UE EE

Ces équations auront une forme explicite lorsque les valeurs des symboles de Christoffel seront connues, c'est-à-dire lorsque les 4, seront déterminés. Notre problème est alors de trouver les valeurs des guv

Nous verrons plus bas que la solution du champ de deux particules nous donnera, par une généralisation très simple, la solution du champ statique de 7 particules sur une droite.

2. Le développement de la dynamique de la relativité à commencé avec là solution approximative du champ d’un point matériel, donnée par Einstein (!) en 191. Cette approximation conduit aux équations du mouvement d'une masse infinitésimale dans le champ d’une masse finie; qui suffisent pour trouver le mouvement du périhélie de Porbite de Mercure. L'année suivante, une solution

(1) Stts d. Preuss. Akad. d. Wiss., 1915, n° 47, p. 83r.

que

complète du champ pour ce cas fut donnée par Schwarzschild (1), qui donna aussi une solution pour le champ d’une masse sphérique fluide. Ce dernier cas a été étendu par M. Brillouin (2) à celui d’une

masse sphérique fluide contenant des couches de densités différentes ou dans laquelle la densité varie d’une façon continue. Ce sont les seuls cas dont on ait donné la solution complète. En‘1916, des solutions approximatives de 7 sphères en mouvement arbitraire furent données simultanément par MM. Einstein et Droste. Un résumé de ces deux recherches se trouve dans un article de M. de Sitter dans lès Monthly Notices of the R. A. S., 1916, t, LXXVI, n° 9. Ce problème est compliqué par ce fait que les corps qui sont sphériques, s'ils sont fixes dans le système, ne le sont plus quand ils sont en mouvement. Ils subissent la contraction de Lorentz.

Les deux problèmes qui se présentent le plus naturellement aujourd'hui sont celui d’une seule particule en mouvement arbitraire et celui de deux particules fixes, Ici je ne traite que le second problème.

3. Dans la théorie restreinte de la relativité, l'élément linéaire a la forme

(4) ; ds? = — dx? dy?— dz? + c? dt?,

où x, y, 3 sont des coordonnées rectangulaires, { le temps, et c la vitesse de la lumière. Nous considérerons les unités comme choisies de telle façon que c — 1. Dans la théorie généralisée, on dit qu’un système pour lequel le ds? a la forme (4) manque de champ gravitationnel. Dans le champ d’une particule; il y a symétrie parfaite autour du point qui contient la masse. Il est alors commode d'employer les coordonnées polaires ordinaires; dans ces coordonnées, (4) devient

(5) ds? = = dr?— r? d62— r?sin20 de? + di?, où r, 8, > sont définies comme à l'ordinaire.

Dans le champ de deux particules, si nous prenons l'axe de 3 comme contenant les deux masses, il y aura symétrie autour de cet

(!) Sitz. d. Preuss. Akad. d. Wiss., 1916, n° 7, p. 189. (2) Comptes rendus de l’Académie des Sciences, 1622, L. 174, p. 1989.

sprl

axe. Ilest commode d'employer les coordonnées cylmdriques

; DIU CO SU \ DES DS ET et (4) s'écrit (6) ds? = — dr?— dz3— r? dd? + de?.

4. Avant d'aborder le champ de deux particules, je voudrais considérer un peu les conditions par lesquelles Ja solution du champ d'une particule est définie. Je vais leur donner une forme particulière qui nous sera utile pour former les conditions correspondant au cas de deux masses.

Nous appellerons m la masse de la particule située à l’origine des coordonnées, auxquelles nous donnerons la notation

Ti = 7, Ta 10, T3 —= 9, # DEN

La solution du problème sera alors une solution des équations (2) salisfaisant aux conditions suivantes :

a. Les 9,, sont fonctions continues des variables dans un domaine D qui contient tout lespace excepté l’intérieur d’une petite sphère, dont le centre est l'origine des coordonnées. À ce point, les £,, présentent en général des singularités.

b. Les £5, peuvent s'exprimer en séries entières en 7? qui convergent pour toutes les valeurs des variables dans D;, pourvu que la valeur de m soit assez petite.

c. Les coefficients de m*(4>> 0) dans ces séries sont fonctions de r seule.

d. Pour » — 0, les g,, ont les valeurs données par (5).

e. Pour r = , les coefficients de m(a > o) sont tous nuls.

On ajoute quelquefois la condition g;, = o(i—=1, 2, 3). Avec nos conditions, on peut démontrer qu'il y à une solution partieulière pour laquelle 2;,= 0 (1-1, 2, 3). Nous verrons le fait corres-

pondant pour le cas de deux masses. La preuve est la même ici.

PHEGIN

La solution de Schwarzschild est

Nez

Aa pre pa Us Fa sin 0 do? + ( 2) ur.

Si la plus petite valeur de 7 dans le domaine D, est ho on voit tout de suite que les guv, considérés comme des séries entières en m, sont convergents pour toutes les valeurs des variables dans D, si

M << Là À DD

Les séries sont de plus absolument convergentes. = Pour les coordonnées cylindriques, la solution devient, si nous gardons les notations du n° 3,

2 ‘ (7) .ds?= —(1+ +) dr (+$ — +) dz?—r? a+ (1 ait

Les conditions a, ...,e ne suffisent pas pour définir complètement les coordonnées. Il y à d’autres solutions entre lesquelles et (7) ilexiste des transformations d’une forme telle que pour »m — 0 les nouvelles variables deviennent égales aux anciennes.

Un tel Re employé dans les recherches de Einstein et de … Droste que j'ai cités plus haut, est d'une forme plus simple ne (ne . L'élément linéaire dans ce système est

(8) ds —|[1+ 2 |'ters+ detre dt] +

D AS Vri+ 2?,

On obtient (8) de (3) par la transformation

où 7, 3 sont les variables de (8).

5. Nous considérerons le champ de deux particules dans les deux espèces de coordonnées qui se réduisent respectivement aux coordonnées de (3) et (8) si une des masses est nulle. On constatera que les équations à traiter ont la même forme dans” ces deux Ahcis Nous abordons maintenant le premier cas.

Je n’essaierai pas d'établir rigoure usement que les conditions par lesquelles nous définirons la solution sont entièrement justifiées.

Supposons que les solutions existent et qu'elles peuvent être développées suivant les puissances croissantes des masses m1, et M, convergentes dans les conditions exposées. Ces conditions sont entièrement analogues à celles du n° 4 pour le cas d’une particule, excepté la dernière. Les variables ont la notation

Li= 7, Ta = 3, GR ENE

FPE 7 .

Nous ne perdons pas en généralité en prenant les particules 744 et m2 sur l'axe de 3 aux points respectifs 3 = d, et 3 — d, d, et d, étant des constantes.

Les conditions du problème sont :

A. Les g,, sont fonctions continues des variables dans le domaine D, qui contient tous les points de l’espace, excepté ceux qui sont à l'intérieur de deux petites sphères dont les centres sont respectivement les points 3 = d,, r =0o et 3 = d,, r — 0, où les Luv présentent en général des singularités.

“B. Les g,, peuvent être développés en séries entières en m4, et ma qui convergent pour toutes les valeurs des variables dans D, pourvu que les valeurs de m, et m soient assez petites,

Sig. td Giles £uy Sont fonctions de r et de z seules. D. Pour m, = m2— 0 les Bu ont les valeurs données par (5).

E. Pourr— ou pour 3 : = les coefficients de m*ma, 8) < (0,0)

sont tous nuls.

# . ?» . : x F. Pour d,— d;, la solution se réduit exactement à celle du cas

d'une masse mm, au point 3=—d,,r—0.

Les 9, ont alors la forme

a Av + Dénnt+ Yes CAS S Sages m aæ=1 =

CNE

(9) [u, V=I, : Dove Vi C2 M9

2 L.2 , Ls3 = A33+ Fr? Se m$ on À Al) m% m5.

Cat Le facteur 7? est introduit dans les trois derniers termes de gs»

pour simplifier les calculs.

6. Si nous substituons la solution formelle (9) à (2), les équations doivent devenir des identités et le coefficient de m*m$ doit

être égal à zéro pour chaque valeur de (a. 8—1,2,.:.) Nous em-

ploierons la notation suivante : nous appellerons au o les équatons obtenues en égalant à zéro les coefficients de m*m$. De plus, nous étendrons la notation au cas où 4 — 0 ou $ —o ou 4 —0, 8—o, ce qui ne créera pas de confusions. Les équations G}, — 0 ne contiennent que les &,,. Nous devons choisir la solution

dup=—t (RE, 2),

aux = +1,

GE CRAN See EN)

Les équations Ga — o contiennent seulement les @,, et les bY,,

et les équations Er o ne contiennent que les 4,, et les (is ILest

évident que les solutions que nous désirons sont respectivement

celle du champ d’une masse m, au pointra— di, 7 01et.celle

. d’une masse 7», au point 3 = d,, r — 0. Puisque les équations (2)

Eu

sont covariantes relativement à la forme (1), elles resteront satis-.

faites si dans (5) nous substituons

3 = — li,