il tourne de toutes les façons. 1717 voit paraître le Methodus incrementorum directa et inversa, de Taylor, où se trouve le célèbre théorème qui porte son nom, pour développer une fonction quelconque et son accroissement, au moyen de ses différentielles successives. Peu importe ici que l'auteur adopte les fluxions. Une formule analogue d'intégration avait été publiée l'année précédente par Jean Bernoulli (2). Nous passons la solution d'une multitude de problèmes plus difficiles les uns que les autres. Les indiquer offrirait peu d'intérêt, les discuter serait trop long. Lesques lions qui jusqu'alors ont désespéré les génies les mieux trempés, les questions qu'ils n'auraient jamais osé se proposer, sont traitées avec facilité. Dans une lettre du 22 juillet 1698, Wallis ayant dit à Leibnitz : « Le calcul différentiel n'est pas tant une chose nouvelle qu'une nouvelle manière de s'exprimer, et c'est ce que vous n'avez peut-être

(1) Op., l. m, p. 387.

(î) Actes de Leipsic.

LE CAItTKSlANlSMR. 157

.pas remarqué (1), » celui-ci lui répond : « J'avoue que ce calcul a beaucoup de rapport avec ce que vous, Fermât et d'autres aviez déjà trouvé, et qui n'était pas inconnu à Archimède lui-même. Peutêtre cependant que ce qui existe aujourd'hui constitue un progrès assez considérable, puisque déjà l'on peut arriver à ce qui auparavant était inaccessible aux plus éminents géomètres, comme Huyghens niême le reconnaît. Il en est peut-être de ce calcul comme du calcul analytique appliqué aux lignes coniques ou plus élevées. Qui ne sait qu'Apol lonius et d'autres anciens avaient des théorèmes qui fournissent la base des équations par lesquelles Descartes désigna plus tard ces lignes? ce n'est cependant que par la méthode de Descartes que la chose est ramenée au calcul, de façon qu'on fait commodément et sans peine ce qui auparavant exigeait un grand travail de réflexion et d'imagination. C'est ainsi que mon calcul différentiel soumet à l'analyse même les quantités transcendantes auxquelles précédemment Descartes lui-même n'avait pu l'appliquer... De sorte que ce n'est pas sans raison que j'ai avancé, qu'au moyen de cette méthode, la géométrie dépasse inGniment les limites posées par Viète et par Descartes (2).

(1) « Calr.iilus differcntialis non esl lam rés nova qiiam nova loquendi formulaf iilnt tu id forle non animadvertoris. » Op. Leih.y p. 12â.

(2) « Faleor multa oi esse comminiia mm iis quap et Ubi, et Fermatio

« Il faut rendre celle justice à M. Newton, à qui la. géométrie, l'optique el Tastronomie ont de grandes obligations, qu'encore en ceci il a eu quelque chose de semblable de son chef, suivant ce qu'on a su depuis. Il est vrai qu'il se sert d'auires caractères : mais comme la caractéristique même est, pour ainsi dire, une grande part de Tart d'inventer, je crois que les nôtres donnent plus d'ouverture(l).» Tout en reconnaissant sans peine ce que son invenlion a de commun avec celle de Fermat, de Barrow, de Newton, Leibnilz marque la différence énorme qui l'en sépare.

La supériorité de ce calcul échappe d'abord à Huyghens. Sans lui, il avait trouvé la théorie du pendule, celles des développées; sans lui, il résolvait les problèmes de la courbe isochrone, de la chaînette, queles autres résolvaient avec lui; enfin

aliisque, imo jani ipsi Archiiiiedi erant cxplorata ; fortasse tamen res iiunc niiilio longius provecta est, ut jam effici possint qux aiUea summisgeoineiris clausa videbantiir, Hugenio ipso id agnosceiUe. Perinde fere se res habet ac in catculo aiialytico ad liiieas conicas allioresve appiicato : quis non videt Apollonium, et veleres alios liabuisse iheorciuata qiiae materiam pi aebenl xquationibus, qiiibus Cartesiiis postea lineas designare voluit? Intérim metliodo Cariesii res ad calculum rediicta est, ut jam commode ac.nullo negoUo fiant, qu« antea multo nieditationis et imaginatiouls labore indigebant. Eodem modo calciilo noslro difTereniiali etiani transcendenlia analyticisopcrationibus subjiciunlur, qune inde anlea excluserat ipse Cartesius... Adco ut videar non vane asseruisse geonietriam liac metliodo uiira lerminos a Vieta et Cartrsioposicos in immensnm pronioveri. » Ihid., p. 127 et 191.

(1) lbid.,p. 301.

sans lui^ ayanl, pendant plus de trente ans, ëtonnë l'Europe par ses admirables inventions, on s'explique pourquoi il est quelque temps sans le regarder, et ne l'apprécie que lorsqu'il est comme ébloui de ses merveilles. Six ans après qu'il eut été publié, « j'ai vu de temps en temps, écrit-il à Leibnilz, quelque chose de votre nouveau calcul algëbraïque dans les Actes de Leipsic, mais y trouvant de l'obscurité je ne l'ai pas assez étudié pour l'entendre, comme aussi parce que je croyais avoir quelque méthode équivalente, tant a trouver les tangentes des lignes courbes, où les règles ordinaires ne servent pas, qu'en plusieurs autres recherches. Mais sur ce que vous me dites maintenant de l'usage de votre analyse et algorithme dans les lignes que Descartes excluait, j'ai envie de l'étudier à fond, si je puis, en cherchant tout ce que vous en avez donné dans lesdits Actes. Je vois qu'entre autres utilités de votre méthode, vous comptez Mehodus tangentium inversa, qui serait encore de grande importance, si vous l'aviez telle que, la propriété de la tangente étant donnée, vous en puissiez déduire la propriété de la courbe. » Là il propose deux valeurs de sous-tangentes que nous supprimons, parce qu'il faudrait rapporter les intégrales que Leibnitz donne, et les explications dont il les accompagne ; puis il ajoute : « Si votre méthode sert ici et aux autres choses que vous dites, vous

pouvez être sûr quel sera mon jugement^ el vous m'obligerez fort et tous les autres géomètres en r expliquant le plus clairement que vous le pourrez dans un traité exprès (1). » Celte lettre est du 24 août i690. Le 10 octobre de la même année : « J'ai tâché, depuis ma dernière, d'entendre votre calculus differentialiSj el j'^ai tant fait que j'entends maintenant les exemples que vous en avez donnés^ l'un dans la cycloïde, qui est dans votre lettre, l'autre dans la recherche du ihéorèiiie de M. Fermat, qui est dans le journal de Leipsic de 1684. Et j'ai même reconnu les fondements de ce calcul et de toute votre méthode, que j'estimeêtre très- bonne et très-utile (2). Cependant Huyghens dit encore qu'il croit avoir quelque chose d'équivalent dans cetCe méthode dont il a déjà parlé, laquelle sert aux tangentes et à d'autres recherches , et qui, nous le croyons, n'est que celle de Fermât abrégée, comme ii semble résulter de deux morceaux du premier volume des œuvres complètes de Huyghens (3). Le 5 février 1692 : a Ce que vous dites de votre calculus dîfferentialis dans la recherche de la cycloïde, sans presque de méditation, me parait incroyable. Vous apportez une nouvelle facilité au

(1) Christiani Hugenii aliorumque seculi xvu virorum celehrium e^rercilationes mathematicx et phUosophtex , 1833, p. 28. (%) Ibid., p. 29.

(3) P. 490 et ft98.

LK cartësianismh:. 161

calcul, mais point Tinvenlion qu'il faut dans les problèmes extraordinaires, non plus que Viète par ralgèbre(l). » Enfin le langage change : Huyghens, qui reconnaît au calcul différentiel l'avantage de la facilité, va bientôt lui reconnaître celui de l'iriveniicHi. Le 22 octobre 1692 il avoue, dans une lettre à F Hôpital, que le calcul différentiel «nous fait apercevoir souvent des vérités et des conséquences qui ne se présenteraient pas sans cela (2).» Dans une autre de la même époque, il lui dil, au rapport de Fontenelle, w qu'il voit avec surprise et avec admiration l'étendue et la fécondité de cet art; que, de quelque côté qu^il tourne sa vue, il en découvre de nouveaux usages; qu'enfin il y conçoit un progrès et une spéculation infinis (3). » Voilà ce qui fait dire à Leibnitz, dans l'endroit cité de sa réponse àWallis, sur la prééminence du calcul différentiel, que Huyghens même la reconnaît, Hugenio ipso id agnnscente. On doit déplorer que Huyghens soit mort à l'heure où son esprit s'ouvrait ainsi à la lumière, 1695; et il eût été curieux de voir ce qu'un homme qui avait tant tiré des méthodes antérieures aurait obtenu de celle-là.

La nature des différentielles excite des contes-

(1) Exercit.^ p 120.

(2) Ibid,[i 239.

(3) Éîoge de VHâpital.