DEUXIEME PARTIE

Leibnitz, on leur attribue une valeur, on ruine Texactitude du calcul.

Comme dans le développement d'une fonction en séries, par rapport aux puissances ascendantes de l'accroissement donné à la variable, le coefficient du second terme est le coefficient différentiel du premier ordre, et qu'abstraction faite des dénominateurs, les coefficients des termes suivants sont les coefficients différentiels des autres ordres, Lagrange s'est avisé de considérer les propriétés de ces termes, sans s'inquiéter comment ils les ont (1). C'est ce qu'il appelle avoir dégagé le calcul différentiel de la considération de l'infini, et c'est ce qu'il faut appeler l'avoiV détruit. Précisément on ne peut connaître les propriétés de ces termes, auxquels il donne le nom de fondions dérivées^ que par la considération de l'infini. N'est-ce pas par cette considération seule que je sais, par exemple, que ce qu'il désigne par fonction prime représente dans une courbe la tangente trigonométrique de l'angle que la tangente à la courbe fait avec l'axe des abscisses, et, dans le mouvement accéléré, la vitesse ? 11 parait que Laplace tombait dans une semblable méprise (2). Réduisant ainsi les principes du calcul différentiel à un grossier mécanisme, on conçoit qu'ils en attribuassent l'invention à Fermât. Cependant les fonctions dérivées ont conduit Lagrange à étudier les fonctions en elles-mêmes, indépendamment

(1) FoncHoM (maîytiques et Leçons sur le caleul des fonetUms, (t) Essai pMl SUT lesproMUiUs, p. 56.

442 LE CARTÊSIANISBIE.

de toute application, ce qui n'avait point été fait avant lui, du moins comme théorie expresse.

Garnot croit qu'en négligeant les quantités différentielles on commet une erreur, mais que cette erreur est ensuite compensée. Qu'il s'agisse, par exemple, de trouver la sous-tangente TP, il raisonne ainsi : c Par un point R, pris arbitrairement à une distance quelconqœ du point M, soit menée la ligne RS parallèle à MP, et par les points R et M soit tirée la sécante RT; nous

aurons évidemment TP : M :: MN : RN, et partant

rP ouTP -fT'T=MP^. Cela posé, si nousimagi.

nons que RS se meuve parallèlement à elle-même en s'approchant continuellement de MP, il est visible qœ le point T' s'approchera en même temps de plus en plus du point T, et qu'on pourra par conséquent rendre la ligne T^T aussi petite qu'on voudra, sans que la proportion établie ci-dessus cesse d'avoir lieu. Si donc je néglige cette quantité TT dans l'équation que je viens de trouver, il en résultera à la vérité une erreur dans

l'équation TP=MP^ à laquelle la première sera

DEUXI&ME PARTIE. 443

alors réduite ; mais cette erreur pourra être atténuée

autant qu'on le voudra, en faisant approcher autant

qu*il sera nécessaire RS de MP : c* est-à-dire que le

rapport des deux membres de cette équation différera

aussi peu qu'on voudra du rapport d'égalité.

Pareillement, d'après l'équation du cercle

î/* = 2aa? — a?*, nous avons

MN 2y + RN

RN"^2a— 2a? — MN'

et cette équation est parfaitement exacte, quelle que soit la position du point R, c'est-à-dire quelles que soient les valeurs de MN et de RN. Mais plus RS approchera de MP, plus ces lignes MN et RN seront petites ; et partant, si on les néglige dans le second membre de cette équation.

Terreur qui en résultera dans l'équation -55^. = — - — à ^ ^ RJN a — œ

laquelle elle sera réduite alors, pourra, comme la première, être rendue aussi petite qu'on le jugera à

propos.

Gela étant, sans avoir égard à des erreurs que je serai toujours maître. d'atténuer autant que je le voudrai, je traite les deux équations

RN RN a—x

queje viens de trouver, comme si elles étaient parfaitement exactes l'une et l'autre; substituant donc dans la

MN dernière la valeur de ^ tirée de Tautre, j'ai pour résultat TP=-^^

Ce résultat est parfaitement juste, puisque les triangles semblables CMP, MPT, donnent CP : MF :: MP : TP; d'où

~CP "a—x'^ et cependant les équations

MN . MN y

d'où il a été tiré, sont certainement fausses toutes les deux, puisque la distance de RS à MP n'a point été supposée nulle, ni même très-petite, mais bien égale à une ligne quelconque arbitraire. 11 faut par conséquent de toute nécessité que Jes erreurs se soient compensées mutuellement par la comparaison des deux équations erronées (1). »

La conséquence de cette doctrine, c'est qu'une différentielle n'est exacte qu'après avoir été combinée avec une autre. Mais comment savoir que la compensation parfaite a toujours lieu ? Loin d'absoudre le calcul différentiel de l'accusation d'erreur, n'est-ce pas lui donner Terreur pour principe? Non, les équations

^„ MN MN y

RN RN a — x

ne sont point fausses. Quand l'auteur a néglige TT dans la première, et MN et RN dans la seconde, il a fait ces quantités nulles, en sorte qu'elles ic sont nécessairement dans les deux équations. Ces deui

(1) Béfl, sur la mélaph. du calcul infinitésimal^ édit. 2«, p. 12.