THÉORIE DE L'INFINI

Dans récrit qu'on vient de lire, jai'prouvé que la substance n'avait point encore été connue, quant aux principes qui ta constituent; je prouverai dans celui-ci qu'elle ne Fa pas été davantage, quant à sa manière d'exister, et qu'elle ne pouvait l'être, parce qu'on n'avait pas sondé la nature de l'infini. Entendre comment les choses subsistent, quand on sait par quoi elles sont formées, c'est avoir résolu les deux plus grands problèmes de la métaphysique. La substance étant composée de forces et de quantités inséparablement unies, son mode d'existence dépend à la fois de la nature propre de ces deux éléments et de l'influence mutuelle qu'ils exercent l'un sur l'autre

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dans leur intime combinaison. Les philosophes qui ont fait consister la substance dans ia seule force, n'ont pu hii assigner d'autre manière d'être que l'unité exclusive de toute pluralité, de tout nombre; ceux qui l'ont fait consister simplement dans la quantité, ont admis pour seul mode d'existence, une pluralité, un nombre exclusif de toute unité. Les premiers n'offrent qu'une unité fausse, puisque l'unité ne saurait venir de la seule force ; les seconds n'offrent qu'un faux nombre, puisque le nombre, la pluralité réelle, ne saurait venir de la quantité dépourvue de force et livrée par là à une inéviiable dissolution. C'est pourquoi les uns et les autres, quoique partis de points opposés, vont se perdre dans l'abime commun du néant.

Platon a combattu l'unité exclusive et le nombre exclusif. C'est l'objet de Parménide. Mais il n'a pas plus trouvé leur dépendance véritable et leur nécessaire coexistence , qu'il n'a trouvé celle de la force et de la quantité.

De même que pour lui, la quantité et la force sont deux substances, le nombre et l'unité soni deux propriétés de choses différentes. L'unité appartient aux idées, source de la réalité; le nombre à la privation de la réalité, qu'il appelle matière. 11 affirme le nombre contre Xénophane, Pannénide, Mélisse, Zenon ; mais, ji Texemple dePythagore, il le suppose inférieur à l'unité. Sans le

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nombre, rien, d'après lui, ne serait concevable, ni par conséquent n'existerait.; cependant il le croit cause de l'imperfection des èires créés. Cette opi nion domine l'antiquité. Ploiin voulant expliquer la Trinité proclamée par le christianisme, inti*oduit rimperlection en Dieu lui-même. L'wn, c'est ainsi qu'il nomme la première personne, Yun seul est absolument parfait; l'intelligence ou le nombre qui vient immédiatement de Vun et forme la seconde personne, ne Test pas; l'âme, qui forme la troisième personne, étant le nombre qui ne vient de Vun que par l'intelligence, est moins parfait que celle-ci.

Mais Plotinqualifie l'un d'infini (1), âheipon, et le premier il fait consister Tinfini dans l'unité ou quelque chose de réel. 11 est remarquable qu'Eutocius, qui vivait quelque temps après, passe pour l'avoir mis dans jes mathématiques, en considérant la circonférence comme un polygone d'une infinité de côtés.

Depuis lors, en général, les philosophes ont vu l'infini en Dieu considéré comme unité, et les mathématiciens dans le nombre, rapportant le nombre, non à la matière privative des anciens, mais à la quantité effective, qui est Tobjet des mathématiques.

(») Enn.^ III, liv. 7, rh. 4.

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Laquelle de ces deux notions de l'infini adopCerons-nous? Faut-il le placer dans Tunité avec les philosophes? Mais alors qu'en peut-on dire, sinon qu'il est un? Gomment le concevoir? par quoi le saisir? C'est l'unité creuse des Éléates. Faut-il donc le demander au nombre avec les mathématiciens? Le nombre qui, par lui-même, est une collection susceptible de plus ou de moins, peut-il aller avec l'infini, qui ne se conçoit que comme un tout invariable?

Dans la discussion sur l'infini que IxMbnitz eut avec Jean Bernoulli, celui ci soutenait que la série ï+ J+i y ^t^M ^ un dernier terme, qui est infiniment petit (1). En ce cas, il est certain que la collection de tous les termes, n'admettant ni plus ni moins, offrirait un tout constant. Mais qu'est ce qu'un terme qui ne saurait diminuer et qui n est pas zéro? L'atome de Leucippe, une absurdité. Leibnitz rejetait un pareil terme. J'écarte leurs raisons pour et contre, parce qu'ils ne paraissent pas avoir saisi le vrai côté de la queslion. Fonlenelle adopte l'opinion de Bernoulli, et en fait le fondement de sa Géomélrie de r infini . Néanmoins celle de Leibnitz a prévalu. Le cardinal Gerdil, entre autres, l'a forleinent défendue (2). C'est la véritable,

(1) Commercium episl.^ l. 1, p'. 300 ol suiv.

(2) Essai d'une démonstration malhémaliquc contre lélernile' de la matière^ dans le Recueil de dissçrt» .^f/r (luehjues pri'icipes de phil. et da

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(|uoiqu'eIle laisse la série i + ;+^ eic, iiidéteiminée, partant, incompatible avec Finfini. Mais aussi cette série n'existe point seule; elle n'est quun membre d'une égalité dont l'autre est un, c'est-à-dire que l'on a 1 = î+^+i , etc. Le second membre est égal au premier, non par la somme de ses termes, car laddition en est impossible; mais par la loi de génération qui les fait sortir l'un de l'autre : son essence est de pouvoir s'approcher indéfiniment du premier sans jamais l'atteindre. Supposez qu'il l'atteigne, ôtez-lui la possibilité d'en approcher sans fin, vous détruisez également cette série. L'unité du premier membre est le principe de l'ensemble indivisible des termes du second, et l'ensemble indivisible des termes du second épuise complètement l'unité du premier. L'unité est tout entière dans l'ensemble, l'ensemble dans l'unité, sans que l'unité puisse se résoudre dans l'ensemble^ ni l'ensemble dans l'unité. Ils existent tels quels, et par leur coexistence nécessaire, ils forment la nature de cette égalité, et nous montrent, dans un cas particulier, celle de l'infini.

D'où l'on voit que rinfmi n'est ni unité seulement, comme le croient les métaphysiciens depuis

religion, -r- De Vinfini absolu considéré dans la grandeur^ dans les Mi langes de Turin^ l. II, p. St^H.

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IMoiin, ni nombre seulemeni, comme le croient les uiathématicieiis depuis Eutocius, ni encore moins négaCion, comme l'imaginaient Pythagore et Platon; mais qu'il est unité et nombre à la fois, de même que la substance est force et étendue; et, si la substance est constituée par la dépendance essentielle de l'étendue et de la force, elle a sa manière d'exister dans l'essentielle dépendance du nombre et de l'unité. La substance est, voilà son unité; elle ne peut élre sans être d'une certaine manière, c'est-à-dire déterminée, voilà son nombre; sa déteî'mînation l' embrasse tout entière, répond à tout ce qu'elle est, voiJà l'égalité de son nombre et de son unité; le tout pris ensemble, triple et indivisible, voilà en elle l'infini. Toute substance se compose de force et de quantité. Sa quantité étant divisible à l'infini, contient une infinité de parties; chacune de ses parties étant à son tour divisible à l'infini, contient une infinité d'autres parties; chacune des parties de ses parties étant encore divisible à l'infini, contient pareillement une infinité d'autres parties, et cela sans terme.

Si la force d'une substance n'est point divisible, elle a une infinité de degrés jouissant de propriétés différentes et correspondant à l'infinité de parties de la quantité; chaque degré a une infinité d'autres degrés jouissant de propriétés différentes et

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correspondant à I infinité do parties que contient chaque partie de la quantité, ainsi de suite.

Ces infinités d'infinités de degrés et de parties de la force et 'de la quantité^ indissolublement unies, forment des infinités d'infinités d'ordres dans les substances; et ces infinités d'infinités d'ordres dans les substances, sont ce que j'appelle leur manière d'êlre particulière, leur détermination, leur nombre.

Dans chacune d'elles, il y a un infini principal que l'on peut considérer comme leur unité, et il comprend une infinité d'infinis inférieurs, par lesquels il est nombre, rapport, raison, il est intelligible dans tout ce qu'il est; car c'est là ce que signifie être déterminé, avoir une manière, propre d'être.

L'infini, si visible dans la nature des objets, se manifeste plus clairement encore, s'il est possible, dans celle des idées. En chacune il y a quelque chose de général ou d'un, et quelque chose de particulier ou de multiple à l'infini. Par exemple, ridée du cercle est celle d'une courbe dont tous les points sont également éloignés d'un point intérieur qui en est le centre. Augmentez, diminuez sans fin cette distance, qu'on appelle rayon, vous aurez des infinités de cercles dont chacun jouira de la propriété d'avoir tous ses points à égale distand? de son centre. Que .cette propriété cessai

de leur appartenir, ils ne seraient plus des cercles. Que ces cercles cessassent d'êlre en nombre infini^ c'est-à-dire d'êlre possibles au delà d'un nombre limité, de mille, par exemple, cette propriété . serait anéantie. Ne s étendant qu'à ces mille cercles, elle serait particulière et non plus générale, et, comme son essence est d'être générale, elle ne serait rieii.

Puisque tout ce qui est intelligible l'est par l'infini, que ce qui ne serait point intelligible ou déterminé ne serait rien, il en résulte que l'infini est partout, et le fini nulle part; en d'autres tei-mes, que, contrairement à l'opinion des anciens, avant Plotin et Eutocius, c'est le fini qui est négatif, et l'infini qui est positif. Ne dites pas que je mets un mot à la place d'un autre, qu'ils entendaient par fini ce que j'entends par infini; car ils attachaient l'idée de borné à ce qui est quelque chose d'effectif, et l'idée de sans bornes à ce qui n'est rien. A leurs yeux, un être avait plus ou moins de perfection, selon qu'il était moins ou plus illimité. Dieu, absolument parfait, n'avait aucune matière, et la matière absolument imparfaite n'avait aucune limite. Le reste flottait entre les deux extrêmes participant inégalement de l'un et de l'autre. Ils ne s'apercevaient pas que dans le limité, devait être le sans limites, et qu'avec leur fini, dans tous les sens, ils allaient se perdre dans l'unité de Par-

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mënide, ou dans l'alome de Leucippe.Cet éial de leur esprit se liait à la notion qu'ils se faisaient du inonde, où ils ne voyaient que comme un grand édifice, dont la terre alors connue, c'est à-dire une partie de l'Europe, de l'Asie et de l'Afrique, était le sol, et le ciel tel qu'il paraît naturellement aux yeux, les murs et la voûte. Ainsi obsédés de bornes, ils ne songeaient qu'au fini, qui les pressait de toutes parts.

C'était l'enfance de la philosophie. Naissantes comme elle, les mathématiques et l'astronomie ne lui offraient aucun secours. Les mathématiques n'avaient point encore révélé l'infini dans les idée^ de grandeur, ni l'astronomie dans les dimensions de Tunivers. En vain, dans les derniers temps, Plotin le conçoit en Dieu et Eutocius dans la géométrie; pour le voir réellement en usage, il faut sorlir de l'antiquité. En se lançant au delà de l'Océan, sur des continents opposés aux nôtres, et montrant ainsi la terre ronde et suspendue dans l'espace, Colomb porte le premier coup au prestige des sens. Bientôt, à l'œil armé du télescope et du microscope, l'infiniment grand et l'infiniment petit s'annoncent dans la nature. Descartes ne lui impose aucune borne en grandeur. Kepler emploie l'infiniment petit' à mesurer les solides (1).

(1) Stereometria doliorum.