DEUXIÈME PARTIE

le point N. On ne saurait donc nier que Fermât n'ait fait la même découverte que Descartes, mais si pénible, si chétive, si peu explicite, que celui qui la saisirait sans la connaître déjà, la ferait presque une seconde fois ; tandis que, chez Descartes, elle est dans sa puissante lumière. Il semble, malgré sa brièveté, se jouer avec elle, par la manière dont il Texpose , et par les problèmes qu'il résout. Cette différence énorme suffirait seule pour écarter le soupçon d'emprunt de la part de Tun ou de Tautre, soupçon qui, du reste, ne s'est jamais élevé. N'oublions pas d'observer que les recherches depuis longtemps poursuivies sur les lieux géométriques furent une préparation au moyen de les représenter par l'algèbre. Après la ligne droite, les anciens, faute de symboles, n'ayant surpris le continu que dans la génération du cercle, de rellipse,de laparaboleet de l'hyperbole, réservèrent exclusivement à ces courbes le nom de géométrie ques^ et appelèrent mécaniques les autres qu'ils envisagèrent, savoir : la conchoïde, la cissoïde, la quadratrice et la spirale, dont ils n'obtenaient les points que un à un. Or Descartes admet bien au rang des géométriques la conchoïde et la cissoïde, « parce qu'on peut les imaginer décrites par un mouvement continu^ ou par plusieurs qui s' entresuivent et dont les derniers sont entièrement réglés par ceux qui les précèdent, car par ce moyen on peut toujours avoir une connaissance exacte de leur mesure; » mais il renvoie c la quadratrice et la spirale parmi les mécaniques, à cause qu'on les imagine décrites par deux mouvements séparés, et qui n'ont entre

eux aucun rapport qu^on puisse mesurer exactement (4 ).• En eflet, dans leurs équations, qui renferment la circonférence et des parties de la circonférence, le rayon et des parties du rayon, il entre un rapport incommensurable : je dis incommensurable, dans le degré de généralisation où Descartes le considère, et exprimé par les symboles dont il se sert, les chiffres ou les lettres, qui représentent seulement des lignes droites. Hais s'ensuit-il que ce rapport ne puisse être mesuré d'aucune manière, ou considéré dans une plus haute généralité elexprimé par d'autres symboles ? L'arc et le sinus, algébriquement incommensurables, ne cessent-ils pas de l'être à la limite ou dans l'ordre différentiel, puisque alors leur rapport est l'unité, et qu'ils peuvent être pris l'un pour l'autre,?

Je remarque que le symbole de la quantité continue, dû à Descartes, ne représente point, par exemple, la circonférence en soi, mais telle ou telle circonférence. Dans ^"^ + y* — R* = 0, je puis attribuer à a?, y, R, une infinité de valeurs indifféremment; néanmoins je suis obligé de leur en attribuertoujoursune, je veux dire une valeur déterminée, par conséquent d'exprimer une certaine circonférence, et non la circonférence même. Il en est ainsi pour les équations de toutes les courbes, et enfin pour une fonction variable quelconque, nom que l'on donne à la quantité continue et à son symbole. C'est l'individuel de la courbe ou de la fonction, qui est représenté, et non point l'universel, lequel, d'après cela, reste

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privé de symbole, et qui n'a point été envisagé matbé* matiquement par Descartes. 11 s'est arrêté à moitié cbe-^ min, etn*a vu qu'une partie de ce qu'il fallait voir. Leibnitz a poursuivi et vu le tout. Il s'est emparé de l'universel et lui a adapté un symbole, ce qui forme le calcul différentiel, dont l'objet est de dégager l'universel dans les fonctions. Appliqué à y* -f- a?* — R* = 0, il donne ydy + xdco = 0, équation qui n'exprime aucune circonférence particulière, mais la circonférence générale, dxy dy étant indépendants de toute grandeur déterminée

ou finie. Quant à leur rapport-^-^= — - , il représente

bien une grandeur déterminée, mais c'est la tangente trigonomélrique de l'angle que la tangente à la circonférence fait avec l'axe des abscisses. Si dans ydy -f xdx^zz 0, il se rencontre encore les grandeurs finies y, x^ c'est que dans la quantité, non plus que dans la substance, l'universel ne peut s'isoler totalement et former un être à part. 11 emporte toujours par quelque côté l'individuel avec lui, tout comme l'individuel emporte l'universel, qu'il comprend implicitement, et qu'il cache, ce qui n'empêche pas qu'on puisse s'occuper de l'un ou de l'autre séparément. L'individuel est -il donné immédiatement? la fonction ne contient-elle que le symbole cartésien ou algébrique? on s'élève à l'universel par le calcul différentiel, qui le met en évidence, le rend explicite, en élimi- . nant la partie de l'individuel dont il était couvert. Est-ce Tuniversel qui est immédiatement donné? la fonction contient-elle le symbole leibnitzien ou transcendant ? On

3S6 LE GARTÉSUNISME.

descend à Tindividuel par le calcul intégral , qui lui restitue la partie éliminée ou supposée telle, et rétablit la fonction dans son intégrité (1).

Les substances ont, dams leur universel, un point commun, une mesure exacte, quoique non calculable, qui est une mesure de perfection. L'universel des esprits, c'est d'être intelligents et voulants; celui des esprits et des corps, c'est simplement d'être. Les lignes droites et courbes, et plus généralement les fonctions, ont dans leur universel un point commun et une mesure exacte, qui est une mesure de quantité; leur universel, c'est d'être continues. Si les substances et les fonctions ne se formaient que d'universel, elles seraient toutes et entièrement commensurables, en sorte que, de substance à substance et de fonction à fonction, il n'y aurait que du plus au moins ; maiscomme elles secomposent aussi d'individuel, il arrive que nulle substance ne se peut complètement mesurer, et qu'un nombre fort restreint de fonctions le peuvent. Pour l'arc d'une courbe quelconque on a l'expression transcendante exacte en lignes droites, dz = y/ dy* + dx^, ^ étant l'arc, y, x des coordonnées rectilignes ; quant à l'expression algébrique , elle est rarement possible. Il nous suffit ici que toutes les fonctions soient commensurables dans l'une de leurs parties, pour conclure, avec Leibnilz (2) contre Descarles, que toutes les courbes appartiennent à la géo-

(1) Pourrie plus amples développements sur les principes ou U méUpbysiquft du calcul différentiel, voir à la fin de Fouvrage, U théorie de Tinfini.

(2) Op., t. V, p. 396.