I. Borel. Éléments de la Théorie des probabilités. Paris

raisonnements logiques et sont disposés à leur préférer des raisons de sentiment. J'ai eu récemment l'occasion de constater cette tendance chez un des esprits les plus distingués de notre temps, bien connu par ses publications scientifiques et philosophiques, et dont l'éducation mathématique a été très sérieuse. Il m'a dès lors semblé qu'il valait mieux ne pas traiter ces tendances par le pur dédain que serait en droit de leur opposer un mathématicien qui jugerait entièrement superflu de convaincre, du moment que ses raisonnements sont irréprochables » (op. cit., p. i8).

Faisant, dans la Revue scientifique (3o avril iQio, p. 578) l'analyse du livre de Borel, Grévy accepte tout à fait cette manière de voir: « le premier livre se termine par un chapitre consacré à loi des grands nombres, invoquée si souvent, et qui, pour beaucoup avait un caractère quelque peu mystérieux ; celui qui aura lu l'ouvrage de M. Borel y verra qu'elle n'est que la constatation d'un fait analytique très simple. »

C'est contre cette aflîrmation que je veux aujourd'hui partir en guerre. Du moment qu'il s'agit de phénomènes naturels, je n'admettrai jamais qu'on puisse y voir une simple particularité analytique. Les mathématiques sont la langue de la science ; elles ne sont pas une science par elles-mêmes ; et une

langue ne peut servir qu'à celui qui a quelque chose à dire ; c'est la physique qui fournit aux mathématiciens des sujets de narration. Dans toutes les questions traités en langage mathématique, il est essentiel de séparer ce qui est donnée physique de ce qui est verbalisme mathématique. Or, dans les études de probabilités, on voit sans cesse les mathématiciens, qui s'en sont arrogé le monopole, sortir de leur réserve de mathématiciens et faire des raisonnements de sens commun, auquel ils attribuent la même valeur qu'à leurs calculs. C'est là qu'est le danger, et je crois utile de le montrer pour ne pas laisser s'accréditer le dogme des lois du hasard. Il me semble qu'il suffira, pour cela, de bien délimiter le rôle des mathématiciens dans le calcul des probabilités, et de montrer comment ils dépassent parfois les limites de leur territoire et émettent des opinions philosophiques discutables, en s'appuyant sur ce qu'ils appellent 'le théorème et que je nommerais plutôt le stratagème de Bernouilli.

M. Richard-Foy a fort bien posé la question en montrant, dès le début de son article, la différence fondamentale qui existe entre les deux notions désignées par M. Poincaré sous le nom à^ probabilité subjective et de^ro-

habilité objective. La première, la probabilité subjective, est une notion purement mathématique ; c'est une notion a priori, absolument indépendante des faits. La seconde est tout autre chose. Arrêtons-nous d'abord à la probabilité subjective :

Nous définissons un Jeu quelconque, dans lequel une partie amène un coup, et un seul; le coup est le résultat de la partie ; je prends pour exemple le jeu de pile ou face, mais je n'ai pas besoin de jouer une seule partie de ce jeu pour définir la probabilité subjective ; tout va se passer a priori. Il n'y a que deux coups différents possibles, pile ou face (Le raisonnement serait le même s'il y avait p coups possibles au lieu de deux, pourvu que chaque partie amène un coup et un seul). Une deuxième partie amènera à son tour un coup quelconque, choisi sur les deux possibles. De même une troisième, et ainsi de suite. Sans jouer une seule partie, je me propose d'établir un tableau de toutes les séries possibles en n parties. Par définition du jeu, chaque série sera de n coups. Il y aura la série :

Pile, face, face, pile... face ; la série :

Face, pile, pile, face... face, etc., etc.

J'écris sur une feuille de papier toutes les séries de coups possibles, toujours sans Jouer aucune partie. Je commence par le cas

liO LE CHAOS ET L HARMONIE UNIVERSELLE

de ;?=:^2, et je fais le tableau de toutes les séries possibles :

pile face pile pile face face face pile.

Il y en a quatre. Je continue pour 7i = 3, et je fais le tableau :

pile face face pile face pile pile pile face pile pile pile face face face face face pile face pile face face pile pile.

Il y en a huit, c'est-à-dire 2^ Je continue de proche en proche, et je vois aisément que, pour ?i parties, il y a 2" séries possibles de n coups. Ici je suis dans le domaine de l'arithmétique pure ; je n'ai pas besoin d'avoir même un sou à ma disposition pour faire mon calcul; j'établis tout a priori^ après avoir défini seulement les trois notions : partie, coup, série.

Cela posé, je considère le tableau des séries possibles au cours de 7i parties, et je définis une quatrième notion que je vais appeler la convention du jeu. Il faudra que cette convention ne laisse place à aucune ambiguïté. Le problème sera, si vous voulez, d'amener cinq fois pile et cinq fois seulement

au cours de la série de n parties. Je regarde mon tableau et je vois aisément qu'il y a « séries qui remplissent la condition requise, a séries dans chacune desquelles il existe, diversement répartis, cinq coups pile et cinq coups seulement. Toutes les fois qu'un jeu sera défini convenablement, on pourra toujours faire le tableau des séries de n coups possibles, et compter ensuite le nombre de ces séries dans lesquelles se trouve vérifiée la convention spéciale adoptée pour cette foislà ; le tout, sans jouer effectivement aucune partie. Il y aura par exemple A séries possibles pour 71 parties, et Ton aura compté a de ces séries réalisant la convention du jeu.

Quand le nombre n des parties est assez grand, il est très fastidieux d'écrire le tableau des séries possibles, pour compter ensuite le nombre des séries réalisant la convention du jeu. Les mathématiciens nous fournissent le moyen d'éviter cette pénible besogne, et de calculer, dans beaucoup de cas, par des formules établies à l'avance, le nombre A des séries possibles (qui est par exemple 2" dans le jeu de pile ou face), et le nombre a des séries favorables, c'est-à-dire, des séries réalisant la convention du jeu. A cela doit se

BORNER LE ROLE DES MATHEMATICIENS ; ils doivent nous donner des formules aussi simples que possible, qui nous évitent d'écrire sur un tableau les A séries possibles au cours de n

parties, et de compter ensuite sur ce tableau, les a séries favorables.

On donne à Tensemble de ces formules et à la recherche des méthodes qui y conduisent, le nom de calcul àQS> probabilités. Ce nom est dangereux, car il est emprunté au langage humain, et il fait image ; j'ai insisté sur ce danger dans un ouvrage récent \ à propos de la notion d'énergie.

On donne en effet, en mathématiques, lenom

de probabilité, au rapport — ? c'est-à-dire au

rapport qui existe entre le nombre des séries favorables et le nombre total des séries possibles. On corrige quelquefois, à la vérité, ce mot probabilité par l'addition de l'épithète subjectivej mais bien des gens omettent cette épithète et facilitent ainsi la confusion entre cette notion mathématique, cette notion a priori, et la probabilité objective, notion expérimentale aposteriori ; or, c'est de cette confusion que viennent le plus souvent les malentendus philosophiques dans les questions de probabilité. Nous dirons simplement

le ( — )' ce qui n'engage à rien.

Nous venons de définir rigoureusement le rôle des mathématiciens. Effectivement, les ouvrages sur le calcul des probabilités con-