SM SI
Ce qui peut s'écrire
h h cosX — -, — - — ^ -r— - = Ii
a sin X V sin a
En éliminant X, entre (a) et (f$) on aura une relation entre h et z qui donnera la forme prise par la file verticale des molécules.
Au bout d'un temps infini, les molécules qui étaient en file verticale seront alignées sur l'hyperbole
zh ~n7,' oa
26. Élément oblique sur la direction du mouvement. — Soit i l'inclinaison de l'élément de surface j sur la direction AZ de la vitesse V (fig. i5).
Fig. i5.
La vitesse V se décomposera en la vitesse normale V
siu i et la vitesse tangentîelle V cos i. Cette dernière, à cause de l'inépaisseur supposée de l'élément, n'aura aucun effet, de sorte que l'état sonore au point P sera dû exclusivement à la vitesse normale V sin i.
* Les vitesses propres seront donc constamment dirigées perpendiculairement à Félément A et auront pour expression
V a sin i
tt = -, rrr- COSX,
ou bien, h étant la distance de P à la trajectoire
h = at cos (X — i),
on a donc
Va sin i .
u = — -j- — cos 2 (X — i) cos X,
ou en introduisant l'angle PA/> = \|>
" = 4^Â" a sm l smi * sm ^ + *)'
qui se réduit bien à la formule du paragraphe 24 pour
27. Application numérique. — Faisons l'application des formules précédentes à quelques cas particuliers.
Automobile.
Soit un automobile marchant à la vitesse de 35 m par seconde (126 km à l'heure) et dont la section soit de 1 mq. Soit un observateur placé à 2 m de la voiture.
Pour avoir les vitesses propres de Fair en ce point, il faut faire dans la formule
il = f , a sin a X cos X.
V = 35 m, a = 1 mq, h = 2 m.
On trouve alors
m = o.6t)6 sin* X cos X.
On sait que la vitesse maximum est atteinte par X = 54° 44' y on trouve ainsi
C'est un vent insensible.
Le déplacement total de l'air dû à l'automobile pour cette distance de 2 m est
r — 8a/*' ce qui donne
z = o m ,oo6.
Projectile.
Soit un projectile pour lequel V = 34o m, a = 0^,07 10 (projectile de 3o5), h = 2 m.
On aura pour valeur maximum de u
u = o m ,74, et pour le déplacement total
z — o m ,oo44-
28. Remarque sur la formule de l'état sonore. — Nous avons fait l'application de la formule qui donne u à des cas où la vitesse V pouvait prendre une valeur quelconque relativement à la vitesse a et, dans notre hypothèse fondamentale, nous supposons que les vitesses propres de l'air restent toujours très petites relativement à a.
Cela revient à dire qu'il n'est point permis d'appliquer la formule qui donne u lorsqu'on s'approche du plan j à une distance comparable à une dimension linéaire \ja de cet élément plan.
Ce fait n'est d'ailleurs point particulier à la théorie actuelle et on rencontre, soit dans la théorie de l'élasticité, soit même dans celle du potentiel newtonien, maint exemple de fonctions qui sont applicables à tout l'espace, à l'exception d'une zone de dimensions très restreintes
contiguë à quelque discontinuité dans le milieu, et où la fonction, passant analytiquement par l'infini, cesse de représenter le phénomène qu'elle régit partout ailleurs. La rigueur analytique exigerait alors, pour traiter le problème dans le voisinage du plan a, que la surface de celui-ci tendît vers zéro, en même temps que at, de manière que la quantité -—restât finie.
Ces perturbations toutes locales n'ont aucune influence sur l'état sonore de points un peu éloignés du plan œ, et inversement, à mesure qu'on étudie l'état sonore d'un point plus éloigné de la source sonore, la grandeur de la surface a peut être augmentée, sans que l'équation (2) ceçse de représenter avec fidélité le phénomène étudié.
Dans le cas actuel, rien n'est plus aisé à concevoir que la raison qui permet d'appliquer la théorie des petits mouvements, même au cas d'une vitesse V très grande.
En effet, le nombre de molécules choquées à l'origine et animées de la vitesse V était ne ; au bout du temps A, le mouvement sera transporté sur une sphère de rayon at et d'épaisseur \ja. Dans un grand cercle de cette sphère, le nombre de molécules en mouvement sera ziznaf yâ, c'est-à-dire déjà très grand par rapport à ne à cause de la présence du facteur at sans cesse grandissant. Pour la surface totale de la sphère d'épaisseur y^, le nombre de molécules sera encore infiniment grand par rapport au précédent, puisque l'expression en est donnée par la formule :
La vitesse 11 sera donc infiniment petite du 2 e ordre relativement à la vitesse V du mobile.
29. État de l'air au-devant d'un plan mobile. — Supposons qu'une surface plane de dimensions finies se déplace
dans le sens XX' (fig. 16) avec une vitesse V, petite relativement à a, et soit P un point situé au-devant de ce plan. Cherchons comment on pourra déterminer l'état
Fig. 16.
sonore en ce point. Soient OY la position initiale du plan,
AA' sa position actuelle. Soit T le temps écoulé depuis le
x AP début du mouvement. Si on a ^ H = T , tous les
points tels que A qui répondront à cette équation donneront au même instant un ébranlement en P.
On aura ainsi :
% + Wo/o - yy + (œ - *y = T «
comme lieu des points A ; il est facile de se rendre compte que celui-ci est une hyperbole.
Donc, pour avoir l'état sonore au point P, il faudra considérer un hyperboloïde de révolution (fig. 17); sur la surface de cet hyperboloïde, un cylindre normal au plan mobile et ayant pour section droite l'élément plan, délimité à une surface <o.
LE CHAMP ACOUSTIOUE.
On joindra tous les points de cette surface au point P et à chaque point correspondra une vitesse
Vato U = } — TT cos X.
L'intégration pour la surface o> résoudra le problème.
Résolvons le problème dans le cas simple où le plan mobile n'a qu'une faible largeur dz et où le point P est sur une normale à ce plan.
sç.
Fig. 18.
La vitesse u en œ (fig. 18) est donnée par la formule
Xdz r^cosl .
LE CHAMP ACOUSTIQUE. 3*j
On a
y- H — = K, x Q — a:;=/cosX, y = *sinX.
On en déduit
JCq
cosX i\ „
De ces équations, on tirera rfy et / en fonction de X, et, en portant dans l'équation qui donne u, on arrivera facilement à la formule suivante
dz /•*• V
u = - t — n / Ci — — cosX) cosXaX, 4 je H ,/ Xf v a J
qui, intégrée, donne
// = ^ — j}|sinX — sinX, (sinX cosX — sinXjCOsXj + Xo — Xj)J.
Si la barre a son origine en (Xo — o) et est indéfinie vers les y (\ t = -), on a
dz /kV
dz /kV \
30. Effet du vent rencontrant un obstacle. — On peut rattacher au problème du champ acoustique, l'étude du vent et de ses modifications de vitesse dues aux obstacles qu'il rencontre sur sa route. Ainsi, on exprimera que la vitesse du vent en un point est la différence de sa vitesse VV si l'obstacle n'existait pas et de là vitesse dans un champ acoustique où sur l'obstacle l'air aurait une vitesse égale à — W.
Traitons alors le problème simple des modifications du vent de vitesseW dues à la présence d'un mât vertical de section dz et de hauteur /.
4o LE CHAMP ACOUSTIQUE.
La vitesse en M (iig. 19) est
On a
Wdz /^cosX ,
COS X ^ COS (i COS <|>,
P = al cos <[>, y — y = P tg <J. ;
d'où
U = -: • p.ns 1 1 f»n
Fig. 19.
La vitesse du vent en M, différence deW et de u, aura donc pour expression
W M = W [1 — ^ cos p (sin | — sin $,)]•
Si on suppose le mât très grand et le point M choisi vers son milieu, on pourra prendre
Ai
et on aura
dz
u = W |"l COSu]
On voit que le lieu des points où la vitesse du vent autour du mât est constante, est une circonférence définie par la
relation = K : elle a son
P centre dans la direction du vent
et elle passe parle mât (fig. 20).
Si on fait
Fig. 20.
W M = 10 Ci — 0,016) == 9 m ,84.
dz = o m , 1 ,
On trouve
31. Cône sonore. — Nous allons examiner maintenant l'hypothèse V > a.
Le mobile se trouvera alors constamment en dehors de la sphère de rayon at sur laquelle se trouve réparti son premier ébranlement.
Sur la trajectoire TT' (fig. 21) on pourra alors trouver deux points SS' d'où émanent les effets perçus simultanément en un point P de l'espace.
Il suffira, pour cela, étant donnés S et P, de choisir sur la trajectoire le point S' tel que
ou bien
PS a
