DE L INFINI

D'où il suit encore que, quoique le inonde soit seulement établi le nombre de la substance divine^ la substance divine n'est pas plus grande que le monde, car son unité, qu'on semble placer hors du monde, est avec son noml)re dans le monde même, puisque chaque substance est tout entière dans son nombre, comme elle est tout entière dans son uniié, et que là où est son unité, là est son nombre^ c'est-à-dire elle-même.

Sans tomber dans la même erreur, Platon semble croire que le plan ou idée de l'univers remplit entièrement la pensée de Dieu (1). Dans son ignorance de l'inOni, il devait naturellement penser qu'il n'y.a guère rien de possible au delà des créatures existantes. Mais que l'infini paraisse, Tenlenderaent divin s'agrandira, Malebranche et Leibnilz y verront les idées d'une infinité de mondes infiniment plus amples. Cependant, du milieu de ces infinis, iisnes'élèventpoint à l'infini absolu, devant lequel s'évanouissent tous les autres. Ils prétendent que parmi ces mondes possibles il y en a un qui est le meilleur, et que pour cela Dieu a été obligé de le choisir ; par conséquent, il n'en pouvait créer un plus parfait, que le monde existant, comme ils l'avouent eux-mêmes sans peine. Ils accordent néanmoins que le degré de perfection que celui-ci

<l) OEuw, l. Xn,p. 120 et 121.

kïO THÉORIK

possède, n*est point l'infini absolu^ qui n'âppartienl qu'àDieu; que c'est seulement un infinirelatif, c'està-dire unsystème d'infinités d'infinis, qui sont finis en quelque sens. Ils ne songent pas que tout ce qui est fini en quelque manière, implique toujours des infinités d'infinis au-dessus de soi, et qu'ainsi Tœuvre de Dieu est à l'infini de l'infini au-dessous de ce qu'elle pourrait êlre, Malebranche donc et Leibni(z, en soutenant que Dieu ne pouvait la faire supérieure, limitent arbitrairement le pouvoir de Dieu, et méconnaissent l'infini en tons sens, qui respire en lui. Aussi renversent-ils la nature de l'infini, qui, dans cette suite infime de mondes possibles successivement plus parfaits les uns que les autres, repousse un dernier monde contenant l'extrême perfection. Leibnitz n'a su tirer aucun parti des paroles déjà citées : « Vomnia pris comme numerus maximvs est une chose contradictoire, comme numerus minimum, les deux extrémités, nihil el omnia, sont hors des nombres, extremitaies exclusœ non inclnsœ. » Oui, Vomnia pris comme numerus maximuSy c'est-à-dire dans la question qui nous occupe, pris comme le monde le plus parfait, est une chose contradictoire. D'un côté, il faut qu'il soit infini, puisqu'il est le dernier terme d'une suite ascendante qui va à l'infini. De l'autre il faut qu'il ne soit point infini, puisque, s'il l'était, les autres mondes, qui sont finis, s'annule-

DE fc'iNFINI. kï\

raient à côlé de lui, il n'y aurait plus de série^ et il serait seuL représenté dans l'entendement divin, ce qui est contre l'hypothèse, et contre la vérité. Pour me conformer au langage ordinaire^ j'appelle ici finis des mondes qui ne sont pas infinis dans tous les sens; et celui que j'appelle infini n'est point l'infini absolu, mais seulement infini dans plus de sens que les autres.

On le voit, cette infinité de mondes que Malebranche et Leibnilz mettent avec raison dans l'entendement divin, se réduit à un seul, par leur faux principe de l'optimisme, et faisant rétrograder la notion de l'infini jusqu à Platon, pour eux comme pour lui j la pensée du Créateur n'est pas plus étendue que l'idée du monde créé. Cette conséquence qu'ils n'aperçoivent pas et devant laquelle ils eussent probablement reculé, est tirée par Charles Bonnet, disciple de Leibnitz. a L'Entendement divin, dit il, n'a point vu diflerents univers aspirer l'existence. La Sagesse n'a point choisi entre ces Univers le meilleur. Un, seul Univers était possible : c'était celui dont Dieu a dit qu'il était bon. 11 était bon, parce qu'il répondait aux Perfections de la Cause. Il était le Plan de la Sagesse, rObjet de la Puissance qui n'a point d'autres bornes que la Nature des Choses (1). LTntelli-

(I) Essai de psychologie, p. 2ôZ

kï'l tuëorif:

GENCE SANS BORNES a VU le Bicu absolu et l'a liiii. Il était Sa pensée, et cette Pensée était cette Intelligence (1). »

L'auteur soutient aussi que la création est nécessaire : « DIEU a créé parce qu'iL était DIEU. Ses Perfections voulaient des Êtres qui goûtassent l'existence. DIEU a créé ces Êtres. En les créant, IL a satisfait à soi (2). » Si Dieu a créé parce qu'il était Dieu et que ses perfections voulaient des êtres qui goûtassent l'existence, il s'ensuit qu'il ne pouvait pas plus s'empêcher de créer que d'être Dieu, et d'avoir les perfections de sa nature. C'est aussi ce qui découle du principe que Dieu a dû choisir le meilleur monde; car s'il est obligé de sedélerminer pour ce qui a le plus de prix, il ne saurait se refuser à créer, puisque l'existence d'un seul être, quelque chétif qu'il soit, vaut mieux que le néant, et par la même raison il se trouve forcé à le créer dès l'éternité. « Ici, dit le même auteur, le possible n'est pas ce qui l'est en soi; mais le possible est ici ce qui l'est relativement à la Cause qui peut Vactualiser. Dans ce sens, un seul Univers était possible; c'était celui qui élait en rapport avec les attributs de la Cause pris collectivement. El entre deux Univers parfaitement égaux en

(2) Utd., p. 251.

DK l'infini. H3

bonté, commenl eût-EtLE choisi? Elle se connaît ELLE-même, et dans Tldée qii'ELLE a d'ELLEinême était celle de ^Univers actuel^ expression de sa Puissance et de sa Sagesse. Celle idée, infiniment complexe, renfermait de toolc éternité dans sa composition, toules les modifications possibles de la Matière et des Esprits (1). »

L'obligation de choisir le meilleur semble néanmoins tellement inséparable de la sagesse souveraine que le contraire a l'atr d'un blasphème, et que pour prendre sur soi de la révoquer en doule, il ne faut rien moins (|ue la vue certaine des erreurs funestes où elle conduit. Mais tout solide qu'est cet argument indirect contre l'optimisme, il satisfait peu l'esprit, qui cependant n'en possède guère d'autres dans plusieurs questions essentielles où les raisons directes échappent, soit h sa faiblesse originelle, soit aux progrès qu'il a faits jusqu'à présent. •

Ici l'esprit humain est plus heureux. La connaissance de l'infini lui montre clairement que l'idée de ce plus piirfait monde n'existant point, elle ne peut être l'objet de l'intelligence de Dieu, ni nécessiter le choix de sa sagesse. Cela prouve combien il est important d'envisagerlm sujet sous toutes ses faces, d'aller au fond des choses et de ne

- (I) Essai analyt. s»/r Ic^facullés de Inme^ art. 159.

ïkï THÉORIE

jamais se contenter d'un premier coup d'œil, quelque vaste et perçant qu'il soit.

Rarement une grande erreur traverse son siècle, sans voir s'élever contre elle la vérité qu'elle nie, et qui doit l'abattre. «Représentons-nous, disent Bos suet et Fénelon dans leur réfutation de Malebranche, représentons-nous, selon la belle image de saint Augustin (1), tout l'ouvrage de Dieu comme étant dans une espèce de milieu entre rÊlre suprême et le néant, qui sont comme ses deux extrémités. De quelque côté que la créature se Courue, elle aperçoit un espace inûni : l'être borné^ en tant que borné, est infmiment distant de l'être infini ; en tant qu'être, quoique borné, il est infiniment distant du néant; la distance infinie qui est entre la créature et le néant, est en elle la marqué de la perfection infinie de celui qui Ta fait passer du . néant à l'être. Par là tout degré d'être est bon et digne de Dieu : par là, le moindre degré d'être porte en lui le caractère de la perfection infinie du ^Créateur. H faut donc se représenter, et en cela rimagination, bien loin de dérégler l'esprit, ne lait que le soulager, pour rendre ses opérations plus parfaites, il faut donc se représenter loutes les perfections que Dieu peut donner à son ouvrage, comme une suile de degrés d'une hauteur

(I ) Contra epist. Man'chœorum quam vocanl fiindamentum . cap. xxxiii, ,n 36 et soq.

DE l'infini. 445

el d'une profondeur sans bornes. Ces degrés, d'un côlé inontenl, et, de l'autre descendent toujours à

rinfîni. Dieu voit tous ces degrés; mais comme ils sont infinis, il n'en voit aucun de déterminé, audessus duquel il n'en voie encore d'autres qui sont possibles; il n'en voit même aucun de déterminé qui ne soit fini et qui par conséquent n'en ait encore d'infinis au-dessous de lui (1). »

Bossuet et Fénelon concluent de là que «bien loin que Dieu ne puisse produire que le plus parfait, il ne peut jamais produire le plus parfait, puisqu'il peut toujours ajouter de nouveaux degrés de perfection à' toute perfection déterminée (2) ; que le plus haut degré de perfection, comme le plus bas, étant infiniment éloignés de lui, ils lui sont également inférieurs; qu'il voit les choses les plus inégales, égalées en quelque façon, c'est-à-dire également rien, en les comparant à sa hauteur souveraine (3); que dans cette supériorité infinie, qui lui rend toutes les choses possibles également indifférentes. Dieu trouve la parfaite liberté de créer ou de ne pas créer le monde, de le créer plus tôt ou plus tard, de lui donner tel ou tel degré de perfection (4). Sans doute, disent-ils, que

(1) OEuv, de Fénelon, t. III, p. 52, édit. île Versailles.

(2) Ihid., p. 55.

H6 TIIROIUK

dans ce choix ploinenienl libre, où Dieu n'a iraûires raisons de se délenniner que son bon plaisir, sa parfaile sagesse ne TabandoDne jamais. Pour èfre souverainement indépendant de l'inégal ilé des objets finis entre eux, il n'en est pas moins sage; tl voit cette inégalité de tous les objets entre eux ; il voit leur égalité par lapport à sa perfection infinie; il voit leur éloignement infini du néant; il voit tous les rapports que chacun d'eux peut avoir à sa gloire, et toutes les raisons de le produire; il voit une raison générale et supérieure à toutes les autres, qui est celle de son indépendance et de l'imperfection de toute créature par rapport à lui; il y trouve son souverain domaine et sa pleine liberté : il l'exerce pour faire le bien, à telle mesure qu'il lui plaît. N'y a-t-il pas dans toutes les vues de Dieu, qui agit librement, une science et une sagesse infinies (i)?.»

Aussi bien que Leibnitz, Bossuet et Fénelon dnt donc compris cette propriété de Tinfîni considéré en tant que nombre, qu'il n'a point de dernier terme; de plus ils l'ont employée à résoudre la plus impartante question, et se sont élevés à l'infini absolu, degré suprême des conceptions de l'homme et de la grandeur de Dieu. Mais ils n'ont point aperçu les infinis relatifs, sur lesquels il do-

(1) Jbid., p. 60.

DE l'infini. 447

mine, et qui, eu s anéaiilissaiil devant lui, seniblenl rétaler dans sa majesté souveraine. On dirait que la pensée n'est pas encore capable de les embrasser à la fois. Si elle s empare des infinis relatifs, ils la remplissent loul entière, etrinfmi absolu lui échappe; si elle atteint linfîni absolu, il lui dérobe les infinis relatifs.

L'infini qui ne fait que paraflre dans les mathématiques et dans les sciences physiques, l'étourdit, il faut qu'elle se familiarise avec lui, qu'elle s'assure de sa réalité. Or, celte réalité est encore disputée dans les mathématiques, où l'infini ne semble qu'un artifice de calcul, et bientôt elle y est niée, ainsique dans la philosophie. D'Alembert(l), Locke et Condillac, reculant jusqu'^à la première antiquité, ne voient dans Tinfini qu une négation. Lagrange tente d'en bannir même le nom, et d'établir le calcul différentiel sans lui. M. de Bonald applaudit (2).

On ne reconnaît pas non plus dans les parties de la création le genre d'infini qui s'y trouve. Jusqu'à la découverte de l'aberralion parBradIey, en 1728, les astronomes croient que les étoiles donnent seilsiblement une parallaxe annuelle, et par suite une dislance aisément assignable. Mais après

(1) Enci/clop., art. Infini.

(2) Législation primitive^ l^ II, p. 185; 3». édiu

kf*S TIIÉORIK

celle découverte, leurs longues lenlalives, pour en saisir quelqu'une, el leur impuissance absolue, agrandissant pour eux sans fin les intervalles qui séparent les astres, leur ouvrent partout les abîmes de l'infini dans l'univers. « On devrait s'attendre assez naturellement, dit M. Herschel, à ce qu'une base aussi vaste que le diamètre de l'orbe terrestre pût être avantageusement employée pour la triangulation des étoiles; à ce que le déplacement de la terre, d'un point de son orbite au point opposé, produisît une parallaxe annuelle des étoiles, suceplible d'être mesurée, et de conduire par le calcul à la connaissance de leuis distances. Mais quelque raffinement qu'on ait apporté aux observations, les astronomes n'ont pu arriver par cette voie à des conclusions positives et concordantes; de façon qu'il semble démontré que cetiQ parallaxe, même pour les étoiles fixes les plus proches parmi celles qu'on a examinées avec le soin convenable, se irouve mêlée avec les erreurs fortuites inhérentes aux observations, et masquée par elles. Or,* le degré de perfection auquel celles-ci ont été portées, ne permet pas de douter que si la parallaxe en question était seulement d'une seconde (ou si le rayon de l'orbe terrestre, vu de la plus proche étoile fixe, soutendait cet angle si |)etit), elle n'aurait pas manqué d'être universellement reconnue... Étant moins qu'une seconde, la distance

DK l'infini. 44.9

de la plus proche des étoiles est donc plus grande que six irillions, sept cent vingt billions de lieues, 6,720,000,000,000- De combien est - elle plus grande? c'est ce que nous ignorons (i), »

Parlant des amas d'étoiles, il dit que « plusieurs de ces amas doivent contenir au moins dix ou vingt mille étoiles, pressées dans un espace circulaire, dont l'aire n'est que la dixième partie de celle que le disque de la lune recouvre sur le ifirmament. Peutêlre, ajoute-t-il, on nous reprochera d'être épris du gigantesque, si nous songeons à considérer les individus associés dans ses groupes comme des soleils du genre du nôtre, et leurs distances mutuelles comme étant de Tordre de celles qui séparent notre soleil des plus proches étoiles fixes. Cependant, si Ton réfléchit que la lumière confondue de toutes les étoiles qui composent le groupe, affecte l'œil moins vivement quecelle d'une étoile de cinquième ou sixième grandeur, car les plus étendus de ces amas sont à peine visibles à l'œil nu, l'idée qu'on se fera de leur distance, permettra à l'imagination de se familiariser même avec des dimensions aussi énormes (2). » Et plus loin, à l'occasion des nébuleuses : « sous quelque point de vue qu'on les envisage, elles offrent un champ inépuisable de spé-

(1) Traité d'astronomie^ arl. 588,tra(l. de M. Coiiniol,

(2) Art. 6IÛCI 615.

Jl. . *il)

V50 THÉORIK

dilations et de conjectures. On ne saurait douter qu'elles ne soient, pour la plupart, formées par une agglomération d'étoiles, et l'imagination se perd dans cette série interminable qu'elle entrevoit, de systèmes qui se groupent pour former d'autres systèmes, de firmaments qui composent d^autres firmaments (1). » Voilà l'infini physique en grandeur et ses divers ordres. L'infini physique en petitesse et ses ordres divers, que fait deviner le microscope, ne sont pas moins certains. L'un et l'autre consistent dans une telle distance des choses, qu'elles n'ont rien de commun que de faire partie d'un système qui les embrasse toutes, et de ne s'influencer que par rapport à ce système. L'animalcule imperceptible qui vit en nous dans une goutte de sang ou de lymphe, n'est pas moins éloigné de notre corps, que le globe qui nous porte^ de l'étoile qui se meut avec le soleil autour du même centre de gravité.

Enfin, cependant, M. Bessel vient, assure M. Arago, d'obtenir la parallaxe de h soixante et unième étoile du Cygne. « Elle est un tiers de seconde ou plus exactement 0^,3 1. La parallaxe 0',31 correspond à une distance de la Terre, qui surpasse six cent mille fois T intervalle de la Terre au Soleil, à une distance que la lumière ne franchirait, avec sa

(1) An. 625.

DE l'infini. Wi

vitesse de soixante-dix sept mille lieues par seconde, qu'en dix ans (1).» Il résulte alors d'un calcul fait par M. Hersebel (2), que la lumière d'une étoile de seizième grandeur doit mettre plus de trois mille ans pour arriver jusqu'à nous. Or, cette étoile est-elle donc postée sur les limites de l'univers, qui n'a point de limites pour l'imagination? Ainsi, il est des «étoiles dont la lumière ne parviendra jamais à la terre 1 Que dis-je? Il en est dont la lumière ne saurait y parvenir! Mais je ne m'arrêterai pointa ces supputations prodigieuses; il faut poursuivre mon sujet.

Par l'impossibilité de se passer de l'infini dans les mathématiques, il y rentre triomphant. Il est vrai que c'est avec l'erreur de Leibnitz, qui, peu d'accord avec lui-même, tout en rejetant l'existence d'un dernier terme ou de l'infîniment petit dans la série 5^+7+5+ etc., admettait les infiniment petits dans les différentielles. Suivant Poisson, l'un des promoteurs de ce retour, « on est conduit à l'idée des infiniment petits, lorsqu'on considère les variations-successives d'une grandeur soumise à la loi de continuité. Ainsi le temps croît par des degrés moindres qu'aucun intervalle qu'on puisse assigner, quelque petit qu'il soit. Les

(1) Analyse hist. et critique de la vie et des travaux de air WtV tant Herschel; Annuaire du Bureau deslovgiludes, p. 385, an 18/i*?.

(2) Trat/é^d'aser., nri. 500.

kbi THÉORIE

espaces parcourus par les différenls points d'un corps, croissent aussi par des infiniment petits; car chaque point ne peut aller d'un point à un autre, sans traverser toutes les positions intermédiaires; et Ton ne saurait assigner aucune distance, aussi petite que Ton voudra, entre deux positions successives. Les infiniment petits ont donc une existence réelle, et ne sont pas seulement un moyen d'investigation imaginé par les géomètres (1). »

Il nous semble que c'est le contraire qu'il faudrait conclure. Si d'un pointa un autre, on ne peut assigner aucune distance, aussi petite qu'elle soit, il est clair que ces deux points se touchent, ou qu'iis ne sont séparés par aucune distance, ni dès lors par aucun infiniment petit. Le corps se meut d'une manière continue, sans intervalle de lieu et de temps.

Divisez l'espace parcouru et la durée du mouvement, vous aurez des distances d'une position et d'un instant, a la position et à Tinstant suivant; mais ces distances, Cant qu'elles existeront, ne seront pas plus petites que toutQ grandeur donnée , ni par conséquent des infiniment petits ; et si vous cessez de partager l'espace et la durée, tout rentrant dans le continu de l'étendue et du temps, ces distances s'évanouiront et il ne restera rien qui prête réalité aux prétendus infiniment petits.

(1) Traité de mécanique^ t. I, p. 1û; S*" é(Mt

OK l'infini. 453

Bernoulii argiimenlait du même cas : « Un corps dont le mouvement décrit une ligne, existe sans doute par le fait en chacun des points que je puis concevoir dans cette ligne; donc il existe aussi en deux points que je conçois comme infiniment rapprochés, et par conséquent il a réellement parcouru l'intervalle qui les sépare, c'est-à-dire une particule inPmiment exiguë (1). «D'après ce que je viens d'expliquer, cette particule infiniment exiguë n'est qu'un mot.

Dans son Traité élémentaire de la théorie des fonctions et du calcul infinitésimal y où l'on remarque le commencement de l'alliance des mathématiques, et d'une philosophie qui sort des sensations, M, Cournot s'efforce aussi d'établir les infiniment petits. « Quand un corps, dit-il, en se refroidissant, émet sans cesse de la chaleur thermométrique, la perte de température qu'il éprouve dans un intervalle de temps quelconque, si petit qu'on le suppose, est un effet composé, résultant, < omme de sa cause", de la loi suivant laquelle le corps émet sans cesse, en chaque existant infiniment petit, une quantité infiniment petite de cha-

(1) n Corpus quod niotu siio describil iiiieam, existit uliqiie actu singulis punclis quae in illa linea concipere possum; ergo étiam in duobus quae ego concipio infinité sibi vicina; adeoque aclu intervallum iilud, seu parliculani infinité exignam, cmcnsum est. » Cnmmercium epist,^ t I, p. 391.

45V TuÉOBit:

leur theriTioinélrique. Le rapport entre les variations élémentaires de la chaleur et du temps est la raison du rapport qui s'établit entre les variations de ces mêmes grandeurs, quand elles ont acquis des valeurs unies, le terme raison étant pris ici dans son aôceptiou philosophique.

« De même les espaces décrits par un corps qui tombe librement, en cédant h l'action de la pesanteur, varient proportionnellement aux carrés des temps écoulés depuis le commencement de la chute, parce que l'accroissement infmimeht petit de l'espace parcouru est proportionnel à la vitesse acquise, qui elle-même, par un résultat évident de l'action continuelle et. constante de la pesanteur, est proportionnelle au temps écoulé depuis que le corps est en mouvement. De cette relation si simple entre les éléments du temps écoulé, et de l'espace décrit, dérive, comme de sa cause, la loi moins simple qui lie entre elles lès variations finies de ces deux grandeurs.

« Sous ce point de vue, on a pu dire avec fondement que les infiniment petits existent ^ans la nature (i). »

C'est une illusion du même genre que celle de Bernoulli et de Poisson. Dans les deux exemples que l'auteur propose, on voit bien que les rapports

DE LINFINI. 455

élémentaires ou différentiels da refroidissement et du temps, et ceux de l'espace et du temps conduisent à leurs rapports ordinaires ou algébriques^ et déterminent la perte de température, et la loi du mouvement accéléré. Mais de ce que les rapports différentiels s'appellent aussi rapports d'infiniment petits, s'ensuit-il que les infiniment petits existent? La question précisément n est-elle pas de savoir ce que sont les différentielles, quelque nom qu'on leur donne.

11 est faux de dire avec Poisson, que « la différentielle dx d'une variable indépendante, est l'accroissement infiniment petit qu'on attribue à cette variable, et que la différentielle dy d'une fonction y de X, est l'accroissement correspondant de cette fonction (1). j»

La quantité croît ou décroît d'une manière continue. Tout à l'heure j'ai montré que dans la ligne qu'un corps parcourt, il n'existe aucune position intermédiaire ou distance d'un point à l'autre. Par la pensée, sans doute, on peut rompre cette ligne en tant de .parties qu'on voudra, mais à moins qu'on ne les suppose écartées les unes des autres, ces parties ne laisseront point d'intervalle. Dans le mouvement uniforme, la vitesse est Tespace divisé par le temps; pour qu'elle le soit encore dans

• (1) Tiailc de mécanique^ {. I, p. Ifi; 2'' «HUt.

456 TUÉOKIK

le mouvement varié ou qui change d'un point à ud autre, on resserre l'espace et le temps en un point, on les fait nuls. Alors on dit que la vitesse est la différentielle de l'espace, divisée par la différends tîelle du temps, ou — .De même une ligne qui

coupe une courbe en deux points, devient tangente, si Tun des points va se confondre avec l'autre; mais dans ce cas, les accroissements respectifs de Tabcisse et ceux de l'ordonnée par lesquels le premier point était déterminé, s'anéantissent, et leur rapport qui fixe la tangente est le rapport de la différentielle de l'ordonnée et de la différentielle

de l'abcisse , c'est-à-dire -^ . Ainsi les différends?

tielles de, df, dy, d;c, sont substituées à des zéros, et non pas à des quantités infiniment petites.

Mais quoi! ces symboles, qui jouissent de si merveilleuses propriétés, ne représentent-ils les quantités en aucune manière.? sont-ils de purs riens? Newton, Euler, Font enseigné, et il senibfe que ce soit une nécessité, que la rigqeur du calcul l'exige. Cependant l'imagination nous abuse. Si ces symboles remplacent des zéros, ils ne répondent point à des choses nulles; ils expriment l'unité de Tinfini. Le rapport d'une fonction et de sa variable reste le même, tandis que la fonction change, par suile des < hangements de la variable.

DK l'infini. W7

Ce rapport fait son unilé, et les changements sans fin dont la fonction et la variable sont susceptibles, font son nombre 7 Tune et l'autre son inûni. La différencier c'est prendre la partie de son infini qui est unité, et laisser la partie qui est nombre ; c'est dégager lapremière, en excluant ou annulant la seconde, sous laquelle elle est cachée. Intégrer cette différentielle, c'est restituer à la fonction son nombre. Lorsque dans une substancetious faisons abstraction du particulier ou du nombre, pour ne considérer que le général ou l'imité, nous agissons comme dans la différentiation ; et lorsque nous revenons à considérer* aussi le particulier, nous agissons comme dans l'intégration. Que de l'idée d'un homme ou des hommes, on s'élève à ridée de l'homme même, et qu'avec l'idée de l'homme on descende à l'idée d'un homme ou des hommes, on exécutera en métaphysique deux opérations analogues à celles de différencier et d'intégrer en mathématiques. •

Si la différentielle d'une fonction est plus générale qu'elle, ainsi que Lagrange le dit (1), ce n'est qu'en apparence, puisque la différentielle se trouve contenue dans la fonction, où elle est enveloppée par l'individuel de cetle fonction. M. Cournot observe « qu'il conviendrait d'appeler la diffé-

(1) Leçons sur le cakul de^^ fond ions ^ p. 163 ; 2* édit.

/»58 TIlÉORlIi:

rentielle fom^lion générairice ou primilive, et la fonction complète fonction dérivée, au lieu d'appliquer ces dénominations en sens inverse, comme Ta fait Lagrange, guidé en cela par des considérations de pur algèbre (1). » Effectivement, c'est la différentielle qui fait l'essence de la fonction, qui est la loi des changements que celle-ci éprouve par suile des changements de la variable, et non pas la fonction qui est la loi de la différentielle, comme c'est l'idée générale d'homme, et non pas l'idée particulière de tel ou tel individu, l'universel et non pas l'individuel, qui est l'essence de l'hotnme. Mais dans ce cas, au lieu de dire avec l'auteur que la loi des variations des grandeurs finies résulte de la loi des variations infinitésimales, il faudrait dire qu'elle est 'la même. Ladifférentiation ne fait que la mettre en évidence en écartant ces grandeurs finies qui la voilent.

Les partisans des inflniuient petits ont raison de soutenir que les différentielles ne sont point zéro; mais ils ont tort de supposer que leur réalité est dans l'individuel, avec lequel ils confondent l'universel. Ils ressemblent aux conceplualistes, qui, en philosophie, fondent sur le p iriiculierles notions générales, ou, pour parler autrement, qui ne voient

(l) Traite rlémcnlaire de la Ihéoric des fonctions et du calcul infinitcf^imal^ I. I, p. 87.

DigitizecWDy

DE LINFINI. 459

dans Tuniversel qu'une pure coneeplion dérivée de rindividuel. Dans Texponenlielle ^.se conCondent, par une exception singulière, l'universel et l'individuel, le coefficient différenliel et la fonction complète.

Leibni(z croyait faussement que les intégrales étaient des sommes de différentielles, et que le calcul intégral devait être appelé calcul sommatoire, summatorius (1). 11 est étonnant que Leibnitz, qui savait si bien distinguer les idées générales des idées parliculières, n'ait pas vu dans le rapport essentiel d'une fonction l'idée générale, et dans leis valeurs successives des variables de la fonction, les idées particulières de cette fondion. Jean Bernoulli donnait au calcul intégral, avec raison, le nom qu'il porte ; car ce calcul, rendant à la fondion son nombre, la rétablit dans son intégrité. Pour désigner rintégration, il employait d'abord naturellement la lettre I, initiale d'intégral, ensuite il l'abandonna mal à propos et prit la lettre S, initiale de somme, lettre dont se servait Leibnilz (2): Penserait-on que celui-ci se soit égaré jusqu'à assimiler les différentielles aux racines imaginniros (3), et que, de nos jours^ Carnol n'ait pas craint d*cla-

(1) Commercium cpist.y t. 11, p. 161.

(2) Ibid., p. 155.

(3) Op , I. in, p. 371 cl 500.

WO TIIKORIE

blir un rapprochemeni entre elles et les quantités négatives (1)?

M. Lacroix, M. Cauchy et d'autres géomètres qui rejettent les infiniment petits, les évitent en employant les limites, où entre également la considération de l'infini. Mais il se rencontre deux difficultés : la première, c'est que les changements des fonctions et de leurs variables étant nuls, les limites des rapports de ces changements ne le soient pas; la seconde, c'est que les liens de ces rapports avec leurs limites ne s'allèrent ]K)int lorsque ces changements passent par zéro.

Dans les exemples que nous examinions tout à

de . .

rheure, — est la limite du rapport des change-

ut V

ments de l'espace et de ceux du temps; ~ est

celle du- rapport des changements dé l'ordonnée et des changements de Tabcisse. Ici de dt, dy, dœ, ne représentent ni des zéros, ni des infiniment petits, mais certaines quantités assignables. Cependant, pour arrivera ces quantités, il faut anéantir les changements ou accroissements de l'espace, du temps, de l'ordonnée, de labcisse. Alors, que reste-t-il de ces quantités? et s'il reste quelque chose, comment se fait-il que le rapport de ces

(1) Réjlex. sur la métai^hysiqnc du calcul infriilésimal, noie à la lin.

DE L*1NF1NI. 46i

restes, émane rigoureusement du rapport des changements? Voici un exemple plus sensible. La surface d'un polygone régulier inscrit à un cercle est égale au conlolir de ce polygone multiplié par la moitié de la perpendiculaire abaissée du centre sur un des côtés. A mesure qu'on augmente le nombre de ces côtés ou qu'on diminue leur longueur, le contour approche de la circonférence, la perpendiculaire du rayon, et la surface du polygone de celle du cercle. Le cercle est dit la limite du polygone, le rayon la limite de la perpendiculaire, la circonférence la limite du contour. Mais ne semble-t-il pas absurde que ces côtés, qui alors sont anéantis, produisent une circonférence? en admettant qu'ils la produiseht, quelle certitude a-t-on que le rapport de cette circonférence et de son rayon soit déterminé par le rapport du contour du polygone et de la perpendiculaire tirée du cenlre h un des côtés? On a beau dire que le contour, approchant continuellement et indéfiniment de la circonférence, en différera toujours moins que toute quantité donnée, et qu'en passant du rapport du contour et de la perpendiculaire à celui de la circonfiérence et du rayon, on ne saurait commettre d'erreur. 11 est visible qu'il y a là un saut où la nature des choses paraît changée, où le contour, formé de lignes droites, devient la

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circonférence, qui esl une ligne courbe^ où par conséquent lout a Fair d'être rompu, et où il ne semble pas qu'on ait le droit de conclure ce qui est après de ce qui est avant.

La connaissance de Tinfini montre seule qu'on le peut. Sous le rapport du contour et de la perpendiculaire, elle révèle le rapport de la circonférence et du rayon. (]e dernier rapport, qui sert de fondement au premier, esl l'unité de l'infini; le premier en est le nombre. Le passage du contour à la circonférence dans lequel les côlésdu polygone s'évanouissent, n'est que Télimination du nombre et la manifestation de l'unilé. Qu'on s'arrête au contour, ou qu'on aille à la circonférence, on est toujours dans l'unité. Mais à la circonférence on s'y trouve explicitement, tandis qu'au contour on n'y est qu'implicitement. Du contour à la circonférence, le saut n est donc que partiel. Il y a un fond commun qui ne cesse de nous porter.

D'après M. Lacroix, « la limite, différente pour chaque fonction, et toujours indépendante des valeurs absolues des accroissements, caractérise d'une manière qui lui est propre, la marche de la fonction dans les divers états par lesquels elle peut passer(l). » Ainsi, pendant que la fonction et la

(1) Traité élem. de calcul différ.,p, 87, 5* édil.

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vaiiable prennent des valeurs diflférenles, la liniile demeure conslanle et règle les changements. Par conséquent elle consFsle dans un rapport iniérieur qui est la manière dont la variable entre dans la fonction et qui constitue la nature de celle-ci. « Plus les accroissements de la variable indépendante sont petits, poursuit l'auteur, plus les valeurs successives de la fonction sont resserrées, plus enfin cette fonction approche d'être soumise à la loi de continuité dans ses changements, et plus leur rapport à ceux de la variable indépendante approche d'être égafl à la limite assignée par le calcul. » Mais pourquoi cela, sinon parce qu'alors ce qui change tend à s'évanouir et h mettre à découvert ce qui ne change point? Lorsque la fonction est soumise à la loi de continuité dans ses changements, qu'il n'y a plus d'intervalTes entre les valeurs successives qu'elle reçoit, que Ifes accroissements ou décroissemenls de la variable sont zéro, la partie inuable de la fonction s'en va, et apparaît en même temps'la partie immuable, qui est ce qu'on appelle ici la limite.

La loi de continuité, ou plus simplement la continuité forme le lieu de passage de l'une à l'autre. Elle n'est point la limite de la fonction, mais la limite du changeant et du non changeant. En elle s'annule ce qui change, et en s'annulant laisse voir au delà ce qui ne change point. Sui-

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vant Navier (1) et M. Cournpt (2), la limite mesure le rapport des changements de la fonction et ceux de la variable. Ceci est encore vrai. La limite étant r unité, la loi de la fonction, elle détermine son nombre ou le rapport de ses changemenls et de ceux de la variable. Dans l'équation d'une courbe, le rapport des changements respectifs des variables, rapport qui lui-même change continuellement, ne dépend-il pas du rapport fondamental exprimé par cette équation, rapport qui ne change point et qui fait l'essence immuable de la courbe? En morale, n'est-ce pas par l'idée de la vertu qu'on estime, qu'on évalue les vertus ou les divers degrés de vertu, qui se rencontrent dans les actions humaines?

Mais que ce soit avec la théorie des limites, avec celle des infiniment petits, pu avec tout autre que l'infini rentre dans les mathématiques, peu importe; l'essentiel, c'est qu'on l'y reconnaît existant par la nature de la quantité, et non plus seulement comme artifice analytique; de même qu'autour de nous, sous nos pieds et sur nos têtes, il n'est plus jugé l'effet de F imperfection des instruments, mais le fond des amplitudes de la création. Au reste, en combattant l'existence des infiniment

(1) Ré$umé dex leçom d'analyse^ part, i, p. 7.

(2) Traité élémentaire, 1. 1, p. 53.

petits, nous ne prétendons point en proscrire le mot, qui peut être utile dans certains cas. Il suffit que celle expression, ainsi que 'celle de limite^ soit bien expliquée et bien comprise. D'ailleurs r invincible rectitude de l'analyse les empêche de fausser le calcul.

L'infini reparait aussi dans la philosophie, mais seulement poiïr les idées qui appartiennent^ Ten-^ tendement divin, et pas encore pour celles qui appartiennent au nôtre. C'est qu'en général on nie ces dernières, et qu'on n'admet que les autres dans la pensée. De là vient que Biran, par exemple, soutient que l'âme ne se connaît poinl.^ S'il s'en- ^ndait lui-même, il devrait soutenir qu'elle ne connaît rien. Sans les idées qui font qu'elle pense, comment (onnaîtrait-elle qiK)i que ce ^oit? Avec ces idées, comment ne se connaîtrait-elle pas avant tout, puisqu'elles ne peuvent donner la connaissance de rien qu'en donnant la connaissance (reHes-mèmes^ et par conséquent de l'âme, dont elles forment la substance?

Entre une connaissance réelle de l'âme et une ignorance de tout, il n'y a point de milieu. Biran, et, avant lui, Malebranche, qui, dans la pensée, ne voit non plus que les idées divines, en supposent un singulier, c'est que l'âme se connaît par con-science. Ordinairement on appelle conscience ce mélange d idées et de sentiments qui, en morale,