DEUXIÈME PARTIE

naires, qui, par leur ambiguïté, se montrent sous la forme de racines négatives dans la première équation, et sous celle de positives dans la dernière (1). » Que réquation manque d'un terme et qu'on le remplace par ±0; si Ton considère la succession des signes avec + 0 et avec — 0, et que le nombre des variations et celui des permanences aient changé, c'est une marque qu'il y a des racines imaginaires. Mais il peut arriver qu'il reste le même, et que les racines ne soient pas toutes réelles. Pareillement, lorsqu'on multiplie l'équation par un binôme œ — q h racine positive, comme dans l'exemple précédent de Newton, il peut se faire que les variations répondent au nombre supposé de racines positives, et qu'il s'y trouve des racines imaginaires. Dans les Éléments d'algèbre, on cite des cas inutiles à rappeler ici. Telle qu'elle est, néanmoins, cette règle a été, pendant deux siècles, ce qu'on a eu de mieux. Les plus grands analystes, à commencer par Newton et finir par Lagrange, n'ont pu, malgré tous leurs efforts, faire un pas décisif après Descartes. L'équation aux carrés des différences, simple en théorie, engage, quand on veut l'employer, dans des calculs fatigants et quelquefois presque interminables. Fourier atteint presque le but. En 1820, il publie (2) une règle dont il était en possession depuis plusieurs années. S'il échoue, ses efforts aident M. Sturm à réussir dans un théorème qu'il donne

(i) Arithm. univ. de Newton^ t. II, p. 9, trad. de Beaodeux. (2) Bulletin des Sciences pour la Soeiité fhHomathique de Paris, p. 156 et 181, an. 1890.

en 1829, Ce théorème exige seulement une dérivée, qui s'obtient immédiatement, et une opération analogue à la recherche du plus grand commun diviseur, entre ta dérivée etréquation. Toutefois, Tesprit a je ne sais quel pressentiment qu'il existe quelque voie encore plus simple. Cette découverte, en montrant qu'il n*y a d'introuvable que ce qui^est impossible, loin d'endormir, doit redoubler l'ardeur. L'emploi des dérivées remonte à Rolle^ qui les appelle cascades (1).

Ce que Newton ajoute à Descartes pour résoudre les équations consiste principalement dans un moyen abrégé de déterminer les limites des racmes, de discerner les diviseurs commensurables, et dans une méthode d'approximation qui porte son nom (2). Beaune, peut-être avant Descartes, aperçoit quelque trace des coefficients indéterminés ; mais c'est Descartes qui, par l'usage particulier qu'il en fait (3), y révèle un procédé merveilleux pour transformer les quantités.

Jusqu'ici nous avons supposé, comme on fait ordinairement, que Descartes emprunte à Viète et à Harriot leurs inventions, mais le contraire paraît certain. « J'ai commencé, écrit-il à Mersenne, où Viète avait achevé, ce que j'ai fait toutefois sans y penser ; car je l'ai plus feuilleté depuis votre dernière que je n'avais jamais fait auparavant, l'ayant trouvé ici par hasard entre les mains d'un de mes amis ; et, entre nous, je ne trouve

(1) TraiU d'algèbre, liv. U, p. 12i.

(2) Ariihm, tmiv,, t. II. — Opuscule^ t. 1.

(3) Œup., t. V, p 364 et sidv.

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pas quMl en ait tant su que je pensais, nonobstant quMI fût fort habile (1).... Pour Taccusation du géostaiicien, que je ne donne rien des équations que Yiète n'ait donné plus doctement, nego majorem ; car, comme je crois vous avoir déjà remarqué quelque autre fois, je commence en cela où Viète avait fini. Et, pour ce qu'il dît que je ne suis pas excusable de n'avoir pas vu Yiète, il aurait raison si j* avais ignoré pour cela quelque chose qui fût dans Yiète, ce que je ne crois pas qu'il m'enseigne par ce beau livret quMI a autrefois fait imprimer (2).... Je n'ai aucune connaissance de ce géomètre dont vous m'écrivez, et je m'étonne de ce qu'il dit que nous avons étudié ensemble Yiète à Paris ; car c'est un livre dont je ne me souviens pas avoir seulement vu la couverture pendant que j'ai été en France (3). % Sur ce que disait Newton, qu'il connaissait la théorie des forces centrales avant que les théorèmes de Huyghens vissent le jour, quoiqu'il ne l'eût publiée que quinze ans plus tard, nous avons cru devoir admettre qu'il ne lui a rien pris. Descartes assure à plusieurs reprises que pendant son séjour en France, c'est-à-dire avant 1629, par conséquent avant l'âge de trente-trois ans, il n'a point vu Yiète. Il est manifeste par l'histoire de sa vie qu'alors il avait fait toutes ses découvertes dans les mathématiques ; il déclare même à Mersenne qu'il ne veut plus s'occuper de cette science : o Pour les problèmes, lui dit-il, je vous en en-

Ci) T. VI. p. 300.

(2) T. vil, p. 157.

(8) T. VIU, p. 99.

verrai un million pour proposer aux autres, si vous le désirez ; mais je suis si las des mathématiques, et j*en fais maintenant si peu d*état, que je ne saurais plus prendre la peine de les résoudre moi-même (1 ) . » Pourrions-nous ne pas lui reconnaître d'avoir trouvé de son côté les mêmes choses que Vièle, et aussi que Harriot, dont récrit, Arlis Analylicœ Praxis^ n'est publié qu'en 1631 ? Donc, sans diminuer le mérite de ces deux auteurs, il faut avouer que la théorie générale des équations, renfermée dans le troisième livre de sa géométrie, lui appar* tient tout entière. D'ailleurs, ce sont vingtrK^inq ou trente pages si nettes, si simples, qu'elles semblent exclure plusieurs sources. D'un seul coup cette théorie est poussée si loin, qu'elle demeure longtemps sans recevoir d'autres perfectionnements que ceux de Newton. Et cependant elle n'est point la principale œuvre mathématique de Descartes.

Découvrir, au moins s'il s'agit de principes, ce qui constitue les grandes découvertes, c'est s'élever à des rapports plus généraux. La quantité peut être considérée comme discontinue, ou comme continue. Les portions de ligne droite ou de ligne courbe offrent des rapports de la quantité discontinue ; la ligne droite, les lignes court)es entières, des rapports de la quantité continue. Il est évident que les premier^sont moins généraux que les derniers, puisque la ligne droite renferme toutes les portions possibles de lignes droites, les courbes toutes les portions possibles de courbes, et que,, par là, elles sont d'une na-

(1) T. VI, p. 103.