DEUXIÈME PARTIE

tité engendrée suivant la direction des œ^ pendant le temps correspondant au parcours du quart de la circonféreoee, deviendra, en désignant par r le rayon^ par v la vitesse et par f la force infléchissante,

Iri^-r

On trouverait évidemment la même expression pour la quantité de mouvement engendrée dans les mêmes circonstances, suivant la direction des y ; mais chacune de ces deux expressions est précisément égale à mv. On a donc

d'où Ton déduit

— = mv ;

Telle est la mesure de la force normale capable de transformer en un mouvement circulaire déterminé le mouvement rectiligne uniforme. Telle est aussi la mesure de la réaction due à Tinertie par suite du changement de direction, c'est-à-dire de la force centrifuge.

Lorsque Leibnitz évalue la force centrifuge sur la courbe polygone, il ne prend pas garde que la position occupée par le mobile peut appartenir indifféremment, soit au sommet d'un angle, soit au milieu du côté qui joint deux sommets consécutifs. Or, si dans le premier cas on trouve pour expression de la force centrifuge une

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valeur double de la valeur exacte, dans le second la force centrifuge s'annule. La moyenne donne donc la valeur véritable. Il est singulier que cette remarque échappe à Leibnitz, qui la fait pour la série

Les détails précédents nous ont permis de mettre en évidence ce qu'est la force vive, non une force, mais l'expression d'un fait complexe dans lequel on considère à. la fois l'intensité de la force excitatrice et la continuité de son action par rapport à Tespace. Il nous reste à indiquer maintenant comment cet effet, c'est-à-dire comment le produit d'une force par un espace peut devenir en certains cas la mesure d^une puissance^ et s'introduire dans les appréciations de la mécanique industrielle, où il figure, comme élément capital, sous le nom de quantité d'action.

Lorsqu'il s'agit d'une puissance, telle que l'attraction solaire par exemple, on la définit complètement en énonçant qu'en présence d'un corps extérieur, elle se développe proportionnellement à la masse de ce corps et en raison inverse du carré de la distance. En ce cas, la force naît et persiste indépendamment de la vitesse du point auquel elle est appliquée; il n'y a donc pas lieu de tenir compte de l'espace franchi, pour évaluer la puissance dans son développement continu.

S'agit-il, au contraire, d'un moteur animé? Quelle que soit la circonstance où la puissance se révèle, il n'y a point instantanéité de développement. La force part

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de zéro, croît par degrés et ne peut dépasser une certaine limite. Concevons que cette force soit appliquée à un mobile, libre d'ailleurs et soustrait à toute autre action; supposons, en outre, qu'à chaque instant la puissance se développe autant que le permet la circonstance dans laquelle elle s'exerce. La vitesse graduellement acquise persiste en vertu de Tinertie. Il y a donc d'abord accélération, puis çnsuite uniformité, car bientôt la vitesse esttelle, que la puissance, àqui le mobile échappe, est condamnée à demeurer stérile.

Ainsi, dans les moteurs animés, le développement continu de la puissance n'est pas indépendant de la vitesse du point d'application, et cette puissance ne peut être uHlùée qu'entre certaines limites de vitesse. Un même effort révèle donc des puissances différentes, par cela seul qu'il peut être continué, toutes choses égales d'ailleurs, avec des vitesses inégales.

Considérons deux moteurs capables d'exercer les mêmes efforts dans les mêmes circonstances de vitesse. L'identité relative de ces deux éléments suffira-t-elle pour identifier les puissances? Non, sans doute. Il faut encore y joindre un nouvel élément, fa durée.

Dans l'homme et dans les animaux, la puissance exige, pour se conserver, des intervalles d'inaction. Le temps consacré au travail de chaque jour peut varier suivant la nature de l'effort exercé, mais en général il ne doit pas excéder les ressources que l'organisation du moteur fournit pour une restauration complète, sans traces d'énervation permanente. Plus ces ressources sont éten-

dues, plus la puissance est grande. Il faut donc, pour révaluer, tenir compte non-seulement de Teffort instantané qui la manifeste, mais, en outre, de la vitesse et de la durée que comporte son développement continu. Ajoutons que ces trois éléments varient suivant le mode d'action de la puissance, et Ton reconnaîtra qu'elle n'est susceptible d'évaluation précise que relativement à certains effets déterminés.

L'objet qu'on se propose habituellement dans l'emploi des moteurs et des machines consiste, soit h reproduire périodiquement une certaine vitesse, à partir de laquelle, la puissance du moteur cessant d'agir, d'autres puissances interviennent pour accomplir l'effet désiré ; soit, plus généralement, à réaliser un développement de la puissance non interrompu, et tendant au maintien de Tuniformité dans un mouvement que certaines résistances contrarient, et qui s'anéantirait bientôt si ces résistances n'él aient point contrebalancées.

But essentiel de remploi du moteur ^ et, par conséquent, mesure relative (ié la puissance^ F effet utile est évidemment proportionnel, dans le cas de la périodicité, au nombre de périodes quotidiennes; dans le cas de la continuité, à la vitesse uniforme ou moyenne avec laquelle le mouvement persévère.

Dans le premier cas, chaque période d'action exige de la part du moteur la génération d'une vitesse déterminée. Or la génération de cette vitesse implique , eu égard à la masse mise en mouvement, la génération d'une quantité déterminée de force vive, et celle-ci correspond lou-

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jours à une quantité d'action équivalente fournie par le moteur (1). Supprimons tout intermédiaire : la puissance dans son développement continu s'évaluera par la quantité d'action journalière, c'est-à-dire, par une expression dans laquelle entreront respectivement comme facteurs : \ • Teffort moyen exercé pendant chaque période ; 2* le chemin parcouru dans le sens de cet effort; 91" le nombre de périodes que le moteur peut accomplir chaque jour.

Dans le second cas, la vitesse étant supposée uniforme, réquilibre existe constamment entre les forces motrices et les résistances passives. Néanmoins, le produit de TefiTort exercé par le chemin parcouru dans le sens de Teffort constitue toujours une quantité d'action détermi-

(1) Soient P la force motrice, Q, Q*,... les résistances passives et dp da dg* S^'S'dï»*" '^ vitesses avec lesquelles se déplacent, dans le sens de

ehacnne de ces forces, leurs points d*applieation.

Soient en même temps m, m',... 1^ masa^ des difEirents points du système, et V, v\ ... les vitesses dont ils sont animés respectivement.

&i vertu du principe fondamental de la dynamique, il y a à chaque instant équilibre, au moyen des liaisons, entre les forces données et les réactions dues à Tinertie. Donc on a constamment, en vertu du principe des vitesses virtuelles,

^^ , * ,dv' ^dp ^dq ^,dq*

OU, intégrant pour un intervalle de temps quelconque ,

A (mtt4-m'»'»-f...) = 2 I jPdp - j[ùdq ^ Q' dq' -^ ...) \

On appelle quantité d'action le produit d'une force par le déplacement du point auquel elle s*applique , ce déplacement étant estimé suivant le sens

de la foice. Les Intégrales Çpdp, jiQdq, -| QVg'-h..) «oiil donc, relativement à chacune des forces P, Q, û\... la somme des quantités d'action

née pour chaque intervalle de temps, et servant de mesure à la puissance développée continûment pendant cet intervalle.

Le moteur et la machine, pris dans leur ensemble, fornoent une puissance nouvelle. On observera que le jeu de la machine introduit des résistances improductives qui consomment en pure perte une partie de la quantité d'action fournie par le moteur. Du reste, rien ne change dans le mode à suivre pour évaluer la puissance ; on la mesure, soit en soustrayant de la quantité d'action motrice celle que détruisent les résistances intérieures, soit en opérant isolément sur les résistances extérieures et faisant la somme des quantités d'action qui leur correspondent. En général, les circonstances initiales de la mise en train n^ont qu'une influence tout à fait secondaire sur le jeu régulier qui leur succède. On peut donc en faire abstraction,* introduire en ce qui concerne le temps l'élément de continuité, et prendre pour base commune d'appréciatioa un seul et même intervalle. C'est ainsi que la puissance d'une machine se trouve évaluée par la quantité d'action qu'elle utilise pendant

une seconde. En pareil cas, considéréecomme effet utile, rélévation d'une livre à deux pieds de hauteur équivaut à l'élévation de deux livres à un pied.

Nous avons vu que la puissance des moteurs animés

qui leur correspondent pour la durée que Ton considère. En conséquence, Téqi tion qui précède fournit renoncé suivant :

La somme de forces vif es engendrée on consommée dans un intervalle de temps quelconque est égale au double des quantités d'action imprimées ou détruites dans le même intervalle.

DEOUËME PARTIE 365

ne pouvait se développer qu'entre certaines limites de vitesse. Renoarquons, en outre, qu'il existe pour chaque mode de développement une vitesse particulière à laquelle correspond le maximum de quantité d'action susceptible d'être fournie chaque jour. Quelle que soit la nature du moteur, l'emploi des machines présente des circonstances analogues. En deçà ou au delà d'une certaine limite, il y a toujours réduction d'effet utile, et la perte est d'autant plus grande, que l'on s'écarte davantage de la vitesse uniforme, à laquelle correspond, pour une certaine intensité d'effort, le développement le plus complet de la puissance.

On conçoit dès lors que l'uniformité de vitesse soit, toutes choses égales d'ailleurs, la condition la plus favorable au jeu des machines. On voit de même que si cette uniformité ne peut être rigoureusement maintenue, il importe de s'en écarter le moins possible. Tel est le résultat qu'on obtient en augmentant la quantité de force vive à l'aide de volants.

Presque toujours les quantités d'action que le moteur fournit et celles que les résistances consomment doivent être considérées, les unes par rapport aux autres, comme croissant et décroissant périodiquement entre certaines limites. Cette circonstance dépend soit de la nature des puissances en exercice, soit du mode suivant lequel elles sont assujetties à se développer. Le mouvement s'écarte donc sans cesse de l'uniformité par une sorte d'oscillation qui s'exécute autour d'un état moyen, et de là résultent, pour chaque période limitée par les

états extrêmes, des changements alternatifs de vitesse auxquels correspondent certaines vanations de force vive.

Les variations de force vive ont pour mesure équivalente le double de la somme algébrique des quantités d'action fournies et consommées pendant chaque période. Supposons cette somme déterminée et constante : il en sera de même, non pour le changement de vitesse, mais bien pour la variation de force vive. Or tout changement de vitesse éprouvé par une masse , et correspondant à une variation de force vive déterminée et constante, est d*autant moindre, que la quantité de force vive

qui subit cette variation est plus considérable. Donc d'abord les masses additionnelles à Taide desquelles on augmente la quantité de force vive que possède une machine en mouvement ont pour effet, toutes choses égales d'ailleurs, de resserrer entre des limites plus étroites les changements de vitesse dus aux inégalités d'action du moteur et de la résistance ; mais, en resserrant les limites des changements de vitesse, on atténue la cause de ces inégalités; donc, à plus forte raison, peut-on réaliser ainsi le but qu'on se propose.

Ces notions permettent d'apprécier quelle est la fonction particulière du volant dans les machines, quel rôle il convient, en général, d'attribuer à la force vive, et comment enfin la quantité d'action sert de mesure à la puissance mécanique, considérée dans son développement continu.