DEUXIÈME PARTIE

paraître le second terme; il réussit quelquefois à les résoudre, et donne une méthode d'approximation; il entrevoit les rapports qui existent entre les racines et les coefficients, aperçu qui est ensuite développé par Harriot.

Malgré cet essor, l'algèbre n'a pu s'élever entièrement au-dessus de retendue matérielle, et rompre les liens qu'elle fut forcée de contracter avec elle en naissant. Descartes les brise et l'affranchit, c La notation que l'on employait, dit M. Biot, était encore grossière et affectée des rapports matériels par lesquels on liait l'algèbre à des idées de longueur, de superficie et de solidité. Or l'algèbre est une langue qui a pour objet spécial et pour utilité principale d'exprimer purement les rapports abstraits des quantités. Il fallait donc, pour l'étendre, commencer par la dégager des considérations étrangères qui la limitaient : ce fut le premier service que lui rendit Descartes, et la métaphysique de son esprit... lui fut singulièrement utile dans cette circonstance. Selon cette ancienne limitation de l'algèbre, les produits successifs d'une même quantité étaient représentés dans les trois premières dimensions de l'étendue par un carré et par un cube en perspective, quelquefois par la lettre initiale Q ou G mise en haut de la quantité, quelquefois enfin par la répétition même de la lettre au moyen de laquelle la quantité était désignée. Â toutes ces notations embarrassantes et qui retardaient la pensée, Descartes en substitua une, claire, simple, générale et surtout calculable. 11 imagina de mettre un chiffre

au-dessus de la quantité, et par les différentes valeurs de ce chiffre il désigna ses diverses puissances. Pour sentir toute Timportance de cette découverte, il ne faut que jeter les yeux sur les anciennes formules, et comparer leur embarras extrême avec la forme simple et, pour ainsi dire, saisissable, que l'emploi des exposants leur a donnée (1). > Oui, comme le dit M. Biot, Tesprit métaphysique de Descartes lui fut singulièrement utile dans cette circonstance. Quoique avant lui les exposants ne fussent pas tout à fait inconnus, on ne voit aucun analyste supérieur qui s'en soit servi, ni qu'ils aient été utiles à Tavancement de la science. Pour la simplicité et la facilité, le symbole ne laisse rien à désirer, et, appliqué dans toute son extension, il est d'un usage si grand, qu'il entre dans presque tous les calculs. Bientôt Newton en fait la base d'une formule, le binôme^ qui contient en effet presque toutes les relations de la quantité. Il parvient à cette formule en voulant interpoler une série, afin d'obtenir la quadrature du cercle. On peut voir, dans ses Opuscules (2), la marche qu'il suit, retracée par lui-même.

Descartes reconnaît que les racines négatives, qu'on rejetait antérieurement comme fausses, ne diffèrent des racines positives qu'en ce qu'elles sont prises dans un sens contraire de celles-ci. Il donne une règle pour juger, par le seul aspect des signes, du nombre des unes et des autres, dans une équation qui n'en a que de

(1 Bioq\ univ., art. Descartes, t. XI, p. Ii7. (i) T. 1, p. 3:28. LeUre à Oldemburg.