II. ' y

130 LK CARTÉSIÀNISMK.

géométriques^ on trouve les équations de la ligne droite et des quatre seclions coniques. Voici ses propres paroles touchant la ligne droite : «Soit NH

une droite donnée de positicm, et N un point donné sur cette droite. Posons NH égal à la quantité variable A, et suivant l'angle donné NHI, menons la droite HI, égale à une autre quanti té varia-

ble E. Si Fou fait 7-= ^^ , le point I se trouvera sur

une droite déterminée par la relation DA = BE. «Eneffet^onauraB : D:: A : E. Donc le rapport

^ se trouve déterminé, et d'ailleurs Tangle NHI

est donné. Donc le triangle NIH est déterminé en grandeur, et par conséquent aussi l'angle INH. Mais la droite NH et le point N sont donnés de position ; donc la droite NI sera également donnée de position, et il sera facile de la construire (!)• »

(t) « Kecta data posiiionef sit NHM,cujus ponctum datiim N. NH squeliir qiianiitati ignotae A, et ad angulunt datum NHI, elevata recta Hl sii

À et E étant des quantités inconnues, ignolœ^ ou variables, l'équation DA = BE s'écrirait aujourd'hui : hx = By, ony=-^œ; c'est bien Téquation

(\e la ligne droite passant par l'origine des coordonnées, qui est ici le point N, On ne saurait donc nier que Fermât n'ait fait la même découverte que Descaries, mais si pénible, si chétive, si peu explicite, que celui qui la saisirait sans la connaître déjà, la ferait presque une seconde fois; tandis que, chez Descartes, elle est dans sa puissante lumière. Il semble, malgré sa brièveté, se jouer avec elle, par la manière dont il l'expose, et par les problèmes qu'il résout. Cette différence énorme suffirait seule pour écarter le soupçon d'^eiiiprun t de la part de l'un ou de l'autre, soupçon qui, du reste, ne s'est jamais élevé. N'oublions pas d'observer que les recherches depuis longtemps poursuivies sur les lieux géométriques, furent une préparation au moyen de les représenter par l'algèbre.

Après la ligne droite, les anciens, faule de sym-

xqualis alteri quantitati ignotx E. B in A aequetur D in E. Puncluni I erii ad lineani rectam positione datuni. DA- 1 BE

« Ërit enim ut B ad D., ita A aci E. Ergo ratio A ad E data est, et datur angulus NHI. Trianguius igitur NIH specie, et angulus INH. Datur aulem punctum N vi recta NH positione. Ergo dabilur NI positione, eteritfacilis <*ompositio. » Ad loeos ylanps etsoUdos isagoge^Oper.^ p. 1.

i32 r.Ë GARTÉSlANISMIi:.

boles, n'ayant surpris le continu que dans la génération du cercle, de l'ellipse, de la parabole et de l'hyperbole, réservèrent exclusivement à ces courbes le nom de géométriques, et appelèrent mécaniques les autres qu'ils envisagèrent, savoir : la conchoïde, la cissoïde, la quadratrice et la spirale, dont ils n'obtenaient les points que un à un. Or, Descartes admet bien au rang des géométriques la conchoïde et la cissoïde, « parce qu'on I>eut les imaginer décrites par un mouvement con-linUj ou par plusieurs qui s'entre-suivent et dont les derniers sont entièrement réglés par ceux qui les précèdent, car par ce moyen on peut toujoure avoir une connaissance exacte de leur mesure ; » mais il renvoie « la quadratrice et la spirale parmi les mécaniques, à cause qu'on les imagine décrites par deux mouvements séparés, et qui n'ont entre eux aucun rapport qu'on puisse mesurer exactement (1). » En effet, dans leurs équations, qui renferment la circonférence et des parties de la circonférence, le rayon et des parties du rayon, il entre un rapport incommensurable, je dis incommensurable, dans le degré de généralisation où Descartes le considère, et exprimé par les symboles dont il se sert, les chiffres, ou les lettres, qui représentent seulement des lignes droites.

LE CÂRTÉSIANISMK. 133

Mais s ensuit-il que ce rapport ne puisse être mesuré d'apcune manière, ou considéré dans une plus haute généralité et exprimé par d'autres symboles? L'arc et le sinus, algébriquement incommensurables, ne cessent-ils pas de l'être à la li- , mite ou dans l'ordre différentiel, puisque alore leur rapport est l'unité, et qu'ils peuvent être pris l'un pour l'autre?

Je remarque que le symbole de la quantité continue, dû à Descartes, ne représente point, par exemple, la circonférence en soi, mais telle ou telle circonférence. Dans x^+y* — R' =0, je puis attribuer à Xj y, R, une infinité de valeurs indifféremment; néanmoins je suis obligé de leur en attribuer toujours une, je veux dire une valeur déterminée, par conséquent d'exprimer une certaine circonférence, et non la circonférence même. Il en est ainsi pour les équatiotis de toutes les courbes, et enfin pour une fonction vaYiablequel-' conque, nom que l'on donne à la quantité continue et à son symbole. C'est l'individuel de la courbe ou de la fonction, qui est représenté, et non point l'universel, lequel, d'après cela, reste privé de symbole, et qui n'a point été envisagé mathématiquement par Descartes. Il s'est arrêté à moitié chemin, et n'a vu qu'une partie de ce qu'il fallait voir. Leifonitz a poursuivi et vu le tout. Il s'est emparé de l'universel et lui a adapté un symbole, ce

13i LR CARTéSffANrSnK.

qui forme le calcul diffiérentiel, dont l'objet est de dégager l'universel dans les fonctions. Appliqué à y' + a?' -^ R' = 0, il donne ydy + xdx = 0, équation qui n'exprime aucune cirecwQférence particulière, mais la circonférence générale,*da?, rfy, étant indépendants de toute grandeur déterminée ou ,

finie. Quant à leur rapport -— ^ = — —, il représente

bien une grandeur déterminée, mais c'est la tangente trigonométrique de l'angle que la tangente à la circonférence fait avec l'axe des abscisses. Si dans ydy + xdx = 0, il se rencontre encore les grandeurs finies y, x^ c'est que dans la quantité, non plus que dans la substance, l'universel ne peut s'isoler totalement et former un être à part. Il emporte toujours par quelque côté l'individuel avec lui, tout comme l'individuel emporte l'universel, qu'il comprend implicitement,^et qu'il cache, ce qui n'empêche pas qu'on puisse s'occuper de l'un ou de l'autre séparément. L'individuel est-il donné immédiatement? la fonction ne contientelle que le symbole cartésien ou algébrique? on s'élève à l'universel par le calcul différentiel, qui le met en évidence, le rend explicite, en éliminant la partie de l'individuel dont il était couvert. Est-ce l'universel qui est immédiatement donné? la fonction contient-elle le symbole leibnitzien ou transcendant? On descend à l'individuel

par le calcul iniëgral, qui lui restitue la partie éliminée ou supposée telle, et rétablit la fonction dans son intégrité (1).

Les substances ont, dans leur universel, un point commun, une mesure exacte, quoique non calculable, qui est une mesure de perfection. L'universel des esprits, c'est d'être intelligents et voulants; celui des esprits et des corps, c'est simplement d'être. Les lignes droites et courbes, et plus généralement les fonctions, ont dans leur universel un point commun et une mesure exacte, qui est uno, mesure de quantité; leur universel, c'estd'être continues. Si les substances et les fonctions ne se formaient que d'universel, elles seraient toutes et entièrement commensurables, en sorte que, de substance à substance et de fonction à fonction, il n'y aurait que du plus au moins; mais comme elles se composent aussi d'individuel, il arrive que nulle substance ne se peut complètement mesurer, et qu'un nombre fort restreint de fonctions le peuvent. Pouf l'arc d'une courbe quelconque on a l'expression transcendante exacte en

lignes droites, dz = Vdy^+dx^, z étant l'arc, y, a?, des coordonnées rectilignes; quanta l'expression algébrique, elle est rarement possible. Il nous

(1) Pour de plus amples développements sur les |m incipes ou la mêlaphysique du calcul différentiel, voir, à la fin de Touvrage, la lliéorie de l'infini.

136 LE CARTÉSlA-NlSMii;.

suffît ici que loules les fonctions soient coniniensufahlesdans Tune de leurs parties, pour conclure avec Leibnitz(l) contre Descartes, que toutes les courbes appartiennent à la géométrie et tombent sous le calcul. « Descartes admet dans la géométrie toutes les courbes dont la nature peut être exprimée par quelque équation algébrique, c'està-dire d'un degré déterminé* 11 a raison jusque-là ; maiS; tout comme les anciens, il pècheenceci, qu'ail exclut de la géométrie une infinité de courbes qui peuvent cependant se décrire exactement, et les appelle mécaniques, parce qu'il ne peut pas les ramener à des équations et les traiter d'après ses règles. Mais il faut remarquer que ces courbes, comme la cycloïde, la logarithmique et autres de cette espèce, qui sont du plus grand usage, (cuvent aussi bien être exprimées par le cab ul, et même par des équations finies, mais non pas algébriques, c'est-à-dire d'un degré déterminé, mais bien d'un degré indéterminé ou transcendant, et qu'ainsi, elles peuvent être soumises au calcul tout comme les autres. Il est vrai que ce calcul est d'une autre nature que celui qui est vulgairement employé (2).» L'erreur de Descartes venait de ce

(1) Op., t. V, p. 396.

(2) «Cartesius omncs curvas in geoinetriam recipit, quarum natura aM|uatione aliquaalgebraica, seu certi alicujus gradus exprimi possit. Rcctu quidem, scd in eo peccavit non minus quam veteres, qiiod alias Infiuitas,

LK CAKTKSIANISMH. 137

qu'il n avait envisagé que les rapports, de l'iiulividuel dans la quantité continue, rapports qui soiit particuliers h IVgard des rapports de l'universel, quoiqu'ils soient généraux à l'égard des rapports de la quantité discontinue.

Xeibnitz publia les premiers éléments du calcul diflérentiel dans les Actes des savants de Leipsic, du mois d'octobre 1684(1). On les trouve aussi dans une lettre dû 21 juin 1677, qu'il avait écrite sept ans auparavant à Oldenburg, et qui fut peutêtre remise à Newton (2). Il y déclare même qu'il possède ce calcul depuis longtemps, jam a multo tempore. Outre l'antécédent fondamental de l'analyse des variables de Descartes^ on peut dire que certaines façons particulières d'évaluer les lignes, les surfaces, les solides courbes, que le procédé des maxima et minima, celui des tangentes, avaient été un acheminement au calcul différentiel, de même que les lieux géométriques à l'analyse des variables.

(luae tamen etiam accurale describi possunt, ex geonietria excluait, et mecanicas vocavit, quia scilicet eas adaequationes revocare, et secundum sua» régulas tractare non poterat. Verum sciendum est, istas ipsjs quoque, ut cycloidem, logarithmicani, aliasque id genus, quae niaximos habent usus, posse calculo, et aequationibus etiam finitis exprimi, at non algcbraicis, seu ccrti gradnSfSedgradusindefiniti, sive transcendentis. Et ila eodcni modo posse calculo subjici ac reliquas : licet ille caiculus sit alterius naturaequam qui vulgo usurpatur. n Jhid., t. III, p. 159.

(1) P. 250. Op. Leih., t. IIJ, p. 167.

(2) Ihid., p. 80.

f38 LK CARTÉSIANISME.

Pour carrer le cercle, les anciens lui inscrivaient et lui circonscrivaient un polygone, dont ils doublaient successivement les côtés, épuisant ainsi par degrés l'espace entre les périmètres des deux polygones et la circonférence du cercle; ensuite, pour le cercle, ils prenaient l'un des deux polygones. De là le nom d^exhaustion donné à cette marche. Eutocius, qui vivait dans le cinquième siècle, introduisit l'infini, et eut l'idée de considérer le cercle comme un polygone d'une infinité décotes. Cette innovation, alors sans conséquence, reçut, mille ans plus tard, un développement de Kepler (1), pour qui le cercle se compose d'uoe infinité de triangles ayant leur sommet au centre et leur base à la circonférence, le cylindre d'une infinité de prismes triangulaires de même hauteur, ainsi des autres surfaces et solides. Voilà la méthode des indivisibles^ dont Cavalieri (2) et Roberval (3) firent aussitôt un bel usage, mais dont ordinairement ils sont mal à propos réputés les inventeurs. Elle prend un nouveau tour entre les mains de Wallis (4), et, dans celles de Newton,

(1) Novastereomelria, etc. 1615.

(2) Geometria indivisibilium corUinuorum nova qtiadam ratione pro~ mola. 1635.

(3) Traité des indivisibles, i. VI du Recueil ds Mémoires de l'Académie des Sciences de 1666 à 1699.

(4) Arilhmetica injiniiorum . 1655.

LE CAUTKSIANISME. lo9

une extension plus grande (1). 6r, la transition par rinfini d'un polygone à une courbe, d'un polyèdre à un volume terminé par une surface courbe, est au fond celle que le calcul différentiel opère dans les quadratures, cubatures et rectifications, et dans la mise en évidence de l'universel d'une fonction quelconque.

Les maxima et les minima^ dont le germe se trouve aussi dans la Stéréométrie de Kepler, et qui ensuite sont traités par Fermât, offrent, pour Tarlifice de l'opération, une ébauche de l'opération différentielle. Supposons une ligne a, qu'il faille diviser en deux parties telles que leur produit soit un- maximum (2). Désignant par x l'une des parties, l'autre sera a — a? et le produit ax — x\ Que X reçoive un accroissement arbitraire E, il vient ax + aE — â?' — 2a?E — E'. De ce que E est indéterminé et qu'on peut le rendre aussi pelit qu'on veut, il est permis d'écrire «^+ aE — x^ — 2^E — E' = aa? — a?', ou réduction faite, et considérant le

terme E' comme nul, aE — 2a?E = 0, et a; = — a.

N'est-ce pas là ce qui se pratique dans l'analyse différentielle, sauf la modification de la forme

(1) Analysis 'pcr œquationes numéro terminorum infinitas ^ cofinnuuiw que à Barrow. 1669. — Opuscula, 1. 1.

(2) Fermât. Op. p. 63.

IW LE CARTBSIANISMK.

qu'apporte le symbole? Fermai applique sa méihode aux tangentes, ce qui cause un malentendu de la part de Descartes (1), et par suite une discussion vive, mais en soi peu importante, et d'ailleurs étrangère à notre ^ujet, puisque Fermât est en dehors de l'école cartésieflUne, et qu'il n'est ici question de lui qu'accidentellement.

Barrow a une manière plus simple de mener les tangentes. Est-ce celle de Fermât, qu'il aurait perfectionnée, ou en est-il le seul auteur?II la publiée sur le conseil d'un ami, et à titre d'appendicule (2). Il fait usage de deux indéterminées E, A. Qu' on veuille tirer la tangente MT à la circonférence

DMR, il suffilde trouver la sous-tangentè TN. J'élève une ordonnée CA, infiniment voisine de NM, et du point M je mène MP parallèle à ÏR. Le petit

(1) T. vn, p. 6.

(2)' « Ita propositi nostri priore (quam innuebanuis) parte quomodocumque defuncti sumus. Gui supplendae, appendiculae instar, subnecleinus a uobis usitatum melhodum ex calculo tangcnlcs.reperiendi. Quamquam Iiaud scio, past lot ejusmodi pervulgalas atque prolritas methodos, an id ex usu sii facere. Facio salteui ex amici conciiio; eoque libcntius, quod prae caeleris, quas traclavi, compendiosa videlur ac generalis » LecUones geometricx, lecl. x; p. 80, an. 1668.

arc MA pouvant êlre considéré coîunje une ligne droite, le triangle MPA est semblable à TNM. Je

faisAP = A,MP=-E,ainsi-= -^ — — -. Dans

E sous-tang. TN

réquation de la circonférence y" = 2aa? — a?', je

substitue y^r k elor+Eàla place de y et de ic, ce

qui donne y' + 2Ay + A' = 2«j?4-2aE -*- x^ — 2Ea:

— E*. A cause de y' = 2aa? — a?', et de A* et E* qu'il

faut annuler^ j'ai ky = à}L — Ej7=E(a — x)^ ou

7T = • Mais — = ' =rr; donc

E y E sous-tang. TN ' y

— -, ou sous-iang. TN = — — . Il est clair

sous-tang. ^ ^ a — x

^ ' s dy ,^ que — revient a — . On ne saurait être plus près

du calcul différentiel.

Toutefois il reste encore^ deux pas à faire : trouver le moyen d'obtenir immédiatement sur une

fonction donnée la valeur de-rr, sans être obligé

de faire les substitutions, développements et réductions, et puis de lui adapter le symbole ou al-

dv gorithme --^. Newton fait le premier, vers 1664