DEUXIÈME PARTIE

réelles. « Il peut y en avoir, dit-il, autant de vraies que les signes + et — s'y trouvent de fois changés, et autant de fausses qu'il s'y trouve deux signes + ou deux signes — qui s'en tresui vent. Comme en

œ^ — ào?^ —190)^ + 106a?— 120 = 0.

à cause qu'après + a?Ml y a — 4a)^, qui est un changement du signe + en — , et après* — 19 a?* il y a + 106 a?, et après 4- 106 a? il y a — 120, qui sont encore deux changements, on connaît qu'il y a trois vraies racines et une fausse, à cause que les deux signes — de iod^ et 19a^* s' entresuivent (1). » Fermai prend le change et lui reproche d'avancer faussement qu'il y a autant de racines vraies ou positives que de variations de signes, et de racines négatives que de permanences. Descartes le nie avec force : « J'ai dit seulement, répondit-il, qu'il y en peut autant avoir, et j'ai montré expressément quand c'est qu il n'y en a pas tant, à savoir : quand quelques-unes de ces vraies racines sont imaginaires (2) . » En effet, il suffit d'ouvrir les yeux pour s'en convaincre. La même objection est renouvelée par Rolle (3). Six ans après, il est vrai, dans son traité d'algèbre (à), il déclare, avec une bonne foi digne d'éloge, qu'il n'attaquait point Descartes, mais ceux qui croyaient sa règle générale, et que s'il avait connu sa réponse à Fermât, il n'aurait pas manqué de la citer

(3) Journal des Savants^ 1684, p. 251.

(4) P. 270, an. 1690.

pour autoriser les observations que lui^ Rolle, avait faites dans le dessein de justifier Descartes. Cette objection est aussi reproduite par Wallis, en 1685 (1), et par d*autres qui peut-être n'ont pas vu la réponse de Descartes, quoiqu'elle fût publiée depuis '1667, et qui sont aussi distraits que Fermât. Là même, Wallis gratifie Harriot de cette règle; mais plus loin (S) il la restitue à son véritable auteur : t Je reconnais que cette règle ne se trouve pas dans Harriot ; elle est bien de Descartes (3).t Cependant, pour se dédommager de cette justice, il ajoute : « Mais elle est fausse (/i). d Quoiqu'elle ne soit générale que dans le cas où l'équation ne renferme que des racines réelles, elle sert souvent à découvrir les racines imaginaire!^. « Ainsi dans l'équation

œ^ + po?* + 3p* œ — 9 = 0, les signes indiquent une racine positive et deux racines négatives. Supposez que œ = 2p, ou œ — 2p = 0, et multipliez la première équation para; — 2p = 0, de celte manière l'équation résultante devra contenir une racine positive de plus que la première, et il viendra

a?* pa?3 4- p« a?«— (6/)« + 7)0? +2p9 = 0, équation qui devrait avoir seulement deux racines positives et deux négatives ; cependant, en considérant les variations des signes, on voit qu'elle a quatre racines positives. Ceci vient donc de deux racines imagi-

(i) p. 171 àe son Algèbre, dans ses Œuvres complètes.

(3) « Hanc regulam agnosco in Hairiotto non baberi. Cartesianum hoc uUque

est.»

(i) • Sed falsum est. »