AP = A, MP = E
ainsi
E sous-tang. TN' Dans réquation de la circonférence
je substitue y-hAeta: + Eà la place de y et de x^ ce qui donne
y«+2Ay + A2 = 2aa?+2aE— x'— 2E(r — E«,
A cause de y* ^=2^0? — a?*, et de A^ et E* qu'il faut annuler, j'ai
A n — ic
Aj/=aE— Ea:=E(a — a?), ou g=— — •
Mais A y
Ê~sous-tang. TN ' donc
r, ou sous-tang. TN =
y sous-tang. TN °* a — x
A dv
Il est clair que ^ revient à -p. On ne saurait être plus
près du calcul différentiel.
Toutefois il reste encore deux pas à faire : trouver le moyen d'obtenir immédiatement sur une fonction donnée
la valeur de g, sans être obligé de faire les substitutions développements et réductions, et puis de lui adapter le
symbole ou algorithme j~ . Newton fait le premier, vers
1664 ou 1665, par la méthode des fluxions, mais imparfaitement, parce qu'ils ne peuvent être bien faits l'un sans l'autre, et qu'il manque le second; car il est impossible de reconnaître un synibole dans les lettres pointées, i, Xy X, ainsi de suite, employées pour désigner les divers ordres des fonctions différentielles.
Mais, entre 1674 et 1677, Leibnitz les fait tous les deux à la fois. Que dis-je? Il n'est pas même, comme Newton, jeté sur la voie par Barrow, car il déclare n'avoir connu le triangle différentiel de celui-ci, qu'après l'avoir lui-môme imaginé, et être parvenu à la découverte complète. « A peine je commençais d'aborder ces études, lorsque, portant les yeux sur une démonstration relative à la mesure de la surface de la sphère, je fussoudainement frappé d'une grande lumière. Je voyais en général que la figure formée des perpendiculaires à la courbe, successivement appliquées à l'axe (dans le cercle les rayons), était proportionnelle à la surface du solide engendré par la rotation de cette figure autour de l'axe. Ravi de ce premier théorème, et ignorant ce qu'on pourait avoir trouvé d'analogue, j'imaginais aussitôt un triangle que, dans chaque courbe, j'appelais caractérisa tiquCy et dont les côtés fussent indivisibles, ou, pour parler avec plus d'exactitude, infiniment petits, c'està-dire des quantités différentielles ; d'où j'établissais surle-champ> et sans la moindre difficulté, une foule de théorèmes qu'ensuite je rencontrai en grande partie
DEUXIÈ\IE PARTIE. 393
dans Grégori et dans Barrow. Je ne me servais pas encore du calcul algébrique ; quand je remployai je découvris bientôt ma quadrature arithmétique et beaucoup d'autres choses. Mais je ne sais comment le calcul algébrique ne me satisfaisait point ; bien des parties que j'aurais voulu traiter par l'analyse, j'étais obligé de les présenter au moyen de figures , malgré leur embarras, jusqu'à ce qu'enfin je tombai sur le véritable supplément de l'algèbre pour les quantités transcendantes, je veux dire sur mon calcul des infiniment petits, que j'appelle différentiel, ou sommatoire, ou iéiragonisiique ^ et je crois, d'une manière assez convenable, analyse des indivisibles et des infinis. Alors tout ce qui, dans ces recherches, m'avait paru étonnant, ne fut plus qu'un jeu. Non-seulement s'ouvrirent de belles voies abrégées, mais se fonda la méthode si générale qui tout à Theure a été exposée, et par laquelle on détermine, autant qu'il edt possible, soit les quadratices, soit les autres lignes algébriques qu'on propose, soit les transcendantes (1). •
(1) f Mihi coDtigit adbuc tironi in bis studiis, ut ex uno aspecto cujusdam de-
numstratioDis de magnitudine superficiel sphaBrirae. subito magna lux obori-
retur. Videham enim generaliter figuram factam ei perpendicularibus ad cur-
▼tm, axi ordinatim appUcatis (in circulo radiis) esse proportionalem superfidei
ipsius solidi, rotatione figuras circa axem geniti.Quo primo tbeoremate (cum aliis
taie qmd innoluisse ignorarem) miriflce delectatus, statim comminiseebar triangu-
lam, qood in omni curva Yocabam characteristicum, cujus latera essent indifisibilia
(Yel lecnratins loquendc^nftnite parva) seu quanlitates differentiales; unde statim in-
nmera theoremata nulle negotio condebam, quorum partem postea apud Gregorios
et Barrovium deprebendi. Necdnm Yero algebraico calculo utebar, quem cum ad-
Jeeissem, mox quadraturam meam arithmeticam, aliaque mnlta inveni. Sed nesdo
quomedo non satisfaciebat mibi calculus algebraicus in hoc negotio, multaque quae
analysi Yolui^sem, praistare adbuc cogebar figurarum ambagibus, donec tandem
▼emm algebrac supplementom pro trinscendentibus inveni, sdiicet meam cakulum
Par cette exposition des degrés que suit la découverte du calcul différentiel avant Leibnitz, et de la manière dont lui remporte d'un seul coup, on voit avec combien peu de fondement Lagrange (1) et Laplace(2) ont proclamé Fermât le premier, le véritable inventeur. Aux yeux de M. Biot, Newton même ne Test pas, Newton, qui non-seulement emploie lès indéterminées comme Fermât, comme Barrow, mais qui, de plus, reconnaît dans toute fonction Texistence de la dérivée, fournit le moyen de Tobtenir, qui, par conséquent, se sépare d*eux, et qui ensuite franchit un intervalle immense.
Après avoir discuté avec autant de sagacité que de soin Taccusation adressée, en 1699, par Fatio, et en 1705, par Keill à Leibnitz, de piller Newton, après avoir prouvé, pièces en main, que si Leibnitz a eu connaissance des résultats que Newton devait à sa méthode, il n'a point connu la méthode elle-même, M. Biot ajoute : i Si la méthode des fluxions existait seule aujourd'hui même, Tinvention du calcul différentiel, avec sa notation et ses idées de décomposition en éléments infiniment petits, qui en sont Tessence, serait une découverte admirable qui ferait aussitôt éclore une multitude d'applica-
indefinite parYomm, quem et diflérentialem, autsiuniiiatoriiini» aot tetragonisticia, et, ni fallor, satis apte, analy$im indivmbiUum ti infinitorum voco ; que detecto, jam ludusjociLsquemum est quidquid inbocg^gere ipse anteafooia mjratus. Uode non tantum iosignia compendia , sed et metbodum generalissii paulo ante expositam condere licoit, qaa sive quadratices, 8i?e ali» qvcsita algebraicaB. vel Iranscendentes, prout possibik est, determmaiitiir. > Op„ t ffl, p. 193.
(1) Leçoiunir U calcul de$ f<mctUm$, p. 321, édU noo?., 1S06.
(S) EiêaipkU. iur U$ probabiUUi, p. 59, édit. 5«, an. 1915.
