JEU
K étant une constante donnée, on aura l'équation r a = K a cosX.
Cette courbe, en coordonnées polaires, répond bien à la question ; mais elle s'applique directement à un problème un peu différent, celui où, le point O étant fixe, des ébranlements successifs très rapides en émaneraient et couvriraient tout l'espace.
Pour le cas où le point S est mobile, l'équation des lignes d'égale vitesse par rapport à ce point présenterait une grande complication ; u étant l'angle du rayon vecteur SP = p, il faudrait éliminer r et X entre les trois relations :
r 2 =K>cosX, p sin o> = r sin X, V sin co = a sin (w — X).
Aussi nous conlenterons-nous d'une construction géométrique de ces lignes en nous servant de l'équation auxiliaire r 2 = K* cos X.
Construisons cette courbe en un point C de la ligne décrite par le mobile S (fig. 10). Ses propriétés principales sont les suivantes :
L'angle de sa tangente en un point avec le rayon vecteur a pour expression
La courbe présente un maximum pour tg X =^2 cl pour cet angle on a
Toutes les courbes K sont homolhétiques par rapport çiu point G et ne diffèrent que par la valeur de K.
Pour en déduire la courbe K correspondante du champ acoustique, il suffit de prendre un point D de la courbe
Fig. 10.
auxiliaire, de mener OP' parallèle à CD, de joindre P'S et de mener DP parallèle à OS. P est le point cherché.
On peut ainsi construire la courbe des vitesses K point par point. Cette courbe jouit des propriétés suivantes :
a) Elle est tangente à Tonde neutre en S ; , b) Elle présente un maximum en L correspondant au maximum /de la courbe auxiliaire. L'angle <o que fait le rayon vecteur SL a pour expression
- fi . l -âfi
c) Elle coupe là trajectoire en T qui appartient à un cercle ayant pour centre t et pour rayon t( = tT = K. Toutes les courbes sont homothétiques par rapport à S et leur rapport de similitude est K.
Pour obtenir la tangente à la courbe K au point P, il suffit d'appliquer à la tangente en D la même construction ; d étant le point de rencontre de la tangente avec la verticale, on mènera dd* parallèle à CK et, en joignant rf'P, cette droite sera la tangente cherchée. La courbe du champ acoustique arrière se construit
point par point de la même façon ; il suffit d'ailleurs de prendre
Q? = yP.
23. Ensemble du champ. — Les lignes d'égales vitesses étant ainsi déterminées par leur construction point par point, le champ acoustique peut être représenté par leur ensemble, comme l'indique la figure 1 1 .
La figure 1 2 correspond au cas où la vitesse V du mobile serait précisément égale à la vitesse a du son et où l'origine du mouvement est très éloignée. Alors la sphère de tête devient une onde plane où le mobile figure comme un pôle.
L'angle {$ de l'onde neutre est, dans ce cas, de 45°. L'angle o du rayon vecteur qui passe par les maxima a pour expression
fi
tgw =
d'où
LE CHAMP ACOUSTIQUE. j 9
D'ailleurs, toutes ces courbes K viennent finir tangentiellement avec la verticale du point S. Car entre les angles o et X on a là relation
sin <*> sin (ta — X)
Fig. la.
:qui, quand V = a> exige que X soit égal à zéro; le point S correspond donc au point T où la tangente est verticale.
24. Impressions d'un observateur placé dans le champ acoustique. — Proposons-nous maintenant de rechercher de quelle manière pourra être affecté un observateur placé dans l'espace que sillonne un mobile animé d'une vitesse rectiligne et uniforme.
Sur son oreille, une impression sonore ne sera due qu'à une brusque variation de la vitesse propre des molécules gazeuses. Si cette vitesse varie progressivement, il
3o LE CHAMP ACOUSTIQUE.
ne pourra apprécier qu'une impression analogue à celle dû vent, mais qui ne se traduira pas par un bruit.
Soient P l'observateur, O l'origine du mouvement, h la distance de P à la trajectoire rectiligne du mobile (fig.
L'impression émanée du point S parviendra à l'observateur et la vitesse propre a des molécules correspondant à cette position S sera
Va cosX
mais at = S P. On a donc Fig. i3. h = at sin X et par suite
u = 7 — -r* sin 2 X cosX.
On peut construire la courbe des vitesses successives en un point P.
En un point de cette courbe l'angle I de la tangente avec le rayon vecteur a pour expression
- o sin X cos X
^ fdu\ 2 cos* X — sin* X*
La courbe présente la forme de la figure i3. Pour X, tel que tg*X, = 2 ou X, = 54° 44'* la tangente est perpendiculaire au rayon vecteur; u est maximum. Pour X 2 tel que tg a X a = 3 ou X, = 69° 9', la tangente est horizontale. La courbe en pointillé représente les variations des vitesses dans le champ acoustique «&, Les deux courbes sont symétriques.
D'après cela, l'origine du mouvement étant en O, la première impression qui parviendra à l'observateur P sera
OP un bruif* émané du point O un temps après le départ
LE CHAMP ACOUSTIQUE. 3i
«t dont l'intensité sera proportionnelle à la longueur PO'. A ce moment, l'observateur entre dans le champ acoustique dont il ne sortira plus qu'après un temps infini.
L'observateur restera dans le champ acoustique AI pendant le temps -^p H — . Mais les vitesses propres qui se
succéderont, à son oreille étant continues, il n'aura aucune impression sonore.
Il en sera de même au passage de Fonde neutre.
L'observateur entrera ensuite dans le champ acoustique A, d'où il ne sortira plus et où il ne percevra d'ailleurs aucun phénomène sonore.
25. Déplacement des molécules d'air. — Connaissant les vitesses successives des molécules d'air en un point P, il est aisé de calculer quel sera le déplacement effectué par les molécules quand le mobile parcourt sa trajectoire.
Si z est le déplacement cherché, on aura- :
Va cosX dz = udt = 7 -rr- dt.
Mais
A = at sin X, d'où
rff = — MgXrfX.
Il vient donc
Va /»*o
z = — 7 r I cos 2 XaX.
liitanJx
L'intégration donne
Va /sin 2X sin 2X \
X correspond au point d'où est parti le mobile.
Si est assez éloigné pour que X soit très petit vis-àvis de X, on pourra écrire
Va Vsin 2 X \
3a LE CHAMP ACOUSTIQUE.
. Le déplacement total dû. au champ acoustique AI s'obtiendra eu faisant X = - . On a ainsi
ibah
Le champ acoustique A donne lieu à un même déplacement total; de sorte que, en ajoutant ces deux déplacements de même sens, il vient pour le chemin parcouru par une molécule d'air déplacée
Va
S ah
Supposons qu'on considère une verticale IY dans Pair au repos (fig. i4)- Quelle est au temps / la déformation
du milieu, c'est-à-dire quelle forme va prendre cette file verticale des molécules ?
Au temps /, le déplacement z de M, depuis Fco jusqu'à X est
Xq /sin 2 X \
pour M' on aura la même relation avec des accents sur z> h et X.
Mais puisqu'on considère la même époque, on devra écrire
SM SS' , S'M' SM a Y a a
SI
SI
on en déduit
