I. Quandla roulette n'est pas bien construite

M. Poincaré, la loi du hasard, c'est, à mon avis, la certitude que les phénomènes étudié:^ n'obéissent à aucune loi. Et, je ne saurais trop le répéter, ce n'est pas être dans l'ignorance absolue, relativement à des parties successives d'un jeu, que de savoir que les coups résultant des parties n'obéissent à aucune loi. C'est d'ailleurs se faire une étrange idée de la puissance mystérieuse des mathématiques que prétendre tirer un résultat physique positif d'un verbalisme analytique, dans lequel on n'aurait introduit comme point de départ aucune donnée physique, aucune donnée expérimentale.

Lorsqu'après avoir fait subir à une donnée quelconque des remaniements mathématiques aussi compliqués qu'on le voudra, on arrive à exprimer autre chose que la donnée initiale, on peut être sur d'avance, si on ne s'est pas trompé dans ses calculs, que le résultat obtenu est équivalent à la donnée, ou est compris dedans. Toutes les propriétés de l'ellipse peuvent se déduire de l'équation de cette courbe ; elles sont comprises dans cette équation ; le travail qui les en extrait est un pur verbalisme mathématique. Les mathématiques ne sont pas assez puissantes pour tirer quelque chose de rien. Je prétends, et je vais essayer de démontrer que la loi des grands nombres, relativement à un jeu de hasard, est l'équivalent de l'affirmation

que les coups de ce jeu n'ohéissent à aucune loi. Je le montrerai de deux manières, d'abord dans le langage courant, puis dans le langage mathématique proposé par Bernouilli, en faisant voir que le stratagème de Bernouilli n'est que la traduction en langue mathématique des raisonnements du langage courant, avec un petit tour d'escamotage qui donne l'illusion de prévoir a priori, alors qu'on constate a posteriori.

Voici d'abord le raisonnement de sens commun : Je joue à pile ou face un grand nombre de parties. Aucun coup ne peut se prévoir à l'avance; il n'y a aucune raison pour que j'attende pile plutôt que face. Je suis dans l'ignorance absolue, et j'y reste indéfiniment quelque grand que soit le nombre des parties jouées, car les parties jouées précédemment n'influent aucunement sur les parties ultérieures; tout se renouvelle cha que fois.

Quand j'ai joué un très grand nombre de parties en notant tous les coups, je constate que j'ai obtenu une série sans aucune régularité. Ceci, je devais le prévoir. S'il y avait quelque régularité dans la série, cette régularité serait l'indice d'une loi ; or nous savons qu'il n'y a pas de loi ; donc la régula-

iU LE CHAOS ET L HARMONIE UNIVERSELLE

rite apparente doit être une illusion; et en ed'et, en poursuivant la série un peu plus loin, nous constatons que la prétendue régularité initiale ne se retrouve plus à partir d'un certain endroit.

Je note en particulier, à mesure que j'avance dans la série, le nombre total des coups pile et le nombre total des coups face. Je constate que le nombre des piles esttantôt un peu plus grand que le nombre correspondant des faces, tantôt égal à ce dernier nombre, tantôt lin peu plus petit. Ceci encore, je devais le prévoir. Il n'y a aucune raison pour que j'amène plus souvent pile que face, mais il n'y a aucune raison non plus pour que je l'amène moins souvent. Si le nombre des pile était toujours plus grand que le nombre des face, quelque fut le nombre de coups joués, j'en concluerais qu'il y a une loi en faveur des coups pile. Cette loi serait l'indice d'un vice d'installation dans le jeu. Nous avons voulu réaliser un jeu dans lequel les parties successives fussentabsolument indépendantes les unes des autres et où la détermination des coups fut à l'abri de toute loi; nous n'avons pas réussi; nous constatons qu'il y a une loi imprévue : que, par exemple, il y a toujours au moins deux fois plus de coups pile que de coups lace. Donc notre jeu ne remplit pas les conditions que nous avons voulu lui imposer; donc il est mauvais.

Nous ne rendons notre estime au jeu étudié que si, après un certain nombre de coups, la loi cesse de se vérifier; c'était une loi apparente, ce n'était pas une loi fondamentale.

Il n'y a aucune raison pour qu'il y ait toujours plus de pile que de face ; il n'y a aucune raison non plus pour qu'il y en ait toujours moins. Et cependant, il n'y a pas de raison pour que ces deux nombres deviennent égaux après chaque double partie, c'està-dire pour que, à chaque coup pile succède un coup face, et réciproquement. Si cette dernière particularité était vérifiée, cela montrerait que chaque coup est déterminé par le précédent, ce qui est impossible.

Nous devons donc prévoir que dans une série de coups se succédant sans aucune loi, il y aura tantôt un peu plus de pile que de face, tantôt le même nombre, tantôt un peu plus de face que de pile.

Convenons de représenter graphiquement,

sur un papier quadrillé, l'état relatif des nombres de coups pile et de coups face au cours

(Tune longue série de coups. Nous prendrons comme axe des x un trait horizontal du quadrillage, et nous y porterons les nombres de coups. Marquons le zéro sur l'axe des ^ ; ce sera le point de départ du jeu. Le premier coup amène pile ; je le porte, sur Fordonnée I, en«;le second coup amène encore pile ; je le porte, sur l'ordonnée 2, en b. Le troisième amène face, je descends d'un échelon à partir de b et le porte en c, sur l'ordonnée 3, et ainsi de suite. J'ai ainsi défini une courbe dont l'ordonnée correspondant a l'abscisse n représentera l'excès du nombre de coups pile sur le nombre des coups face au bout de ?i coups. Nous savons d'avance quelle sera l'allure générale de la courbe. Ce sera une courbe sinueuse qui coupera de temps en temps l'axe des j-, mais sans qu'il y ait aucune régularité dans la distribution des points où elle le coupe. Nous pouvons prévoir quelques-unes des particularités de la courbe, en nous basant uniquement sur ce fait que nous sommes certains que le jeu n'obéit à aucune loi.

La plus importante, et qui contient en réalité toutes les autres est la suivante : Étant donné à l'avance un nombre N aussi grand qu'on le voudra, on doit prévoir* qu'il arri-

I. Je montrerai plus loin que ce raisonnement implique un postulat, savoir que notre jeu est assez souple pour démontrer,

vera un moment où l'ordonnée de la courbe sera égale à N. En d'autres termes, il n'y a pas de limite à l'écart qui se manifestera, au cours d'un nombre très grand de parties, entre le nombre des pile et le nombre des face.

Cela découle immédiatement de la certidans laquelle nous nous trouvons relativement au iait que les coups déjà joués n'influent aucunement sur les coups à venir. Après deux coups, quand nous sommes au point b, nous pouvons prendre b comme origine et bx' comme axe de x. Alors l'allure de la courbe à partir de b devra être la même qu'à partir de o ; or l'écart à obtenir désormais est devenu (N — 2). Si, à partir de 6 la courbe restait toujours au-dessous de l'axe bx', cela constituerait une loi ; donc il y aura un moment où elle passera au-dessus et où l'écart à obtenir ne sera plus que (N — 3); nous reprendrons là une nouvelle origine, et avec les mêmes raisonnements nous verrons que s'impose la nécessité d'arriver à un moment où Técart à obtenir ne sera plus que (N — N), c'est-à-dire où l'écart efïectif obtenu à partir de o est N. Le théorème est démontré \

au bout d'un grand nombre de coups, cette absence remarquable de toute loi.